巧用韋達(dá)定理，解決數(shù)學(xué)問題

摘要：韋達(dá)定理即為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點.韋達(dá)定理使得求根公式不再局限于從已知到未知進(jìn)行探索，而是開啟了問題解答的新途徑，使得許多復(fù)雜的問題迎刃而解.同時，韋達(dá)定理解題中也富含了創(chuàng)新精神，有助于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的全面發(fā)展，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).本文就聚焦于此，結(jié)合一定的例題，針對韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用展開探究，旨在為課堂教學(xué)指明方向.

關(guān)鍵詞：韋達(dá)定理；初中數(shù)學(xué)；一元二次方程；解題教學(xué)

初中階段是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、解題技巧、數(shù)學(xué)思維的“黃金時期”.在初中數(shù)學(xué)中，涉及的運(yùn)算內(nèi)容非常多，包括有理數(shù)的運(yùn)算、整式的運(yùn)算、因式分解、分式的運(yùn)算、根式的運(yùn)算、解方程和不等式等.對此，學(xué)生不僅僅要學(xué)會運(yùn)算，還要掌握運(yùn)算的解題規(guī)律和技巧.韋達(dá)定理反映了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，它不僅是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，也是開啟高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵.同時，韋達(dá)定理還是一種解題工具，尤其是在求方程中參數(shù)的值、代數(shù)式的值、構(gòu)建一元二次方程輔助解題、解答二次函數(shù)問題時，均可發(fā)現(xiàn)韋達(dá)定理的影子.［1］因此，重視韋達(dá)定理教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生掌握韋達(dá)定理解題的技巧，已經(jīng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重中之重.

1韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

1.1韋達(dá)定理概述

伴隨著新課程改革的推進(jìn)，教材內(nèi)容也得以調(diào)整.在初中數(shù)學(xué)各個版本的教材中都添加了“一元二次方程根與系數(shù)”相關(guān)知識點.韋達(dá)定理是關(guān)于一元n次方程中根和系數(shù)關(guān)系的定理.通常，對于一元n次方程來說，a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an=0（a0≠0），如果該方程的根為n個，分別為x1、x2、x3、…、xn-1、xn，則有x1+x2+x3+…+xn=-a1a0，x1x2+x1x3+…+xn-1xn=a2a0，x1x2…xn=（-1）nana0.初中階段學(xué)生所學(xué)的內(nèi)容為一元二次方程.因此，根與系數(shù)關(guān)系為x1+x2=-ba，x1x2=ca.本文重點圍繞一元二次方程根和系數(shù)的關(guān)系，針對韋達(dá)定理在解題中的應(yīng)用展開探究.

1.2韋達(dá)定理在解題中的具體應(yīng)用

1.2.1韋達(dá)定理解答一元二次方程問題

一元二次方程是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，也是考查的熱點，且考查的形式多種多樣.對多數(shù)問題來說，均可采用韋達(dá)定理這一手段進(jìn)行解答.

例1已知方程x2-6x=-1的一個根為3-22，求另一個根.

分析：本題難度系數(shù)比較小，按照常規(guī)的方式可直接求出，但相對比較復(fù)雜.采用韋達(dá)定理便可以簡單、直接地求出另一個根.

將原方程變形為x2-6x+1=0，設(shè)方程的另一個根為x1.

根據(jù)韋達(dá)定理得（3-22）+x1=6，則x1=3+22.

例2已知關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+a=0（a為常數(shù)）的一個根為11-3，求a的值.

分析：在本題中，根據(jù)已知條件，可直接將方程的根代入其中，并由此求出a的值.但在解題時，由于該方程的根是無理數(shù)，直接代入其中求a值，將面臨著煩瑣的計算.此時，可利用韋達(dá)定理求出方程的另一個根，從而完成題目的求解.

設(shè)方程的另一個根為x1，則有（11-3）+x1=-6，則x1=-3-11.

之后再次運(yùn)用韋達(dá)定理，根據(jù)a=（-3+11）·（-3-11）=-2.

例3已知x1、x2為一元二次方程3x2-7x+3=0的兩個根，求一個新的一元二次方程，使得其兩根分別為2x1+1、2x2+1.

