“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式在初中數(shù)學(xué)課堂的應(yīng)用與思考

［摘要］“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，重視學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題能力的培養(yǎng). 在日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出問題，并鼓勵(lì)學(xué)生主動(dòng)解決問題. 通過親身體驗(yàn)知識(shí)的發(fā)現(xiàn)與形成過程，推動(dòng)學(xué)生全面發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式；過程；全面發(fā)展

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，尤其是在概念、性質(zhì)、公式等基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)中，部分教師為了“求快、求多”，常常采用“講授+練習(xí)”模式讓學(xué)生識(shí)記、套用.這種模式不利于學(xué)生學(xué)習(xí)能力和思維能力的提升，還容易引發(fā)學(xué)生的厭倦情緒.因此，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生參與知識(shí)的形成過程，鼓勵(lì)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、自主探索、自主應(yīng)用，讓學(xué)生逐步形成適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格與關(guān)鍵能力［1］.在這一思路的指導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)迅速采納“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式，以滿足數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育要求.在該模式下，“引導(dǎo)”主要針對(duì)教師而言，而“發(fā)現(xiàn)”則聚焦于學(xué)生.教師的引導(dǎo)旨在促進(jìn)學(xué)生的自主發(fā)現(xiàn)，兩者呈相輔相成關(guān)系.引導(dǎo)與發(fā)現(xiàn)相互依存，引導(dǎo)不應(yīng)簡化為鋪設(shè)現(xiàn)成的道路，而應(yīng)激發(fā)學(xué)生更深層次的發(fā)現(xiàn).盡管“發(fā)現(xiàn)”本質(zhì)上屬于學(xué)生，但鑒于初中生的學(xué)習(xí)能力和認(rèn)知特性，他們的“發(fā)現(xiàn)”過程無法完全獨(dú)立.因此，教師必須超越傳統(tǒng)的教學(xué)觀念，從輔助學(xué)生發(fā)現(xiàn)的角度出發(fā)，培養(yǎng)引導(dǎo)技能，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的健康發(fā)展，這無疑是對(duì)許多教師發(fā)起了重大挑戰(zhàn).教師在繼承優(yōu)秀教學(xué)傳統(tǒng)的同時(shí)，構(gòu)建以學(xué)生為中心的教學(xué)理念，在實(shí)踐中不斷積累經(jīng)驗(yàn)，提升教學(xué)水平.在教授“角平分線的性質(zhì)”時(shí)，筆者運(yùn)用“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式，有效地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并促進(jìn)了他們的個(gè)性發(fā)展.

教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)探究欲

情境：小明的家正好位于自來水管道和天然氣管道所形成角的平分線上的P 點(diǎn).若需從P 點(diǎn)鋪設(shè)兩條管道，分別連接自來水管道和天然氣管道，如何鋪設(shè)才能使總距離最短？這兩條管道的長度存在怎樣的關(guān)系？師生活動(dòng) 教師讓學(xué)生畫一畫、量一量， 猜想這兩條管道的長度相等.

設(shè) 計(jì)意圖 以生活實(shí)例為背景，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)并鞏固角平分線的概念，同時(shí)直觀地感受角平分線上任意一點(diǎn)到兩邊的距離相等，能有效地激發(fā)學(xué)生的探究興趣.學(xué)生的探究興趣一旦被點(diǎn)燃，他們?cè)趯W(xué)習(xí)過程中更容易有所發(fā)現(xiàn)，從而為“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”教學(xué)模式的實(shí)施打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 探究角平分線的畫法

師 剛才你們是如何畫一個(gè)角的平分線的？

生1 我是憑感覺畫的.

師 還有沒有其他方法呢？

生2 可以使用量角器來畫.

師 是個(gè)辦法，不過這兩種方法都會(huì)產(chǎn)生誤差.你能利用其他方法準(zhǔn)確地畫出已知角的角平分線嗎？（學(xué)生積極思考）

生3 可以使用尺規(guī)來畫.

師 請(qǐng)大家先動(dòng)手畫一畫，說說你們的發(fā)現(xiàn).（教師預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手操作）

生4 根據(jù)情境可知，我們要畫∠AOB的平分線OC，而兩點(diǎn)確定一條直線，點(diǎn)O 不變，因此我們只需確定另一點(diǎn)C的位置即可.

