著眼“1”的視角 助力辯證思維發展

摘要：學生在學習數學的過程中，不僅獲取了知識與技能，形成了解決問題的方法，更是推動了思維的發展。學會用聯系的、變化的、整體的觀點看待事物和思考問題，進行多角度、全面分析，是一種高級的思維能力。在教學實踐中，教師需要找到學生辯證思維發展的關鍵點，通過概念的逐級建構，培養學生的理性精神。

關鍵詞：小學數學教學；辯證思維；理性精神

分數概念是小學階段一個重要的數學概念，理解分數概念是學生對單位認識的一次飛躍，這一概念的形成過程也是辯證思維的發展過程。首都師范大學郜舒竹教授指出，“分數作為表征量的語言，是人思維中生成的對象，其說法與寫法的表征形式取決于如何看待單位，也就是如何看待‘1’。 只有確定了‘1’，才能確定幾（或幾分之幾）”。分數的學習，既有確定意義的量，又有相對意義的率。當學生擴展對“1”的認識之后，面對同樣的數量，會有更為靈活的單位選擇和表達形式，這能夠促進學生更辯證地理解數，更靈活地運用“1”建構解決問題的獨創方法。

一、 教材剖析：逐層進階的“1”

教材是教學的依據，透過整數、小數、分數的各認數階段，隨著計數單位的建構和分數概念的豐厚，既可以看到確定的“1”，還能看到相對的“1”。對“1”的認識從絕對到變化，從單一到整體，對“1”內涵的理解在不斷地進階。

（一）在計數單位的分層建構中進階“1”

從“10以內數的認識”開始，教材通過“視多為‘1’”和“視‘1’為多”兩條途徑，或累加或細分，不斷建立計數單位的概念：一方面，通過累加，讓學生體會10個一變成1個十，10個十變成1個百……逐步建立整數計數單位和數位的概念。另一方面，通過細分，形成分數的單位以及小數的單位?？v觀數系的構成，源于一個確定的“1”，而后又把新產生的計數單位看成新的“1”來使用，從“1”到多再到“1”，逐漸深化對單位的理解和認識（如下頁圖1）。

（二）在分數概念的多維理解中進階“1”

分數是一個很復雜的概念，根據Kieren等提出分數概念的五種建構，分別是部分（整體）、比、測量、商、算子。依據這五個分數子概念，梳理教材內容，我們不難發現，教材立足部分（整體）的子概念，研究成果使學生隨著對數的認識逐步加深對“1”的理解，特別是對“1”的相對性有更為深刻的認識。具體表現在更為靈活地選擇和使用單位，使數量以及數量關系的表達方式更趨多樣。對于同樣的對象，可以有不同的表達方式?？v觀教材的體系，可以發現這樣的認識過程（見表1）。

從分數概念建構的整體分析中可見，五年級下冊“分數的意義與性質”單元涵蓋了分數的四種子概念，既有關系視角，又有數量視角。就關系視角而言，可以把一個或者多個看成“1”，也可以把一部分看成“1”，這是一個變化的“1”。而從數量視角中，更多是把一個分數單位看作“1”，分數是分數單位累加的結果。而這些“1”概念的累加，直接影響到學生在解決問題中單位“1”的選擇與轉換。

二、 學情分析：“1”的抽象起點

了解學生的現實起點是進行教學構想的首要任務，筆者對五年級120名學生進行了前測，請學生用不同的方法表示出[13]。通過學生前測情況的分析，筆者發現：層次1的學生僅僅把1個物體、1個圖形、1條線段看作“1”；層次2的學生更多是從關系的角度去理解分數，而“1”的含義遞進為多個量，認為3個中的1個，就是[13]；層次3的學生已經清晰地認識到把3個圓或6個圓看成一個整體，從更抽象的單位“1”的角度去思考分數。從統計數據中可見，超過70%的學生已經達到了層次2，將近40%的學生不僅能把多個量看作單位“1”，更是清晰地表述出“1”與“[13]”的對應關系。但是，學生由于受到部分（整體）分數子概念的局限，絕大部分都是停留在整體即為“1”的層面，能夠突破這個局限的學生僅有8%，而對于分數的測量、商、算子的表征則沒有呈現。

