一道有特殊條件的四邊形問題解法探究

1原題呈現

如圖1，四邊形ABCD 中，AB=CD ∠ABC+∠BCD=270^°. （1）求 ∠A+∠D 的度數；（2）連接 AC ，若 ∠ACB= 45^° ，求證： BC²+2AC²=AD²

（3）E，F 分別為線段BC和 AD 上的點， G 是線段 EF 上任意一點，且 ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等，過點 D 作 DH⊥EF ，交直線 EF 于點 H ，連接 AH .若AD=4 ，求 AH 的最小值.

2試題分析

（1）根據四邊形的內角和求解即可.

（2）平方和一般與勾股定理相結合，而 BC，AC 與直角三角形沒有聯系，解題陷入僵局.此時，分析條件與前面的結論是調整思路的一個策略.由 AB=CD ，∠BAD+∠D=90^° ，我們可以考慮以 CD 為邊作一個新三角形與 ΔABC 全等.于是過點 D 作 DG⊥AC 交AC 的延長線于點 G ，在 DG 的延長線上截取 DF= AC .連接 CF ，易證得 ΔABC?ΔCDF ，則 ∠F= ∠ACB=45^° CF=BC ，從而 根據 AG²+DG²=AD² ，可以得到 ，進一步得出結論.

第二種解題思路，構造全新的直角三角形，使其三邊分別等于 .怎樣實現這一目標？將 ΔACD 繞點 c 順時針旋轉 90^° 得 ΔECF ，連接 AE ，AF ，得到 ΔAEF ，則 EF=AD ；再證明四邊形 ABCF 為平行四邊形，則 AF=BC ；由旋轉容易證得等腰直角三角形 CAE ，則 問題獲解.

（3）考慮到 ∠A+∠D=90^° ，延長 AB，DC ，交于點 X ，可得 ∠AXD=90^° ，審視已知條件 AD=4，AD 所對的角是不變的，容易作出 RtΔADX 的外接圓，從而得出點 X 在以 AD 為直徑的圓 o 上運動.根據ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等， AB=CD ，結合三角形面積，可知 AB，CD 邊上的高相等，進而由“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”的逆定理，推出 EF 在∠AXD 的角平分線上.設 EF 交圓 O 于點 W ，運用圓的性質“同圓中，相等的圓周角所對的弧相等”，可推出 W 是半圓弧 AWD 的中點.進一步運用圓的性質、等腰直角三角形、輔助圓等，得 進而推出點 H 在以DW為直徑的圓 I 上運動，連接AI ，交 ?I 于點 H ，則 AH 最小，解三角形 ADI ，進一步得出結果.

3試題解答

（1）解：在四邊形 ABCD 中，

： ?∠A+∠D+∠ABC+∠BCD=360^°， ∠ABC+∠BCD=270^°，

： ∴∠A+∠D=360^°-（∠ABC+∠BCD）=90^°. （204號（2）證法一：如圖2，過點 D

作 DG⊥AC 交 AC 的延長線于點

G ，在 DG 的延長線上截取 DF=

AC ，連接 CF ： ∠DAC+∠ADC ∠CDG=90^° ，∠BAD+∠ADC=90^°， ·∠CDF=∠BAC

又 AB=CD ，

！ ?ΔABC?DCF（SAS）

·∠F=∠ACB=45^°，CF=BC.

（20號

： ∠AGD=90^°

∴AG²+DG²=AD²

∴（AC+CG）²+（DF-FG）²=AD².

！ ?BC²+2AC²=AD²

點評：以 AD 為邊的 RtΔADG ，其斜邊 AD 與所求證等式的一邊一致，因此只需證明 BC²+2AC² 與RtΔADG 的直角邊的平方和相等，采用線段的和差與代換進行計算即可得到結果.這種構造三角形全等與“算”相結合的幾何證明，有難度，需解題者有扎實的幾何功底和較強的目標意識及探究精神.

證法二：如圖3，將 ΔACD 繞著點 c 順時針旋轉 90^° 得到ΔECF ，連接 AE，AF ，由旋轉性質得 CF=CD ，而 AB=CD ，則AB=CF ：

由旋轉性質得 CA=CE ， 圖3∠ACE=90^° ，則 ： ∠ABC+∠BCD=270^°，∠ ∠FCD=90^° ： .∠ABC+∠BCF=180^° ·.AB//CF ：四邊形 ABCF 為平行四邊形.： .AF=BC ·.∠FAC=∠ACB=45^°. 又 ∠EAC=45^° ： ∠EAF=90^° ∴AF²+AE²=EF² ： ∴BC²+2AC²=AD².

點評：此法通過旋轉，將要證明的每條線段進行轉移.其中 AD 與 容易處理，證明 BC=AF ，∠EAF=90^° 是解題的關鍵.這需要借助條件中的 270^° 及已知的等線段、旋轉線段來共同作用，突破思維節點.

（3）解：如圖4，延長 AB，DC ，交于點 X ，由（1）知∠BAD+∠CDA=90^°. （204： ∠AXD=90^° ∴點 X 在以 AD 為直徑的圓 O 上運動.： ΔGAB 和 ΔGCD 的面積相等， AB=CD ，

∴點 G 到 AB 與 CD 的距離 相等. ：點 G 在 ∠AXD 的角平分 線上. 又 G 是 EF 上任意一點， ： EF 在 ∠AXD 的角平分 線上.

設 EF 交圓 O 于點 W ，則 ∠AXE=∠DXF ∴W是半圓弧 AWD 的中點. ： DH⊥EF .∴點 H 在以 DW 為直徑的圓 I 上運動.連接 AI ，交 ?I 于點 H ，當 A，H，I 三點共線時，AH 最小.過點 I 作 IV⊥AD 于點 V ，則 ∠ADW=45^° 又 （2號 ： ?AV=AD-DV=4-1=3. ： （204： AH 的最小值為

點評：此問難度大，綜合性強，考查學生對基礎知識的靈活運用與知識的轉化能力.首先，要能夠根據條件畫出符合題意的圖形.其次，要思考題目的條件或前問的結論能不能直接運用，對解題是否有推動作用.由∠A+∠D 的度數，自然想到延長 AB，DC ，得到直角三角形.運用基礎知識、方法將知識轉化為技能，將解題不斷向前推進.結合 AD 為定長線段， AD 所對的角為 90^° ，聯想“定弦定角”模型，作出輔助圓.進一步由等底等面積三角形得高相等，聯系角平分線，過渡到等孤，再次運用“定弦定角”基本圖形作出輔助圓，運用“穿心模型”求得最值.

本文中給出的四邊形的情景較陌生，但對學生來說都是公平的.解答本題，學生需要有扎實的幾何基礎與解題技能，更重要的是要具有能夠利用基礎知識、技能進行轉化進而解決問題的數學素養.現在的考題，檢驗的是將知識技能應用于真實情景的水平.平時老師教的知識、技能只是學生學習的階段性目標，是通向素養的手段.學生學習的終極目標是在不同情景中，擁有運用知識與技能的決策能力，擁有處理問題的內在潛質，擁有處理復雜問題的態度與決心，從而將這種素養內化成處理任何問題的能力.