師 那么，點(diǎn)C 在哪里呢？

生5 我們可以倒過來想，如圖1，假設(shè)點(diǎn)P 是∠AOB 平分線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)P 作PD ⊥ OB于D，作PE ⊥OA于E.結(jié)合角平分線的概念及三角形全等經(jīng)驗(yàn)易證△OPE≌△OPD，所以O(shè)E=OD. 分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E 為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)就是所求的點(diǎn)C.

師 很好.從剛剛的情境入手，發(fā)現(xiàn)圖1中蘊(yùn)含的等量關(guān)系，通過逆向推理找到了解決問題的突破口.仔細(xì)分析以上過程，談?wù)勀銈兊陌l(fā)現(xiàn).

生6 點(diǎn)D 和點(diǎn)E 是在已知點(diǎn)P是∠AOB的平分線上的點(diǎn)的前提下找到的，如果不清楚點(diǎn)P 的具體位置，我們?cè)撊绾螌ふ襉E=OD呢？

生7 以點(diǎn)O 為圓心，任意長為半徑畫弧，交∠AOB 的兩邊于點(diǎn)D和點(diǎn)E，由此可得OE=OD.

師 補(bǔ)充得非常好.現(xiàn)在，請(qǐng)大家總結(jié)歸納作角平分線的方法，并利用該方法作一個(gè)已知角的平分線.

在教學(xué)中，教師應(yīng)預(yù)留時(shí)間讓學(xué)生動(dòng)手操作，并指導(dǎo)學(xué)生將操作步驟一一記錄下來.當(dāng)大部分學(xué)生完成任務(wù)后，教師應(yīng)利用投影儀展示學(xué)生的作品，并邀請(qǐng)學(xué)生口頭描述繪圖過程，然后讓學(xué)生相互點(diǎn)評(píng).通過這種動(dòng)手實(shí)踐和口頭表達(dá)的方式，能夠使學(xué)生更深入地理解角平分線的畫法，同時(shí)鍛煉他們的語言表達(dá)技巧，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力.

設(shè)計(jì)意圖 教師從學(xué)生的已有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)他們經(jīng)歷一個(gè)從無到有的自主探究過程，使他們能夠發(fā)現(xiàn)、理解并掌握已知角的平分線的畫法.在這個(gè)過程中，教師以學(xué)生為中心，運(yùn)用發(fā)現(xiàn)式探究方法，有效地激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和推理能力，促進(jìn)理性思維習(xí)慣的養(yǎng)成.深入研究學(xué)生的學(xué)習(xí)過程不難發(fā)現(xiàn)，學(xué)生最初大多是依靠直覺來畫角平分線，也有學(xué)生嘗試使用量角器，這些都是基于直覺的解決數(shù)學(xué)問題的方法.這時(shí)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從直覺走向理性，即讓學(xué)生超越直覺認(rèn)識(shí)，將解決問題的思路建立在作圖工具和數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)之上，這就是學(xué)生的發(fā)現(xiàn)過程，既有學(xué)生的初步探索，也有成功之后的深入研究.可以說，學(xué)生是在自身成就動(dòng)機(jī)的推動(dòng)下進(jìn)行深入研究的，而教師則發(fā)揮了關(guān)鍵性的引導(dǎo)作用.

3. 探究角平分線的性質(zhì)

師 在研究幾何圖形時(shí)，我們通常遵循哪些思路呢？

生8 以平行線為例，我們首先探討其概念，隨后深入研究其性質(zhì)、判定定理以及應(yīng)用.

師 我們已經(jīng)掌握了角平分線的定義，并熟悉了角平分線的畫法，接下來你們希望探索哪些內(nèi)容呢？

生齊聲答 角平分線的性質(zhì).

設(shè)計(jì)意圖 教師通過引導(dǎo)學(xué)生將新知識(shí)與已有知識(shí)進(jìn)行類比，不僅順利過渡到下一個(gè)研究主題，而且?guī)椭鷮W(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在某種內(nèi)在聯(lián)系，這對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的理性思維和構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系具有積極意義.