分析：按照常規(guī)的解題思路，需要先將3x2-7x+3=0的兩個根求出來，之后再將其代入新方程兩個根的代數(shù)式中，最后運(yùn)用列方程法求出新的一元二次方程.但在這一過程中，計算也相對比較煩瑣.此時，如果運(yùn)用韋達(dá)定理，即可簡單完成題目的解答.

設(shè)所求一元二次方程為x2+px+q=0（p、q為常數(shù)），根據(jù)韋達(dá)定理得

p=-（2x1+1+2x2+1）=-2（x1+x2）-2，

q=（2x1+1）（2x2+1）=4x1x2+2（x1+x2）+1.

因為x1+x2=73，x1x2=1，所以p=-2（x1+x2）-2=-2×73-2=-203，

q=4x1x2+2（x1+x2）+1=4+143+1=293.

因此，所求方程為3x2-20x+29=0.

例4設(shè)a、b、c為實數(shù)，且ac≠0，求一個一元二次方程，使它的兩根分別為方程ax2+bx+c=0兩根的倒數(shù)加1.

分析：由于這一方程中含有字母，增加了問題的抽象性，也增加了學(xué)生的解題難度.鑒于此，可采用韋達(dá)定理進(jìn)行解答.

因為ac≠0，則有a≠0，c≠0，假設(shè)ax2+bx+c=0的兩個根為x1、x2.

由韋達(dá)定理得x1+x2=-ba，x1x2=ca.

又c≠0，所以x1≠0，x2≠0.

根據(jù)題目得1x1+1+1x2+1=x1+x2x1x2+2=-bc+2，

1x1+11x2+1=1x1x2+1x1+1x2+1=a-bc+1.

因此，所求方程為x2--bc+2x+a-bc+1=0，經(jīng)整理得cx2+（b-2c）x+a-b+c=0.

可見，在這四道常見的一元二次方程題目中，均是借助韋達(dá)定理巧妙完成題目的解答.如此，不僅提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)解題效率，也促使其在應(yīng)用韋達(dá)定理解題的過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)思維，真正滿足了數(shù)字核心素養(yǎng)下的教學(xué)要求.

1.2.2韋達(dá)定理求解代數(shù)式的值

代數(shù)式求值問題也是初中數(shù)學(xué)考查的重點.在解答這一類型題目中，為了提升解題效率，簡化運(yùn)算過程，必須結(jié)合具體的題目類型，融入一定的解題技巧.在諸多代數(shù)式求解技巧中，韋達(dá)定理應(yīng)用價值尤為顯著.

例1已知方程x2-x-4=0的兩個根分別為x1、x2，求（x21+3x1+4）·（x22+3x2+4）的值.

分析：本題目按照常規(guī)的解題思路，需要先將方程x2-x-4=0的兩個根求出來，之后再代入代數(shù)式中進(jìn)行求解.如此，增加了學(xué)生的計算量，也提升了計算錯誤的可能性.鑒于此，可采用韋達(dá)定理，先將（x21+3x1+4）·（x22+3x2+4）進(jìn)行適當(dāng)變形，之后便可依據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

根據(jù)韋達(dá)定理得x1+x2=1，x1x2=-4.

因為（x21+3x1+4）·（x22+3x2+4）=（x1x2）2+3x1x2（x1+x2）+4（x21+x22）

+12（x1+x2）+9x1x2+16.

又因為x21+x22=（x1+x2）2-2x1x2，

所以（x21+3x1+4）·（x22+3x2+4）=（-4）2+3×（-4）×1+4×［12-2×（-4）］

+12×1+9×（-4）+16=32.

例2已知未知數(shù)x=4-3，求分式x4-6x3-2x2+18x+23x2-8x+15的值.

分析：鑒于本題目的特點，如果按照常規(guī)思路直接將x=4-3代入所求分式中，將面臨極大的計算量，甚至出現(xiàn)了高次冪，超出了學(xué)生已有的知識水平.鑒于此，即可融入韋達(dá)定理，先得到一個一元二次方程，之后再對所求代數(shù)式進(jìn)行變形，最終達(dá)到簡化問題、高效解答的目的.

因為x=4-3，可得出x2-8x+13=0.

