中華優秀傳統文化融入數學單元整體教學的價值與路徑

隨著《中華優秀傳統文化進中小學課程教材指南》和《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）的實行，中華優秀傳統數學文化（以下簡稱“傳統數學文化”）的學習和弘揚受到廣泛的重視。很多一線教師在傳統數學文化融人數學教學方面做了有效的嘗試，但目前的教學實踐仍以單課時為主，缺少基于單元整體視角的教學設計、組織與實施，不利于傳統數學文化教育教學價值的充分體現。在新課標強調學生核心素養整體性發展的背景下，傳統數學文化在單元整體教學的設計與實施方面具有怎樣的獨特價值？怎樣的研究路徑能更充分地發揮傳統數學文化在單元整體教學中的價值？思考并解決以上問題，將有助于發揮傳統數學文化和單元整體教學的育人價值。

一、傳統數學文化在單元整體教學中的價值

中華優秀傳統文化有機融人數學課程教學，需要高度關注中華優秀傳統文化的固有特點與價值意蘊，盡可能在數學課程教學過程中合理地融入中華優秀傳統文化，最終實現中華優秀傳統文化的育人價值。①傳統數學文化具有內容齊全、脈絡清晰、知識豐富、方法多樣、思想深刻、體系完備等特點。將傳統數學文化運用于單元整體教學活動中，較之于單課時教學價值更為明顯。

1.提供整體視角

單元整體教學的目的和優勢在于克服孤立化、淺表化的缺點，以整體性、結構化的學習活動促進學生核心素養的提升。整體性的活動設計并不能憑空產生，傳統數學文化是教師全面理解和準確把握教學內容的重要途徑。相較于單課時而言，與單元內容相關的數學史料相對較多且可能具有一定的發展脈絡，史料的豐富性有助于教學的整體設計。[2基于傳統數學文化的單元教學能夠實現整體大于部分之和的效果。

傳統數學文化促進整體性理解的例子比比皆是。例如，劉徽在為《九章算術》中的“方田章”的各種平面圖形面積計算方法做注時，頻繁使用“以盈補虛”（即“出入相補”原理）對這些圖形的轉化過程進行解釋，并將多邊形的面積計算公式同化為最基礎的長方形面積公式“廣從相乘”。教師引導學生對“出入相補”原理進行理解和運用，有助于學生整體認識各種多邊形面積計算公式之間的關系，使學生進一步加深對圖形面積“有限可加性”和“運動不變性”的理解，進而從平面圖形面積二維屬性的角度對所學圖形形成整體認知。

2.聚焦核心問題

在單元整體教學中，核心問題的作用至關重要，它揭示了一類問題的數學本質，并貫穿于一個單元乃至一類問題學習的始終。抓住核心問題，就能切中要害，達到提綱挈領的效果，使整個單元的教學難點迎刃而解。傳統數學文化在漫長的發生、發展、鞏固、應用的過程中去粗取精、不斷完善。在此過程中，數學問題的表象逐漸剝離，本質逐漸清晰。這個過程對師生雙方都具有啟發意義，比如能克服常見的主次不分、舍本逐末的弊端，能從中獲得問題研究的視角、思路和方案等。

以“圓”單元為例，從現有的各版本數學教材編排情況來看，很難找到貫穿各教學內容的核心問題。但仔細分析《九章算術》劉徽注中證明圓面積公式的方法、步驟和結論，就容易發現與圓有關的核心問題是“正多邊形與圓之間如何實現轉化”。正多邊形逐步向圓轉化的過程以及這兩種圖形之間的類比關系，有助于理解和把握圓的要素和特征；正多邊形的周長與對角線長的比值，是研究圓周率的起點與必經之路；正多邊形的轉化和面積計算，可以為圓的面積公式探究提供方向和方法（如圖1）。因此，這個核心問題的解決，可以為圓的特征、周長和面積的研究提供共同的方法支持和事實依據。

