高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐研究

摘要：在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)建模是較為重要的核心素養(yǎng).教師應(yīng)依據(jù)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的具體表現(xiàn)，建立科學(xué)的教學(xué)框架，并合理運(yùn)用在人教A版的“指數(shù)函數(shù)的概念”課程教學(xué)中.編制完善的教學(xué)框架并應(yīng)用于教學(xué)設(shè)計(jì)，有助于提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；建模素養(yǎng)；教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G632文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1008-0333（2025）09-0031-03

數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)是《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》較為重要的課堂內(nèi)容，在數(shù)學(xué)教學(xué)期間，探究活動(dòng)是關(guān)鍵的構(gòu)成部分，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模進(jìn)行數(shù)學(xué)探究教學(xué)活動(dòng)，可提高學(xué)生的實(shí)踐水平.因此，教師需對(duì)高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐進(jìn)行深入研究.

1數(shù)學(xué)建模活動(dòng)與數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的育人價(jià)值

在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，需要結(jié)合實(shí)際問題，構(gòu)建完善的數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用具有抽象特征的數(shù)學(xué)語言對(duì)問題進(jìn)行表述，同時(shí)，采用各種數(shù)學(xué)知識(shí)與模式建立處理問題的方法，整個(gè)過程具有較高的復(fù)雜性.而數(shù)學(xué)探究教學(xué)活動(dòng)基本是以數(shù)學(xué)問題為中心，幫助學(xué)生進(jìn)行獨(dú)立學(xué)習(xí)、探究，并開展相互合作，從而能夠有效解決問題.在教學(xué)中開展的建模和探究活動(dòng)，滿足當(dāng)前高中數(shù)學(xué)要求，此學(xué)習(xí)活動(dòng)主要圍繞問題開展教學(xué)，讓學(xué)生積極參與其中，并采用小組合作的方法，使學(xué)生能夠?qū)⒆陨碚莆盏闹R(shí)合理運(yùn)用到教學(xué)活動(dòng)中.在高中教學(xué)期間，利用數(shù)學(xué)建模和探究活動(dòng)，可顯著增強(qiáng)學(xué)生獨(dú)立學(xué)習(xí)與解決問題的能力，為拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維以及深入理解各類知識(shí)提供可靠保障[1].

2數(shù)學(xué)建模探究活動(dòng)案例設(shè)計(jì)

2.1課程選擇

在本次教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師以人教A版高中數(shù)學(xué)“指數(shù)函數(shù)”課程教學(xué)為例，結(jié)合教材內(nèi)容與要求，明確教學(xué)重點(diǎn)，將培養(yǎng)學(xué)生建模素養(yǎng)作為目標(biāo)，開發(fā)設(shè)計(jì)教學(xué)方案.

2.2新課引入：發(fā)現(xiàn)和提出問題

教師：每年節(jié)假日期間，旅游人數(shù)顯著增加，以下對(duì)兩個(gè)景區(qū)內(nèi)旅游人次實(shí)際變化情況進(jìn)行全面對(duì)比（見表1），有沒有找出相關(guān)的變化規(guī)律？是否能夠運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行描述？

學(xué)生：互相探討，手動(dòng)作業(yè)，初步體會(huì).在繪制散點(diǎn)圖時(shí)，利用描點(diǎn)法，然后使用光滑曲線與離散位置相連接（如圖1）.A地景區(qū)中的游客人次在圖中為上升直線，并呈現(xiàn)出線性增長(zhǎng)；而B地景區(qū)中，旅游人次顯著增加，通過對(duì)增長(zhǎng)曲線特征進(jìn)行分析，具有非線性特征，很難找出變化規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖在課堂教學(xué)中，教師為便于學(xué)生理解函數(shù)知識(shí)，采用情境教學(xué)模式，為學(xué)生創(chuàng)建真實(shí)生活場(chǎng)景，降低問題理解與分析難度.指導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)以及圖中信息，學(xué)生通過觀察了解每年游客的數(shù)量變化情況，可簡(jiǎn)化問題.

2.3概念生成：建立和求解模型

2.3.1假設(shè)模型

教師：為了能夠獲取到B地景區(qū)中的旅游人次實(shí)際變化情況，應(yīng)采用哪種方法？

師生活動(dòng)：要求學(xué)生對(duì)A地景區(qū)游客數(shù)量與時(shí)間的關(guān)系進(jìn)行重點(diǎn)分析，并抽象出函數(shù)表達(dá)式，從而判斷A地景區(qū)旅游人次和年數(shù)之間是否符合函數(shù)關(guān)系.

教師：在B地景區(qū)中，游客人數(shù)與年數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為？

學(xué)生：以小組為單位進(jìn)行分析.學(xué)生首先將反比例、正比例以及一次函數(shù)排除在外，又聯(lián)想到與先前學(xué)習(xí)的二次函數(shù)圖象較為相近.