對x4-6x3-2x2+18x+23x2-8x+15進(jìn)行變形，得（x2-8x+13）（x2+2x+1）+10（x2-8x+13）+2=5.

例3如果a2+7a+4=0，b2+7b+4=0（a≠b），求ba-ab的值.

分析：根據(jù)已知條件分析，所給出的兩個方程除了字母不同，結(jié)構(gòu)都相同.因此，可將a、b視為方程x2+7x+4=0的兩個根.由此，即可采用韋達(dá)定理進(jìn)行解答.

根據(jù)韋達(dá)定理得a+b=-7，ab=4.

由此可見，a、b均為負(fù)數(shù).

ba-ab=-bab--aab=a-bab=12（a-b）=±12（a+b）2-4ab=±1233.

例4已知a、b分別滿足19a2+99a+1=0，b2+99b+19=0，且ab≠1，求ab+4a+1b的值.

分析：本題目如果按照傳統(tǒng)思路，先通過解方程求出a、b的值，再代入所求的式子中，將面臨煩瑣的運(yùn)算.鑒于此，即可采用韋達(dá)定理增加計算的簡便性、高效性.

對19a2+99a+1=0進(jìn)行變形，得出1a2+991a+19=0.

根據(jù)題目已知條件ab≠1，得1a≠b.

同時，結(jié)合b2+99b+19=0，可得1a、b為方程t2+99t+19=0兩個不相同的根.

根據(jù)韋達(dá)定理得1a+b=-99，ba=19，則1+ab=-99a，b=19a.

因此，ab+4a+1b=-99a+4a19a=-5.

1.2.3韋達(dá)定理求解二次函數(shù)問題

二次函數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)的重難點，也是考查的熱點，并且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn).在研究中發(fā)現(xiàn)，很多二次函數(shù)問題均可采用韋達(dá)定理，通過設(shè)而不求、整體換元等方式，簡化運(yùn)算，最終完成二次函數(shù)問題的高效解答.

例1如圖1所示，拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，直線l與x軸平行，與拋物線相交于A、B兩點，與y軸相交于點M.若AB=6，求OM的長度.

分析：在解答這一道二次函數(shù)問題時，關(guān)鍵就在于結(jié)合拋物線和已知條件，利用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等，求出A、B兩點的坐標(biāo).之后，再運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行求解.

因為拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，所以b2-4c=0.

設(shè)直線l為y=h，則A（m，h），B（n，h）.

聯(lián)立方程y=h，

y=x2+bx+c，得x2+bx+（c-h）=0.

由韋達(dá)定理得m+n=-b，mn=c-h.

因為AB=6，則（n-m）2=36，

即（m+n）2-4mn=36，則b2-4（c-h）=36.

又因為b2-4c=0，所以h=9，即OM的長度為9.

例2如圖2所示，已知拋物線m：y=x2+bx+c的頂點A在直線l：y=x+2上，拋物線m和直線l相交于另一點B，與y軸相交于點C，直線l與y軸相交點D.

（1）如果b=3，求c的值.

（2）如果點B在第二象限，且B為AD的中點，求點A的坐標(biāo).

（3）如果頂點A在x軸上方，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足為M、N，且1AM+1BN=712，求拋物線的解析式.

分析：在解答二次函數(shù)問題時，當(dāng)題目中出現(xiàn)了拋物線與直線相交的情況，交點坐標(biāo)是由拋物線和直線解析式聯(lián)立而成方程組的解，需要將其化為一元二次方程，之后再借助根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行解答.根據(jù)這一思路，可輕松解答本題目.

（1）根據(jù)頂點坐標(biāo)公式，即可輕松得出A-32，4c-94.

將其代入直線l：y=x+2中，得-32+2=4c-94，則c=114.

（2）在這一問題中，明確A、B兩點橫坐標(biāo)之間的關(guān)系xB=xA+1是解題的關(guān)鍵，根據(jù)A、B在直線l：y=x+2上，設(shè)A（m，m+2），B（n，n+2）.

因為A為拋物線m：y=x2+bx+c的頂點，所以其頂點式為y=（x-m）2+m+2=x2-2mx+（m2+m+2）.

聯(lián)立方程y=x+2，

y=x2-2mx+（m2+m+2），得x2-（2m+1）x+（m2+m）=0.