3.完善認知結構

新課標在教學建議中指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系。[3這就要求教師必須以結構化的視角來看待教學內容，并通過恰當的學習活動，使學生逐步形成結構化的數學眼光，從而發展數學核心素養。教師通過整合傳統數學文化中與小學數學相關的內容，特別是能體現整體性、結構化的內容，將其轉化為教學活動，可以有效地幫助學生梳理已有知識，形成結構化認知。

在“多邊形的面積”單元中，教師可以借助已有的長方形面積計算方法，以《九章算術》“方田章”劉徽注中的“以盈補虛為直田”策略為線索，根據三角形、梯形兩者特點及其與長方形的形狀關系，將其轉化為長方形并推導出兩者的面積公式，并以《九章算術》中的“圭田術”“邪田術”“箕田術”等加以印證。同時，傳統數學文化中沒有提及的平行四邊形面積公式，也可以借助認知結構遷移得到。當然，在積極探索傳統數學文化融入單元整體教學的過程中，也不排斥其他數學文化的介入。如在三角形面積學習的過程中，可以結合具體的問題理解《幾何原本》中的“等底等高”命題，在平行四邊形、梯形的面積探究過程中可以運用該命題探索新的轉化路徑，形成新的認知結構等。

二、傳統數學文化支持下的單元整體教學路徑

為了更好地發揮傳統數學文化在數學教學過程中獨有的價值，體現傳統數學文化的特征，結合單元整體教學的目標追求，融入傳統數學文化的單元整體教學研究基本路徑應包括搜集與整理、篩選與解讀、分析與關聯、設計與融合、實施與評價等。本文以有關“圓”的傳統數學文化素材與小學數學“圓”單元整體教學的融合為例，介紹上述路徑的實施過程。

圖1以“正多邊形與圓之間如何實現轉化”為核心問題的教學內容分析

1.搜集與整理，建立豐富合理的資源庫

對于傳統數學文化素材的搜集，首先是從數學史著作入手，全面搜羅相關數學史料，擴大認知廣度；其次是閱讀相關的數學專著，有針對性地搜集數學家們深入研究過的內容，增強理解深度；再次是借助歷史文物和考古發現等，與文字材料相互印證，提升數學史料的可信度。在搜集數學史料的過程中，應遵循“以我為主，兼收并蓄”的原則。多元文化進課堂，能使學生在古今對照、中外對比中，更好地理解數學的本質，更多地了解世界文化，更好地感悟傳統數學文化的獨特魅力。[4]因此，在搜集到相關的資料之后，還應該根據歷史序、邏輯序和認知序對其進行整理，并努力促使三序的有機融合與協調統一。首先，整理出數學內容的發生、發展順序，便于了解和掌握其來龍去脈；其次，以現代數學的眼光重新審視數學史料，避免出現邏輯不通、循環論證等問題；最后，按照學生的認知水平和認知順序進行整理，使數學史料更加貼近學生的學習需求。

在對“圓”的相關數學史料進行搜集的過程中，筆者發現，“圓”是日常生活和數學研究中的重要對象，一般的數學史著作中都會提及圓的研究起源、發展、應用等，以及其中的關鍵節點和重要人物，這些內容是廣泛了解圓全貌的重要途徑。《九章算術》中的“圓田術”及其劉徽注，是認識圓的面積、圓的周長、圓周率、割圓術及其包含的極限思想的重要載體，有助于學生深入體會學習內容的本質。教師通過考古出土的陶碗、玉琮、玉璧等實物，將其作為數學史發展的見證，與相關的文本材料相互佐證，能使數學史料更加可信，同時能夠提升學生的學習興趣。在有關“圓”的數學史料整理時，需要注意幾點：一是劉徽從正六邊形入手研究圓面積并實現了方與圓的轉化，學生也認為學習了三角形和四邊形之后應該學習正五邊形、正六邊形，這體現了歷史序與認知序的統一，也從一定程度上證實了歷史相似性原理的存在；二是很早以前，人們很難通過粗略的圓周率來精確地計算圓的面積，因此，劉徽通過“割圓術”實現以直代曲，并用勾股定理計算正多邊形的邊長，再進一步轉化并計算正多邊形的面積（圓的近似面積），最后求出更加精確的圓周率。這與我們現在已經掌握了精確的圓周率并根據圓的周長和半徑推導出圓面積公式的順序是不同的。在整理這些史料時，教師應在尊重學生已有認知的基礎上進行辯證地分析。