三、 教學實踐：辯證地認識“1”

在五年級下冊“分數的意義與性質”單元教學中，筆者認為可以從關系和數量兩個角度進行分數概念的建構，從而將“1”的認識做大做深，以變化、聯系、整體的“1”引領分數意義和分數單位的逐級建構。在具體教學中，教師可以引導學生緊緊圍繞單位“1”的強化、選擇、確定、統一，透過現象看本質，從而辯證地認識單位“1”，深度建構分數的意義（如圖2）。

（一）在“1”與多的遞增中強化“1”

從前測情況可見，部分（整體）的概念是學生的原生概念，而且大部分學生已經有了把一些物體看成一個整體的意識。在教學中，教師需要強化這樣的意識，從關系的視角幫助學生進一步理解分數的意義。

【教學片段1】 分數是一個整體等分的結果

師：這兩幅圖有什么不同？為什么把3個圓圈起來？

生：我把3個圓看作了一個整體，平均分成3份，這1個圓就是3個圓的[13]。

師：我們把3個圓圈起來，這就可以表示一個整體，涂色的1個圓就是這一個整體的[13]。你們覺得這樣圈起來有道理嗎？

教師引導學生圈一圈，然后再介紹作品。

生：把12個圓看作一個整體，平均分成3份，這樣的1份就是它的[13]。

生：把9個圓看作一個整體，平均分成3份，這樣的1份就是它的[13]。

師：同學們畫的圓的數量各不相同，為什么都能用[13]表示？

生：因為我們都把一些圓看成一個整體，把它們平均分成3份，其中的1份就是[13]。

師：我們在表示過程中，有時把一個物體看作整體（單位“1”），有時候把一些物體看作一個整體（單位“1”）。那么，這個整體我們通常稱為單位“1”。這里都是把我們確定的單位“1”平均分成3份，那么取其中的1份都是[13]。

學生在認識分數的過程中，容易產生思維定式，常常認為總數就是單位“1”，分數是部分與總數的一個關系，這對于學生進一步深入地理解分數的意義是不利的。因此，教師需要引導學生打破思維定式，為后續兩組量進行比較打下基礎。教師可以創設自主選擇單位“1”的開放性活動，讓學生在12個圓中選擇幾個圓作為單位“1”來表示出分數。

學生作品1（把12個圓看成單位“1”）：

學生作品2（把一部分圓看作單位“1”）：

在對學生作品的評析中，教師要引導學生體會單位“1”不一定是整體的全部，也可以是其中的一部分，而表達的分數就是1與分數的一個對應關系。這樣的教學環節設計，讓學生體會到單位“1”可以不斷變化，而變化的單位“1”會對確定量所表示的關系產生影響，并為后續兩組量的比較打下基礎。

（二）在部分與總體關系到獨立關系的轉換中拓展“1”

分數是一個比較復雜的概念，它既代表一種量（即結果），也代表一種率（即過程、關系）。從關系的角度理解分數，這種關系也包括兩個層次：一是部分與整體的關系；二是更一般化的兩個量之間的倍比關系。因此，教師需要引導學生關聯已有的倍比關系，從部分與總體關系比較轉換到獨立量的比較中去，體會單位“1”的選擇與變化對于兩個量關系的重要性。

【教學片段2】 分數是兩個量比較的結果

師：如果還是把7個圓看成單位“1”，那涂色的黑圓會是白圓的幾分之幾呢？

生：我把7個白圓看作單位“1”，平均分成7份，每份就是[17]，黑圓有這樣的5個[17]，就是[57] 。

師：大家有沒有用他這樣的方法來表示分數？你們覺得他的方法給你帶來了什么啟發？

生：我們可以把全部看作單位“1”，其中的一部分可以用分數來表示；也可以把一部分看作單位“1”，另一部分來和它做比較。

師：如果我把這5個涂色的圓看作單位“1”，那白圓是黑圓的幾分之幾呢？

生：就是把5個黑圓平均分成5份，每份就是[15]，白圓有這樣的7份，就是[75]。

師：我們再來看這兩幅作品，都有5個涂黑色的圓，分數怎么不一樣呢？

生：因為我們選擇的單位“1”不同，而且平均分的份數是不同的。

師：所以我們用這幅圖表示出了這么多的分數，看來不同分數的產生最關鍵的是確定的單位“1”是什么，然后才能通過平均分來思考分數單位，最后來數一數有這樣的幾個分數單位。