師 請(qǐng)大家按照如下步驟作圖：①任意畫一個(gè)∠AOB；②作∠AOB 的平分線OC；③在OC 上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P 作PE ⊥ OA， PD ⊥ OB， 垂足分別為E，D.

師 由于大家所作的角的大小各不相同，因此得到的圖形也各不相同.分析這些不同的圖形，你認(rèn)為有哪些是保持不變的？又有哪些是發(fā)生了變化的？

生9 大家所作的角的大小各不相同，所以角的大小是變化的；由于點(diǎn)P 是OC 上的任意一點(diǎn)，因此點(diǎn)P 在OC 上的位置是變化的；隨著點(diǎn)P 的位置的變化，PE，PD 的長度也會(huì)隨之變化，不過，無論點(diǎn)P 的位置如何變化， ∠PEO = ∠PDO =90°和PE = PD 始終不變.

師 分析得非常好，在變與不變中找到了兩個(gè)相等關(guān)系. 那么，PE = PD 為什么始終不變呢？你們能給出具體的理由嗎？

生10 根據(jù)已知條件均可證明△OPE≌△OPD，所以PE = PD.師 結(jié)合以上變與不變的關(guān)系，請(qǐng)說一說你們的發(fā)現(xiàn).

生11 無論∠AOB 的大小如何變化，以及點(diǎn)P 在角平分線上的位置如何變化，總有PE = PD.也就是說PE = PD 與角的大小及點(diǎn)P 在角平分線上的位置無關(guān).

師 你們能用數(shù)學(xué)語言進(jìn)一步歸納總結(jié)這一發(fā)現(xiàn)嗎？

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納總結(jié)，并組織學(xué)生互動(dòng)交流.隨后，教師總結(jié)討論內(nèi)容，得出角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

師 對(duì)于這一性質(zhì)定理，如何證明呢？

教師啟發(fā)學(xué)生思考已知條件和結(jié)論，然后結(jié)合已知條件畫出圖形，利用符號(hào)語言表示已知和結(jié)論，最后運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行邏輯證明.

師 你能將這一性質(zhì)定理轉(zhuǎn)化為一道證明題嗎？

生12如圖1，已知OC平分∠AOB， 點(diǎn)P 是OC上一點(diǎn)， 作PE ⊥ OA 于E， 作PD ⊥ OB 于D，求證：PD=PE（證明過程略） .

設(shè)計(jì)意圖 教師滲透變與不變的思想方法，引導(dǎo)學(xué)生在變化中逐步辨識(shí)出不變的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而掌握角平分線的性質(zhì).在此過程中，教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步驗(yàn)證角平分線的性質(zhì)定理，以此深化對(duì)角平分線性質(zhì)定理的理解，并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力.

4. 應(yīng)用練習(xí)，理解新知

例1 如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線， 且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分別為E，F(xiàn).求證：EB = FC.

師生活動(dòng) 例1的難度適中，教師首先讓學(xué)生獨(dú)立證明，隨后引導(dǎo)學(xué)生闡述證明思路，最后教師展示完整的證明過程.在例1得到妥善證明之后，教師接著提出兩道變式題目：

變式1：在△ABC 中，若∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分線，DE ⊥ AB 于E，F(xiàn) 在AC 上，且BD =DF，求證：CF = EB.

變式2： 在△ABC 中，若∠C =90°，AD是∠BAC的平分線，DE ⊥ AB于E，BC = 8，BD = 5，求DE.

設(shè)計(jì)意圖 教師引導(dǎo)學(xué)生直接運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理解決問題，以進(jìn)一步鞏固和加強(qiáng)角平分線性質(zhì)定理的理解，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力.同時(shí)，在這一過程中，通過一題多變策略，可以有效地拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，拓寬解題思路，進(jìn)而培養(yǎng)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用能力.

5. 課堂小結(jié)，促進(jìn)內(nèi)化

師 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你們有哪些收獲？還存在哪些困惑？請(qǐng)從知識(shí)、技能、思想方法等方面談?wù)勀銈兊南敕?

