最值問(wèn)題解法初探

胡紅娣

摘 要： 最值是中學(xué)數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，教材中沒(méi)有系統(tǒng)地介紹極值的求法.本文從七個(gè)方面探討了求初等函數(shù)最值的常用方法.

關(guān)鍵詞： 初等函數(shù) 最值問(wèn)題 求解方法

中學(xué)數(shù)學(xué)的最值問(wèn)題遍及代數(shù)、三角、立體幾何及解析幾何各科之中，在生產(chǎn)實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用.中學(xué)數(shù)學(xué)的最值知識(shí)是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)中最值問(wèn)題的基礎(chǔ).最值問(wèn)題歷來(lái)是各類考試的熱點(diǎn)，但教材中只是零散地介紹了幾種求最值的方法.本文旨在歸納與總結(jié)，并系統(tǒng)地介紹幾種求最值的方法.

1.配方法

對(duì)于解析式中主體部分為二次三項(xiàng)式的函數(shù)，一般都可以用此法，中學(xué)大部分求極值的問(wèn)題都是用此法求解的.

2.換元法

此類最值問(wèn)題，往往是已知兩個(gè)或兩個(gè)以上變量的一個(gè)關(guān)系，求這些變量的另一個(gè)關(guān)系的最值.用函數(shù)極值法處理這一類最值時(shí)，需利用已知條件，將幾個(gè)變量通過(guò)換元化為一個(gè)變量的關(guān)系，再求其最值，但換元過(guò)程中必須注意對(duì)元的取值范圍的確定.

3.不等式法

不等式法是一種根據(jù)題設(shè)，利用基本不等式或不等式的性質(zhì)進(jìn)行求解的方法.

4.判別式法

所給函數(shù)式如能轉(zhuǎn)化為以某個(gè)變量為主元的二次方程，則用判別式法求函數(shù)的最值是行之有效的.

5.導(dǎo)數(shù)法

各種類型的函數(shù)求最值的問(wèn)題都可以用導(dǎo)數(shù)作為有力的工具來(lái)解決.

5.1函數(shù)單調(diào)性判定定理

若對(duì)？坌x∈（a，b），f′（x）>0或f′（x）<0恒成立，則f（x）在（a，b）內(nèi)單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）.

5.2極值點(diǎn)概念

若對(duì)定義在[a，b]上的可導(dǎo)函數(shù)f（x），對(duì)任意c∈[a，b]，使f′（c）=0的點(diǎn)叫做f（x）的極值點(diǎn).

5.3求函數(shù)最值的步驟

5.3.1求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù).

5.3.2令f′（x）=0，解出極值點(diǎn)x■，x■…x■.

5.3.3求f′（x）的導(dǎo)數(shù)f″（x）.當(dāng)f″（x）<0時(shí)取極大值，f″（x）>0時(shí)取極小值.

5.3.4計(jì)算函數(shù)各局部極值和定義域兩端點(diǎn)的值，進(jìn)行比較后最大者即為最大值，最小者即為最小值.

6.函數(shù)單調(diào)性法

利用函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)，是求最值的常用方法，解題時(shí)必須先確定函數(shù)的單調(diào)性.

7.向量法

本文系統(tǒng)地探討了極值的七種求法.在實(shí)際解題中使用哪種方法，要根據(jù)具體的題目進(jìn)行選擇，靈活地運(yùn)用.

參考文獻(xiàn)：

[1]陳慧珍.關(guān)于一元函數(shù)的極值問(wèn)題[M].武漢：武漢交通管理干部學(xué)報(bào)，1994（3，4）.

[2]趙平中，劉海軍，王文.高中物理中求極值問(wèn)題的數(shù)學(xué)技巧[M].保定：保定師范專科學(xué)校學(xué)報(bào)，2002（10）：15.

[3]薛金星.怎樣解題[M].北京教育出版社.