2.篩選與解讀，構建聯系緊密的關系網

從單課時的角度而言，前期搜集到的素材都有其特定的價值，如創設情境、提供素材、鋪設路徑、拓寬思路、增強體驗等，但對于單元整體而言，有些素材與單元核心問題的關系比較松散。為了突出傳統數學文化元素的核心價值，避免喧賓奪主，教師需要圍繞單元主線篩選出最為重要的素材。在篩選的過程中，應以弱枝強干為目的，兼顧同一主題下古今中外的不同素材。同時，由于傳統數學文化中的部分內容較為隱晦、復雜，為達到預期的教學效果，教師需要確保自身對其中包含的數學內容及其本質的理解準確無誤。因此，教師應對篩選得到的素材進行解讀，使其恰當地發揮應有的作用。素材的解讀一方面是對傳統數學文化中的語句進行翻譯和補充，使其便于學生理解；另一方面則是通過古今中外的對比，使傳統數學文化中的知識技能、思想方法更易于被學生接受。

研究發現，“圓”單元的相關素材應圍繞“正多邊形與圓之間如何實現轉化”這一核心問題，結合圓的特征、周長與面積等主要內容，進行篩選與解讀。比如，教師可以選擇傳統數學文化中的“圓出于方”“一中同長”“周三徑一”“割圓術”等作為主要的素材。其中，“圓出于方”是中國古代關于方圓之間關系的思想；“一中同長”是《墨經》中記載的圓的定義；“周三徑一”作為圓周長與直徑比值的粗略結果，實際是正六邊形的周長與對角線長的比值；“割圓術”是劉徽運用極限思想以直代曲以證明圓面積公式的具體操作方法。這些素材與教學內容、教學目標的有機結合，將會有效地提升學生學習的效果。

3.分析與關聯，繪制主線明晰的結構圖

傳統數學文化與學生之間存在一定的距離，教師用于教學前需要做適當的分析。一是對學情的分析，主要包括學生對傳統數學文化的理解、接受程度等。二是對教學內容的分析，如傳統數學文化是否能與教材內容兼容，需要做哪些調整與鋪墊等。在分析的基礎上，應充分考慮傳統數學文化浸潤、教學目標達成、學生能力發展之間的關系，明確所選的傳統數學文化在教學過程中能發揮的作用，在各司其職的基礎上形成有效的結構。

調查顯示，學生普遍認為圓與多邊形最大的區別是“圓的邊不是直的，沒有角”，這說明學生只關注了圓的表象以及與多邊形的差異。這將會在圓的特征、周長和面積等學習過程中形成一定的障礙。因此，正確、合理地將圓與已知多邊形建立聯系顯得尤為重要。在劉徽的研究中，正六邊形作為“割圓術”的起點，對圓的周長、面積的研究具有重要意義。教師可以對劉徽研究過程進行分析，整合其他相關的數學史料，在教材的基礎上，按照歷史序、邏輯序與認知序進行重組，以正六邊形為起點，對相應的數學文化資源進行整合，將正多邊形、圓的特征、圓的周長、圓的面積四個內容作為一個學習單元開展整體教學設計與實施（如圖2）。

4.設計與融合，形成目標明確的任務群

一線教師要加強歷史研究，解析數學史料，提升數學專業知識，同時基于教學實踐，提升教學內容，促進數學史自然地融入數學教學。5單元整體教學活動的設計，不僅應關注課時目標的達成，更應關注整體目標的落實。為此，活動的設計應更具有整體性、連貫性，應體現教學活動之間的呼應與互通。同時，應注意避免傳統數學文化游離于教學活動之外或僅作為點綴，而應特別注重將傳統數學文化由歷史形態、數學形態轉化為教育教學形態。教師通過學習活動的素材、路徑、方法等形式，使傳統數學文化成為教學活動的有機組成部分，構建起單元整體教學的框架，形成目標明確的學習任務群，推動單元整體教學的進程。基于上述考量，“圓”單元各課時活動設計如表1所示。