師生活動(dòng) 教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，鼓勵(lì)他們主動(dòng)交流，最后由教師進(jìn)行總結(jié)，營造一種充滿活力的課堂氛圍.

設(shè)計(jì)意圖 教師安排時(shí)間讓學(xué)生歸納總結(jié)，能有效激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力和歸納總結(jié)能力，促進(jìn)知識(shí)和思想方法的內(nèi)化.

教學(xué)思考

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)注重對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)作用，鼓勵(lì)他們積極投身于知識(shí)海洋的探索.重視并運(yùn)用“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”模式，促進(jìn)教學(xué)過程的持續(xù)改進(jìn)，從而提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)水平［2］ .在日常教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)和技能的理解與掌握，還應(yīng)注重思想方法和情感態(tài)度的全面發(fā)展.這樣，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不僅能獲得知識(shí)，還能將學(xué)到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法應(yīng)用于其他問題的分析和解決，從而達(dá)到培養(yǎng)終身學(xué)習(xí)能力的目的.

“引導(dǎo)-發(fā)現(xiàn)”模式的應(yīng)用，能夠?yàn)閷W(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用中帶來良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn)和精神狀態(tài)——這是一種既滿足學(xué)生認(rèn)知發(fā)展又關(guān)照情感需求的教學(xué)方式，同時(shí)也有助于構(gòu)建師生之間更加自然和諧的教學(xué)關(guān)系.教師必須深刻認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)教學(xué)并非是讓學(xué)生機(jī)械記憶數(shù)學(xué)概念，然后用于解答問題的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)是學(xué)生在內(nèi)在動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)下主動(dòng)構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)，并在此過程中掌握數(shù)學(xué)思維方法、提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的過程.這種教學(xué)方式對(duì)于學(xué)生而言，通常意味著一種無壓力的、純粹的數(shù)學(xué)探究經(jīng)歷，而探究過程中產(chǎn)生的各種情感體驗(yàn)，又可能進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，推動(dòng)他們向更高層次邁進(jìn).豐富的教學(xué)實(shí)踐證明，當(dāng)學(xué)生處于主動(dòng)探索的學(xué)習(xí)狀態(tài)時(shí)，教師自然而然地轉(zhuǎn)變?yōu)檫m時(shí)的引導(dǎo)者角色.因此，教師需要培養(yǎng)觀察學(xué)生學(xué)習(xí)過程的能力，識(shí)別學(xué)生在哪些環(huán)節(jié)需要引導(dǎo)，以及引導(dǎo)應(yīng)達(dá)到何種程度……通過這種“引導(dǎo)”，學(xué)生的“發(fā)現(xiàn)”能力將得到有效提升.從此視角審視上述案例，我們發(fā)現(xiàn)無論是問題的設(shè)置與提出，還是變式的提供，本質(zhì)上都是在學(xué)生探索過程中進(jìn)行引導(dǎo)的嘗試，而學(xué)生確實(shí)在這一過程中實(shí)現(xiàn)了持續(xù)成長.

深入分析上述案例，我們發(fā)現(xiàn)在本課程的教學(xué)實(shí)踐中，教師十分注重融入變與不變的思想方法.引導(dǎo)學(xué)生觀察變化的圖形，學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)了一個(gè)不變的規(guī)律：無論角的大小如何變化，角平分線上的任意一點(diǎn)到兩邊的距離總是相等.這一發(fā)現(xiàn)讓學(xué)生在變與不變之間歸納出角平分線的性質(zhì)定理.此外，教師在教學(xué)過程中鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考、主動(dòng)探索和相互交流，在獨(dú)立思考與合作探究中激發(fā)思維碰撞的火花.這種方法能有效地激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)性和積極性，提升他們分析問題和解決問題能力.

總之，在日常教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)，讓學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，切實(shí)提升學(xué)生參與課堂的積極性，培養(yǎng)學(xué)生勇于實(shí)踐、敢于探索的學(xué)習(xí)精神，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 教師應(yīng)擺正自己作為“引導(dǎo)者”的角色定位，并且恰如其分地發(fā)揮“教學(xué)”作用，進(jìn)而鞏固數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ).