一道有特殊條件的四邊形問題解法探究

1原題呈現

如圖1，四邊形ABCD 中，AB=CD ∠ABC+∠BCD=270^°. （1）求 ∠A+∠D 的度數；（2）連接 AC ，若 ∠ACB= 45^° ，求證： BC²+2AC²=AD²

（3）E，F 分別為線段BC和 AD 上的點， G 是線段 EF 上任意一點，且 ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等，過點 D 作 DH⊥EF ，交直線 EF 于點 H ，連接 AH .若AD=4 ，求 AH 的最小值.

2試題分析

（1）根據四邊形的內角和求解即可.

（2）平方和一般與勾股定理相結合，而 BC，AC 與直角三角形沒有聯系，解題陷入僵局.此時，分析條件與前面的結論是調整思路的一個策略.由 AB=CD ，∠BAD+∠D=90^° ，我們可以考慮以 CD 為邊作一個新三角形與 ΔABC 全等.于是過點 D 作 DG⊥AC 交AC 的延長線于點 G ，在 DG 的延長線上截取 DF= AC .連接 CF ，易證得 ΔABC?ΔCDF ，則 ∠F= ∠ACB=45^° CF=BC ，從而 根據 AG²+DG²=AD² ，可以得到 ，進一步得出結論.

第二種解題思路，構造全新的直角三角形，使其三邊分別等于 .怎樣實現這一目標？將 ΔACD 繞點 c 順時針旋轉 90^° 得 ΔECF ，連接 AE ，AF ，得到 ΔAEF ，則 EF=AD ；再證明四邊形 ABCF 為平行四邊形，則 AF=BC ；由旋轉容易證得等腰直角三角形 CAE ，則 問題獲解.

（3）考慮到 ∠A+∠D=90^° ，延長 AB，DC ，交于點 X ，可得 ∠AXD=90^° ，審視已知條件 AD=4，AD 所對的角是不變的，容易作出 RtΔADX 的外接圓，從而得出點 X 在以 AD 為直徑的圓 o 上運動.根據ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等， AB=CD ，結合三角形面積，可知 AB，CD 邊上的高相等，進而由“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”的逆定理，推出 EF 在∠AXD 的角平分線上.設 EF 交圓 O 于點 W ，運用圓的性質“同圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，可推出 W 是半圓弧 AWD 的中點.進一步運用圓的性質、等腰直角三角形、輔助圓等，得 進而推出點 H 在以DW為直徑的圓 I 上運動，連接AI ，交 ?I 于點 H ，則 AH 最小，解三角形 ADI ，進一步得出結果.

3試題解答

（1）解：在四邊形 ABCD 中，

： ?∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360^°， ∠ABC+∠BCD=270^°，

： ∴∠A+∠D=360^°-（∠ABC+∠BCD）=90^°. （204號（2）證法一：如圖2，過點 D

作 DG⊥AC 交 AC 的延長線于點

G ，在 DG 的延長線上截取 DF=

AC ，連接 CF ： ∠DAC+∠ADC ∠CDG=90^° ，∠BAD+∠ADC=90^°， ·∠CDF=∠BAC

又 AB=CD ，

！ ?ΔABC?DCF（SAS）

·∠F=∠ACB=45^°，CF=BC.

（20號