數形結合在高中數學解題中的應用

楊亮

【內容摘要】高中階段，數學教學的內容深度和廣度有了較大提升，這也給學生的學習造成了一定的困難，其主要表現就是解題效率較低，而為了更好地解決這一問題，數形結合思想的應用具有十分重要的意義。因此，本文將結合筆者實際的從教經驗，談一談應該如何引導學生將數形結合思想應用于高中數學的解題過程中。

【關鍵詞】數形結合 ?高中數學 ?解題方法

在高中數學教學中，數和形是貫穿于教學全過程的基本內容，所以在高中數學的解題中，數和形也是最基本的要素，在實際的應用中，這兩者具有十分密切的聯系，并且在一定的條件下可以實現相互的轉化，而這種相互轉化的關系就被成為數形結合。利用數形結合進行解題，可以使題目中比較復雜的信息通過一種更加直觀的形式呈現出來，從而使解題過程得到簡化。可見，應用數形結合方法，可以有效提高學生的解題效率。因此，本文將結合以下幾項內容來闡述數形結合在高中數學解題中的具體方式。

一、數形結合：集合問題

集合是高中數學教學中第一項教學內容，同時也是高中數學教學的基礎，集合中涉及的映射關系會貫穿于很多教學內容中，所以集合問題的理解對于高中數學教學具有十分重要的意義。在集合問題中，交、并、補是集合問題的主要運算方式，但是若遇到較為復雜的數量關系，很難直接通過交、并、補的運算求出結果，而利用數形結合的方法則可以有效解決這一問題，尤其是韋恩圖的應用，更是對集合問題解題效率的提升具有十分重要的意義。

例如，在《集合的基本運算》這一節中，集合與實際問題相結合是一種十分重要的形式。比如：在學校的春季運動會當中，某班級中有28人報名參加了比賽，其中，有15名同學參加了徑賽，有8名同學參加了田賽，有14名同學參加了球類項目競賽，已知在參加比賽的學生中有3人同時參加了徑賽和田賽，有3人同時參加了徑賽和球類項目，沒有同時參加三項比賽的學生，求同時參加了田賽和球類項目的學生以及只參加了徑賽的學生有多少？在解這道題的時候，如果只借助數量關系，需要經過大量的交、并、補運算，十分容易出錯，而利用韋恩圖則可以有效彌補這一缺陷。首先，設參加徑賽的學生為集合A，參加田賽的學生為集合B，參加球類項目的學生為集合C，在繪制韋恩圖時，將各個集合用橢圓表示出來，當兩個集合有公共元素時，則將橢圓相交，若集合沒有公共元素，則使橢圓相離，然后，將集合中的元素數量填到韋恩圖中相對應的位置，設同時參加田賽和球類項目的學生為x，根據圖象，可以很直觀地得出9+3+3+（8-3-x）+x+（14-3-x）=28，x=3，所以同時參加了田賽和球類運動的學生有3名，只參加了徑賽的學生有9名。可見，在集合問題中，數形結合的應用可以極大地簡化解題過程。

二、數形結合：數列問題

在解決數列問題的時候，通常的方式就是利用代數思維和方法去解決。但是，從數列本身的特點來看，數形結合的方法對于數列問題的解決具有重要作用。簡單來說，數列可以理解為定義域是正整數集的函數在自變量按照一定順序取值時對應的一列具有規律的函數值，所以數列通常可以用函數解析式表示出來，基于這一特點，可以將其轉化為函數圖象，這樣一來，能夠使數列的通項公式以更加直觀的形式呈現出來，從而促進數列解題效率的提升。

例如，在教學《等差數列的前n項和》這一節內容時，我給學生出了這樣一道題：已知等差數列{an}，a1>0，3a8=5a13，求Sn最大時n的值。經過分析，由于3a8=5a13，所以a8/a13=5/3，又因為a1>0，所以a8>a13，所以可以判斷該數列為遞減數列。將數列通項公式基本的函數圖象在坐標系畫出，設圖象與橫軸的交點為C，分別過a8與a13做兩條垂直于橫軸的線段，且與橫軸交于A點和B點，設BC為x，根據構造的相似三角形可知x/（x+5）=3/5，解出x=7.5，所以C點的坐標為（20.5，0），由于n為正整數，所以很明顯可以判斷出當n為20時，Sn最大。可見，數形結合是一種適用于解決數列問題的方法。

三、數形結合：解不等式

在高中階段，不等式問題有求取值范圍以及求最值這兩種主要形式，在一些不等式問題中，直接的計算是無法得出結果的，所以只能借助數形結合的方式加以判斷。只有這樣，才能更加有效地解決不等式問題。

例如，在教學《二元一次不等式（組）與簡單的線性》這一節中，有這樣一個問題：如果x，y滿足：

x≥0

x≥y

2x+y+k≤0

求能夠使Z=x=3y的最大值為12的k的取值范圍。解這道題時，首先要作出各個函數圖象，其中直線y=x與直線2x+y+k的交點是A（-k/3，-k/3），當直線Z=x+3y過點A時，Z有最大值12，所以-k/3-k=12，k=-9。通過這一過程可知，數形結合的解題方法同樣十分適用于不等式問題的解決。

總之，在當前的教育背景下，數形結合不但是一種十分重要的解題方法，而且是新課標要求學生應該掌握的一種重要數學素養。因此，教師應有意識地將數形結合的方法滲透于教學的全過程，并不斷完善每一個教學環節，只有這樣，才能有效促進高中數學教學質量的提升。

【參考文獻】

[1] 逯昌林. 數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用[J]. 考試周刊，2018（93）：82.

[2] 楊坤. 數形結合在高中數學中的應用技巧分析[J]. 軟件（教育現代化）（電子版），2018（11）：251.

（作者單位：吉林省扶余市第一中學）