分類討論思想在高中數學解題中的應用

王軍平

【摘要】隨著素質教育理念的提出，我國教育行業發展走向新征程，教學重點在教師帶來的教學新思路的基礎上，提出了更高的要求.為做到促進學生全面發展，教師應當從思維訓練入手，將學生帶入自主學習的環境中.基于此，文章將從分類討論思想著手，通過舉例說明闡釋其內涵，以及在高中數學解題中的應用，以期為其他教師訓練學生思維提供參考.

【關鍵詞】分類討論思想；高中數學；解題應用

引 言

由于高中階段的數學難度相對較大，學生在解題的過程中常出現沒有思路的情況，而這反映出教師在日常教學中沒能幫助學生開拓思維的弊病.因此，教師要積極就思維訓練設計更適合開拓學生思維的教學活動.分類討論思想在高中數學題目中滲透較深，大量題目都需要找準分類的標準進行討論，這說明教師應當提升對此類問題的重視程度，并借助多種教學方法，化繁為簡，降低解題難度，從而使學生在產生主觀能動性的前提下參與到題目解答活動中，實現數學思維能力的提升.

一、分類討論思想內涵

（一）定義

所謂分類討論思想指的就是在解決問題時，無法僅借助一種形式對結果予以確定，需要就未知量的取值范圍進行討論的解題思想.討論的分類要從題目本身出發，利用分解的方式，將一個問題轉變為多個小問題，從而逐一解決.此種數學思想在高中數學教學中對培養學生由復雜到一般、由整體到部分再到整體的思維模式起到了積極的作用，教師應當結合具體題目來培養學生自主解題的能力，并總結題目中有關分類討論思想的具體應用.

（二）分類原則

結合實踐教學，將分類討論思想應用于高中數學題目的解答中，要求根據以下四個原則：（1）相稱原則：要求最終得到的總情況與各類情況的總數和范圍均一致；（2）互斥原則：每一類別之間具備互不相容的特點，即范圍之間不存在交集；（3）統一原則：分類標準要統一，不得出現多種分類標準；（4）層次原則：按照從大類到小類的順序，先確定大類標準，而后在大類下繼續細分，突顯出分明的層次.

（三）一般步驟

由于含有參數是分類討論思想應用的關鍵標志，所以文章要根據參數對題目中各條件的限制展開分析，分析每種情況下應當如何處理，從而得出在每種分類下的結果，最終得出將所有符合題目已知條件的結果整理成總體的結論[4].在實際教學中，學生在確定分類標準時出錯較多，因此，教師要針對此類問題在日常教學中有意識的鍛煉并引導學生總結隱藏分類標準、確定的著手點.在高中階段，隱藏分類標準確定的著手點可從概念、運算、公式定理、圖像特征和參數入手，例如：直線傾斜角、絕對值、分母不為零等，都可能成為分類標準的切入點，教師要結合具體問題引導學生總結，從而形成此類問題處理的數學模型.

（四）常見形式

在高中數學中，分類討論思想應用的形式包括：（1）一元二次方程：根據ax2+bx+c=0具體的方程參數，確定根的個數，此時需要就a是否為零展開討論；（2）集合：針對無法確定集合是否為空集的情況加以討論，按照A=？和A≠？進行分類；（3）二次函數：一般在對稱軸確定的環節需要應用此種思想，因題目中含有參數無法確定對稱軸所在范圍，需要按照對稱軸在限定區間的中間、左側和右側加以討論；（4）分段函數：題目中給出分段函數的對應表達式，需要按照各個區間段分類，討論自變量在哪一區間內，而后繼續求值；（5）對數函數和指數函數：題目中關于底數并未明確，因此要按照a>1和0

二、分類討論思想在高中數學解題中的應用

（一）在三角函數中的應用

此題的解題思路是先將原式化簡，將轉變為二次函數，根據復合函數的性質和對稱軸參數的特征，對取值范圍展開討論，最終得出相應的結論.在此類問題的處理上，教師要指導學生對由三角函數轉變為二次函數后依舊要根據三角函數的相應性質解決問題的關聯關系予以深化，同時提醒學生注重知識間的聯系，構建整體思維，避免出現碎片化的處理方式，強化構建系統數學理論[8].

（二）在集合中的應用

以上兩種方法都能夠求出最終的結果，但結合學生在實際計算中的情況來看，使用方法一時需要先認真觀察兩個集合，明確各個元素所代表的具體含義，分析確定限定元素的條件.在此題中，出現了方程，其是否具備實數根以及實數根的具體值代表相應的元素，并且因方程中存在著未知量，需要結合未知量討論可能性，分類的關注點應當在判別式上.使用方法二的過程中，部分學生反映對于元素最多只有兩個的分類數量可直接確定，不易遺漏，但元素數量增多時，使用此種方法就會出現分類不清，遺漏其中的可能情況.此時，教師可引導學生通過簡單的列舉，找出元素數量與討論可能情況數量之間的關系.經過分析，發現討論可能情況總量可用2n表示，其中n為元素數量，而在實際應用中也可按照此公式來檢查是否遺漏分類.

（三）在不等式中的應用

給出題目：解關于x的不等式ax2+（1-a）x-1>0的解集.

在此題的教學中，教師發現學生對分類的節點確定存在著一定的問題，說明其對于二次項系數前存在參數的不等式掌握的程度不足，這就需要教師在展示此題目前，給出簡單的可通過直接判斷得出不等式為一元一次或者一元二次的題目，從而在學生腦海中形成兩種不同類型不等式的具象化特征，以便于在討論時分步討論.分類討論思想是高中階段中解決問題的常見思想，為幫助學生生成有關此類題型的模型，教師要在題目講解完畢后，利用思維導圖將此類題型的處理流程予以展示.在此題中，需要就一元二次不等式含參數的題型對應的討論順序加以整理，具體來講：首先要討論是否存在二次項系數為零的情況；其次，要表示出判別式，并與零比較大小；最后，判斷是否存在實根，比較兩個實根大小.而學生只有掌握了此種類型題目的求解模型，才能在學習導數的過程中，輕松的求出單調區間.

結束語

綜上所述，由于高中數學的整體難度較大，所以教師在開展教學環節時要從學生的個人發展入手，通過完善教學設計的方式，關注學生思維的進步.分類討論思想對于學生利用辯證思維看待事物起到促進作用，通過強化其辯證思維可塑造其人格的特點，足以看出在教學中引入分類討論思想的必要性和重要價值，因此教師在講解與此種思想相關的題目時，要注重引導，引導學生通過自主學習和小組討論的形式自行確定分類標準并總結解題模型，如此可有效塑造健康人格.

【參考文獻】

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