師生活動(dòng)：幫助學(xué)生分析此圖象，判斷其是否符合二次函數(shù)的特征.

指導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立繪制出體現(xiàn)時(shí)間與年增加量的散點(diǎn)圖，并用光滑曲線連接各點(diǎn)（如圖2），觀察發(fā)現(xiàn)圖象一次函數(shù)特征.根據(jù)圖中內(nèi)容，B地景區(qū)游客人次與年數(shù)之間符合二次函數(shù)關(guān)系[2].

設(shè)計(jì)意圖指導(dǎo)學(xué)生在模型創(chuàng)建與分析過程中縮小研究范圍，從而為問題分析提供便利.

2.3.2建立模型

教師：為準(zhǔn)確計(jì)算年增長(zhǎng)量，需對(duì)連續(xù)兩年游客數(shù)量的變化情況進(jìn)行計(jì)算分析.那B地景區(qū)每年游客人次該如何計(jì)算呢？通過計(jì)算分析，找出人次變化規(guī)律.A地景區(qū)游客人次數(shù)量的變化幅度比較小，與A地景區(qū)對(duì)比時(shí)，使用什么方法才能找到B地景區(qū)游客人次的具體不變量呢？在構(gòu)建模型時(shí)，應(yīng)依據(jù)2016—2023年間的游客人次對(duì)比，然后利用此模型對(duì)2023年的游客人次進(jìn)行精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，再將預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與模型得出的數(shù)據(jù)作對(duì)比，從而論證模型是否合理、可靠.

師生活動(dòng)：在對(duì)事物變化量進(jìn)行描述時(shí)，需要重點(diǎn)關(guān)注增長(zhǎng)率與增加量，避免僅通過增加量來推斷B地景區(qū)中游客人次的實(shí)際變化情況，教師需指導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用年增長(zhǎng)率構(gòu)建模型.

設(shè)計(jì)意圖在建立模型時(shí)，需要對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行分析并對(duì)圖象實(shí)施全面觀察，以完成數(shù)學(xué)建模.在第三步中，創(chuàng)建模型：利用模型進(jìn)行觀察與分析，將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型，拓展學(xué)生構(gòu)建模型的創(chuàng)新思維能力.

2.3.3求解模型

學(xué)生：組織小組探究活動(dòng)，精準(zhǔn)計(jì)算模型.在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，能夠發(fā)現(xiàn)B地景區(qū)中的游客人次在增長(zhǎng)率方面與常數(shù)相似.因此，可利用增長(zhǎng)率相似情況，計(jì)算出B地景區(qū)中游客人次的具體變化情況.教師需要幫助學(xué)生計(jì)算出B地景區(qū)中游客人次的實(shí)際變化規(guī)律.

設(shè)計(jì)意圖利用不同計(jì)算方法以及處理各類信息，對(duì)變化規(guī)律進(jìn)行歸納總結(jié)，不僅能夠拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)創(chuàng)新思維，提升其運(yùn)算水平，還可以完善模型并對(duì)模型進(jìn)行檢測(cè).

2.4概念深化：檢驗(yàn)和完善模型

教師：請(qǐng)學(xué)生構(gòu)建B地景區(qū)游客人數(shù)變化情況的模型.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生活躍思路，思考此模型能否達(dá)到相關(guān)情境要求.

學(xué)生：學(xué)生之間相互溝通交流，探討分析.一年后的旅游人數(shù)為2016年的1.111倍，依次推測(cè)，在x年后，旅游人數(shù)為2016年的1.11x倍，x年后游客總?cè)藬?shù)為2016年游客總?cè)藬?shù)的y倍，因此，y=1.11x（x∈[0，+∞））.據(jù)此分析，學(xué)生的理解難度顯著降低，為進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容的理解和認(rèn)識(shí)，還可以繪制散點(diǎn)圖進(jìn)行全面對(duì)比.

師生活動(dòng)：將以上分析所得模型作為基礎(chǔ)，即y=1.11x（x∈[0，+∞）），計(jì)算分析2023年游客人數(shù)為1198.依據(jù)相關(guān)信息了解到2023年B地景區(qū)游客人數(shù)僅為1244，得出模型數(shù)據(jù)與具體人數(shù)之間的相對(duì)偏差為3.7%，反映出模型預(yù)測(cè)出的信息有著較高的精準(zhǔn)性.

設(shè)計(jì)意圖在此環(huán)節(jié)中，主要目的是完成建模的相關(guān)步驟，包括修改模型與解釋結(jié)果.解釋結(jié)果旨在讓學(xué)生全面了解構(gòu)建與求解模型的整個(gè)過程.若學(xué)生沒有充分理解，需依據(jù)自己的理解闡述具體過程，如此便有望理解全部?jī)?nèi)容[3].