由韋達(dá)定理得m+n=2m+1，即n=m+1，因此，點B的坐標(biāo)為（m+1，m+3）.

因為B為AD的中點，D（0，2），所以m+02=m+1，解方程得m=-2.

因此，點A的坐標(biāo)為（-2，0）.

（3）根據(jù)題意得AM=yA=m+2，BN=yB=m+3.

因為1AM+1BN=712，所以1m+2+1m+3=712，解方程得m=1或m=-187（舍去）.

經(jīng)檢驗m=1是分式方程的根，因此所求拋物線的解析式為y=x2-2x+4.

2基于韋達(dá)定理解題教學(xué)啟示分析

鑒于韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用價值，在日常解題教學(xué)中，教師應(yīng)靈活開展課堂教學(xué)，循序漸進(jìn)地提升學(xué)生運(yùn)用韋達(dá)定理解題的能力.

首先，研讀韋達(dá)定理的歷史，引領(lǐng)學(xué)生明晰其來龍去脈.韋達(dá)定理的歷史發(fā)展過程不僅體現(xiàn)了韋達(dá)知識的起源和發(fā)展，還蘊(yùn)含著大量的思想方法、應(yīng)用價值等.［2］鑒于此，學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，唯有了解韋達(dá)定理的歷史淵源，才能真正掌握這一知識點，并運(yùn)用這一知識點解答數(shù)學(xué)問題.初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，必須深層次挖掘韋達(dá)定理的歷史發(fā)展，對其進(jìn)行梳理，使學(xué)生在清晰的歷史感知中，理解、內(nèi)化這一知識點.

其次，滲透數(shù)學(xué)思想，凸顯韋達(dá)定理的教育價值.［3］在具體的初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，為了強(qiáng)化學(xué)生的韋達(dá)定理應(yīng)用能力，教師要深層次挖掘韋達(dá)定理中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，并基于大量的練習(xí)題目，引導(dǎo)學(xué)生在實際訓(xùn)練中，感受韋達(dá)定理在解題中的應(yīng)用價值.在這一過程中，為了強(qiáng)化教學(xué)效果，還必須尊重學(xué)生的主體地位，借助問題的驅(qū)動，使學(xué)生在問題的引領(lǐng)下，經(jīng)歷自主思考與探究，最大限度地掌握數(shù)學(xué)的本質(zhì)，感悟韋達(dá)定理的魅力，體驗其在解題中的應(yīng)用價值.

最后，及時開展針對性訓(xùn)練，并引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思和總結(jié).韋達(dá)定理作為一種非常重要的解題工具，將其應(yīng)用到解題實踐中，促進(jìn)了復(fù)雜問題簡單化，真正提升了學(xué)生的解題效率.［4］鑒于此，為了真正提升學(xué)生的韋達(dá)定理應(yīng)用能力，教師應(yīng)在日常教學(xué)中為學(xué)生精心篩選相關(guān)的練習(xí)題目，引領(lǐng)學(xué)生在解題實踐中掌握這一解題技巧.另外，在具體的教學(xué)中，教師還應(yīng)充分發(fā)揮自身的引導(dǎo)價值，帶領(lǐng)學(xué)生一邊練習(xí)一邊總結(jié)與歸納，使得學(xué)生在循序漸進(jìn)的訓(xùn)練中，真正提升運(yùn)用韋達(dá)定理解題的能力.［5］

3結(jié)語

韋達(dá)定理作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重難點，其中蘊(yùn)含了一定的數(shù)學(xué)思想，也是一種非常重要的解題工具.經(jīng)解題實踐證明，通過韋達(dá)定理的應(yīng)用，可促進(jìn)繁雜問題簡單化，有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.鑒于此，初中數(shù)學(xué)教師在日常教學(xué)中，不僅要重視韋達(dá)定理的教學(xué)，還應(yīng)結(jié)合大量的解題實踐，使得學(xué)生在運(yùn)用韋達(dá)定理解題的過程中，促進(jìn)知識、思維、能力等全面發(fā)展，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

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［3］謝炳發(fā).例說韋達(dá)定理在初中數(shù)學(xué)解題中的妙用［J］.新課程導(dǎo)學(xué)，2022（22）：54-57.

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