通過單位“1”的選擇，一方面突破了整體的思維定式；另一方面，進一步拓展了對分數意義的理解。教師可以引導學生把似曾相識的倍比關系與分數建立關聯，從聯系的視角看“1”，從而建立分數作為率的完整概念認知。

（三）在量（liáng）到量（liàng）的建構中固定“1”

分數的概念還有一個重要的維度，那就是測量含義。當被測量對象不是單位量的整數倍時，測量結果就要用分數來表示。這一個分數是分數單位的累加結果，因此分數的測量意義是教學分數概念的重要內容，也是幫助學生體會從測量到數量的完成過程。

【教學片段3】 分數是分數單位累加的結果

師：以紅紙條為標準來測量綠紙條和藍紙條，你能來量一量嗎？

學生進行測量活動。

生：綠紙條的長度是紅紙條的2倍。

師：如果紅紙條記作1，那么綠紙條是幾？

生：紅紙條是1，那綠紙條就是2。

師：藍紙條是多少呢？

生：藍紙條比紅紙條長一點，我們試著把紅紙條平均分，發現平均分成4份時，用一份去量多出來的部分剛好，所以藍紙條是1[14]。

生：我們把紅紙條平均分成4份，每一份是[14]，用紅紙條的[14]去量，藍紙條有這樣的5個，所以藍紙條是[54]。

師：我們用[14]作為單位去測量，能夠得到一個新的分數，如果繼續這樣數下去，你還能得到哪些分數呢？

生：6個[14]就是[64]，7個[14]就是[74]。

分數的測量概念是分數產生的原因之一，更是從分數單位的角度強調了分數作為量的結構和數值信息。從一個具體量入手，通過平均分，產生新的計數單位，累加而成一個新的分數，這個過程是學生對確定“1”的再次深刻認識，也是對分數作為絕對量的大小認知。

（四）在分數到數系的結構拓展中統一“1”

站在數系的視角，整數、小數、分數都具有相同的結構，也就是基于計數單位的建構。在教學中，教師需要打通整數、小數、分數，引導學生明確：在計數過程中，要先確定計數單位，也就是“1”，再數出有幾個這樣的單位。教師通過依次呈現三組數軸（如圖3），幫助學生回憶對整數、小數的認識。整數和小數的認識從計數單位開始，通過累加得到更多的數，以此遷移類推到對分數的認識：先確定分數單位，再通過分數單位的累加，掌握分數的計數方法。

然后，教師又通過把三條數軸合并成一條數軸（如圖4），把整數、分數、小數統一的單位“1”，呈現動點A，引導學生思考：動點A什么時候是真分數？什么時候是假分數？最后，教師讓學生在數軸上找一找[109]，[716]所對應的點，從而使其對分數作為一個數的大小產生深刻的體驗。

基于數軸，實現分數到數系結構拓展，既使學生對分數的結構有了更為深刻的認識，更對形成“以整體的眼光看分數”的辯證思維具有重要意義。

分數是一個復雜的數學概念，因為其豐富的內涵，也使得學生在學習過程中容易產生混淆，無法清晰地理解其本質內涵。因此，在教學中，教師需要牢牢把握單位“1”的認識，把“1”作為學生學習分數的一個“引擎”，形成變化的、發展的、整體的“1”的眼光，助推學生數感的產生和辯證思維的發展。

參考文獻：

［1］鄭毓信.數學教育與辯證思維：兼論“數學教育的關鍵”［J］.數學教育學報，2023（2）.

［2］郜舒竹.看“一”的眼光［J］.教學月刊·小學 版（數學），2020（11）.

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［4］馬紅斐，楊伊生.關系與數量：分數概念理解的不同視角［J］.內江師范學院學報，2023（10）.

［5］葉青.指向學生思維發展的小學數學“1與多”辯證認知策略［J］.遼寧教育，2024（17）.

（責任編輯：楊強）