組合數學的課程教學探討

摘要：對在組合數學教學中遇到的問題進行探討并總結了一些體會，以便提高學生分析和解決組合問題的能力.

關鍵詞：組合數學；組合恒等式；數學思維

中圖分類號：O157.5；G424.2 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0139-02

組合數學是研究離散對象的一門數學學科。組合數學不僅在基礎數學研究中具有重要地位，在其他學科諸如計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學和生物等都有著重要的應用。組合數學作為高校數學專業(yè)高年級學生的一門選修課程，對培養(yǎng)學生的數學素養(yǎng)有著其他數學課程無法起到的作用。組合數學有別于一些數學基礎課程，它與實際問題聯系密切，強調數學應用能力的培養(yǎng)，它解決問題的方法靈活多變，沒有固定模式，往往一個問題一種解法。這常常讓學生覺得組合數學高深莫測，無所適從。這些特點促使教師在教學中要盡量避免“填鴨式”的講授，而應在講授知識的過程中激發(fā)學生的學習興趣并注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力。筆者結合多年的組合數學教學經驗，認為應注意以下幾個方面。

一、注重基本概念教學

概念是濃縮的知識點，是思維的細胞。教師在組合數學概念教學中重視培養(yǎng)學生分清實質的能力及培養(yǎng)學生思維的深刻性，這是非常重要的。例如，排列、可重復排列、組合和可重復組合這幾個概念，學生在學習中常常容易混淆，在解決實際問題中經常出錯，因此在講解時，需指出排列和組合的本質區(qū)別：排列講究元素的順序，而組合不考慮元素的順序，并舉一些具體例子加以說明。

例1：求從15本不同的書中任選取2本及從該15本書中選取2本排成一行的方法數。

不難看出前者是一個純粹的組合問題，而后者是一個純粹的排列問題，分別利用組合數和排列數的計數公式很快可知前者為C■■=■，而后者為P■■=■。

例2：求15本不同的書在書架上排成一行及15本書中有8本相同的語文書、5本相同的數學書及2本相同的英語書在書架上排成一行的方法數。

先讓學生分析并挖掘這個例子字里行間的深層含義，就會發(fā)現兩者都強調順序，因此都是排列問題，但前者的著重點是不同的書，而后者是若干本相同的書，這樣很快就斷定前者是一般排列問題，而后者是可重復排列問題，再進一步利用排列和可重復排列的計數公式很快就可求得它們的方法數分別為：P■■=■和■。

二、注意不同數學分支的交叉滲透

組合數學與其他數學分支有著緊密的聯系，尤其是代數、分析和拓撲學等，在教學中一方面可講授一些用組合數學解決代數、分析和拓撲學中問題的實例，另一方面也可講授一些用分析、代數和拓撲學解決組合數學問題的實例，從而讓學生體會到數學的各個分支并不是孤立的而是互相交叉滲透的一個有機的整體，這樣可拓展學生的思維，開闊他們的視野，并在將來的學習中能有意識地將不同的數學分支融合在一起。例如，在組合恒等式的證明中常用到分析學，甚至有時它是我們解決組合問題的關鍵技巧。

例3：證明：■■nk=■■ （n≥1）.

證明令f（x）=■■nkxk，

則f（0）=0，f（1）=■■nk，

f '（x）=■（-1）■nkxk-1=1+1（1-x）+（1-x）2+…+（1-x）n-1，

即f '（x）=■（1-x）j.

上式兩邊同時求積分得：f（x）=-■■（1-x）j+1+C

所以0=f（0）=-■■+C，C=■■=■■.

從而f（x）=-■■（1-x）j+1+■■，

■■nk=f（1）=■■.

誠然，該問題若用純組合的方法也可給出證明。

三、注重學生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

數學教學不僅僅是一種純粹數學知識的教與學的過程，教師若在教學中過多地注重數學方法的外在模仿而忽視對本質的理解及對思維方法的拓展，往往會導致思路的狹窄、創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神的扼殺，更不會有強烈的創(chuàng)新沖動，從而阻礙數學的發(fā)展，因此在數學教學過程中應讓學生多提問、多思考、多探索，從而培養(yǎng)學生的創(chuàng)新性思維。數學教學作為一種以教學為中心的思維活動，不但要求學生掌握數學知識，更要求學生親自體驗獲得知識的全過程，這才能深刻理解并真正學會科學的思維方法，從而掌握數學研究的思維方法和一般規(guī)律。

組合數學作為數學的一個分支，有較強的實際背景，強調數學應用能力的培養(yǎng)，它解決問題的方法靈活多變，沒有固定模式，往往一個問題一種解法，因此培養(yǎng)學生的具體問題具體分析的創(chuàng)新能力就顯得尤其重要了。例如，我們在生活中常常見到各種地圖，兩個相鄰的區(qū)域涂上不同的顏色，通常地圖上只涂了5種顏色，可以問學生4種顏色夠用嗎？3種顏色夠用嗎？若3種顏色不夠用再增加合適的條件能否使3種顏色夠用？若是把平面上的同一個圖形也畫到高維曲面，如，射影平面和雙環(huán)面，情況又會如何呢？這些都是來自生活實際的問題，也可讓學生嘗試找一些生活中的其他問題，并試圖用組合的方法去解決它們。這樣既能讓他們體會到學習組合數學的樂趣，也培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新思維。

四、結語

雖然筆者總結了多年在組合數學教學中的一些經驗，但需要指出的是，這些經驗并不盡如人意，仍有很多需要注意的問題。此外，在具體的組合數學教學實踐過程中，還會有許多新問題不斷涌現，因此教師需要根據實際情況及時調整改進自己的教學方法。

參考文獻：

[1]李喬.組合學講義[M].北京：高等教育出版社，2008.

[2]盧開澄.組合數學[M].北京：清華大學出版社，2002.

基金項目：重慶市自然科學基金科研項目資助（cstc2012jjA00041）；重慶市教委科研項目資助（KJ101204）

作者簡介：龍述德（1972-），男，湖南邵陽人，博士，副教授，主要從事組合數學與圖論方面的研究。