圖2傳統數學文化與圓單元教學內容之間的關聯

5.實施與評價，呈現多元立體的效果圖

單元整體教學活動應著眼于學生核心素養的整體發展，不宜過于追求面面俱到。根據歷史相似性原理，當前學生面臨的學習難點也是數學發展過程中被重點探討的問題，相應的數學活動和成果也更加豐富。在教學活動實施的過程中，教師應給予學生更為充分的時間與空間，使學生借助傳統數學文化，對學習重點與難點開展獨立思考、合作交流，通過比較、辨析、遷移等方式，得到更深層次的發展。在學習效果評價的過程中，也應同時兼顧對知識技能、學習過程、思維發展、情感態度及文化素養等多方面的考查，全面、深刻地體現傳統數學文化在單元整體教學實施中的影響和價值。

表1“圓”單元各課時主要教學活動設計

在“圓”單元整體教學實踐中，教師組織學生重點對如下活動展開深入的研究：正六邊形周長與對角線的倍數關系，正六邊形的不同轉化方法，正多邊形與圓的關系，以正多邊形為基礎畫圓，理解“一中同長”的含義，辨析“周三徑一”并探究正多邊形周長與對角線的比值，制訂圓的轉化方案，推導圓的面積公式等。學生經歷目標定位合理、學習主線明確、重點內容突出、認知結構完善的學習研究過程，形成了對“圓”相關內容及其背后隱藏的數學思想方法的深刻理解和準確把握。課后調查發現，通過融入傳統數學文化的單元整體學習，學生認識到圓與正多邊形存在著許多共同點：圓與正多邊形都有中心點、直徑（對角線），圓與其內接正多邊形的形狀、周長、面積都比較接近，正多邊形的邊數越多就越接近于圓。關于正多邊形的周長與對角線（或圓的周長與直徑）的比值， 83.33% 的學生能準確地說出其研究方法，能說明比值的變化趨勢與取值。關于正多邊形或圓的面積， 54.17% 的學生能找到它們的通用計算公式（周長 x 邊心距 ÷2 ）。對于圓的周長與面積的共同研究思路， 47.92% 的學生能從正多邊形與圓的關系進行思考，其中 39.58% 的學生提到了割圓術、以直代曲或極限思想。

三、傳統數學文化融入單元整體教學引發的思考

融入傳統數學文化的單元整體教學，不僅能夠切實提升學生的核心素養，還為教師提供了專業發展的有效路徑。實踐表明，將傳統數學文化融人單元整體教學，對師生雙方都產生了直接或間接的積極影響。

1.直接影響師生的數學教學行為

從教師的角度而言，教師通過這樣的研究、設計與實施，自身對單元整體教學的目標、路徑、方法等都有了新的認識，在如何應用傳統數學文化方法方面也積累了寶貴的經驗。從學生的角度來看，伴隨著對數學史、數學文化相對完整的學習探究經歷，學生發現了數學生動活潑的一面。在全面、持續、主動的學習過程中，學生不僅掌握了知識技能，而且了解了知識技能發展背后的歷史動因，形成了對數學學習內容更加深入的認識。

2.間接影響師生的數學學習觀念

基于傳統數學文化的單元整體教學實踐，一定程度上改變了師生雙方對數學本身以及數學學習的固有看法，師生認識到數學不是孤立的，而是一個持續迭代演變的整體。這個整體不僅是指數學知識之間存在著聯系，更是指數學的學習內容不但包括課本知識，更有豐富的數學歷史文化；數學學習活動的場所并不局限于課堂，還有課外的廣闊天地；數學活動的形式也不僅僅是課堂上的師生問答，還包括豐富多樣的自主閱讀和實踐。這也提醒我們，對于傳統數學文化的挖掘與運用，現在所做的只是冰山一角，還有更多元的價值和更豐富的活動形式等著我們去探索與實踐。

參考文獻：

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[5]狄邁，余慶純，汪曉勤.基于數學史的圓周率探究活動的設計與實施[J]．中小學課堂教學研究，2021（8）：6-10.

（責任編輯：羅小熒）