教師：某種生物在死亡之后，機(jī)體中原先的碳14會(huì)根據(jù)相關(guān)的衰減率不斷減少，每過5730年左右，其體內(nèi)中的碳14含量會(huì)減少至先前的一半.在規(guī)律沒有發(fā)生變化的情況下，機(jī)體中的碳14含量和死亡數(shù)量有著什么關(guān)聯(lián)？引導(dǎo)學(xué)生思考，根據(jù)以上建模環(huán)節(jié)獨(dú)自解決此類問題.

學(xué)生：結(jié)合以上數(shù)據(jù)進(jìn)行建模.

教師總結(jié)：指導(dǎo)學(xué)生對(duì)兩個(gè)函數(shù)模型的相同特點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納，如果使用字母a對(duì)數(shù)字模型中的底數(shù)進(jìn)行更換，則函數(shù)能夠表示為y=ax，要求a在0～1的范圍內(nèi)，而x則代表自變量.

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生在單獨(dú)構(gòu)建模型時(shí)，可深入了解數(shù)學(xué)模型的各方面程序，并在訓(xùn)練期間拓展創(chuàng)新思維能力，提升數(shù)學(xué)建模意識(shí).

2.5應(yīng)用探索：分析和解決問題

例題（1）游客在旅游時(shí)，至少能夠?yàn)楫?dāng)?shù)貏?chuàng)造出1000元的經(jīng)濟(jì)效益，A地景區(qū)每張門票為150元，求出A與B地景區(qū)在15年中具體收益.

（2）某種類型的生物在死亡之后，時(shí)間過去1萬年，其機(jī)體中的碳14含量會(huì)減少到原先的多少？

設(shè)計(jì)意圖此環(huán)節(jié)主要是為了完成數(shù)學(xué)建模環(huán)節(jié)中獲取結(jié)論的步驟，保證學(xué)生在運(yùn)用指數(shù)函數(shù)模型過程中，能有效處理現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的問題，并理解此類函數(shù)的相關(guān)概念.

2.6課堂小結(jié)：提升建模能力

教師：幫助學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)概念、數(shù)學(xué)建模相關(guān)程序與觀念進(jìn)行全面歸納總結(jié)，并組織學(xué)生進(jìn)行互評(píng)與自評(píng)，第一時(shí)間予以反饋，同時(shí)對(duì)學(xué)生在課程教學(xué)中的表現(xiàn)給予肯定.

設(shè)計(jì)意圖在教學(xué)過程中，教師需要指導(dǎo)學(xué)生重溫建模流程，使其能夠?qū)⒔＿^程應(yīng)用到日常生活與學(xué)習(xí)中.讓學(xué)生獨(dú)立總結(jié)新的知識(shí)，建立完善的知識(shí)體系，助力學(xué)生核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

本次課程設(shè)計(jì)能夠?qū)?shù)學(xué)建模素養(yǎng)有效融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，利用數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)程序，使學(xué)生和教師能夠全面認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)建模的重要性.在進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，學(xué)生如果從實(shí)際問題出發(fā)，可與現(xiàn)實(shí)生活接軌[4].

3結(jié)束語

綜上所述，本文對(duì)高中數(shù)學(xué)建模在探究活動(dòng)中的應(yīng)用與實(shí)踐進(jìn)行全面分析.依據(jù)相關(guān)規(guī)定和標(biāo)準(zhǔn)中的數(shù)學(xué)建模要素，設(shè)計(jì)出科學(xué)合理的教學(xué)框架以及建模活動(dòng)，并應(yīng)用于指數(shù)函數(shù)的概念課程教學(xué)中，為高中數(shù)學(xué)的概念教學(xué)提供支持.

參考文獻(xiàn)：

［1］李現(xiàn)勇.指向思維進(jìn)階的高中數(shù)學(xué)建模課程資源開發(fā)的實(shí)踐探索[J].數(shù)學(xué)通報(bào)，2024，63（07）：6-10，15.

[2]殷啟航，虞秀云.基于差異教學(xué)理論的高中數(shù)學(xué)建模活動(dòng)教學(xué)探索[J].教育觀察，2024，13（14）：82-84，99.

[3]張文濤.核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)建模課程構(gòu)建與實(shí)施[J].中國(guó)教育學(xué)刊，2024（02）：1-8.

[4]張麗嬌.高中階段學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的現(xiàn)狀與路徑探索[J].甘肅教育研究，2023（06）：106-108.

［責(zé)任編輯：李慧嬌］

收稿日期：2024-12-25

作者簡(jiǎn)介：林光美，本科，一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.