二面角的平面角

譚萍

摘 要：求二面角的平面角的大小，關鍵是找出或作出二面角的平面角。

關鍵詞：二面角；平面角；轉化

求二面角的平面角的大小是高中立體幾何的一個重要內容，也是一個難點。解決有關二面角問題的關鍵是找出或作出二面角的平面角，通過找出或作出二面角的平面角，使空間問題轉化為平面問題來解決。學生往往不是不會計算，而是找不到二面角的平面角。

作二面角的平面角，常用方法一般有三種：（1）定義法；（2）三垂線定理法；（3）垂面法。

下面看幾例具體的例子：

一、根據二面角的平面角的定義直接找出或作出二面角的平面角

例1.二面角α-l-β為60°，A點和B點分別在α、β內，且到棱l的距離分別是2和4，若線段AB=10，試求：

（1）直線AB與棱所成的角；

（2）直線AB與平面α所成的角。

分析：求解此題，首先要作出二面角α-l-β的平面角，并將其構造到某一個三角形中，進而應用平面幾何的知識求解。

由題意，在面α內作AD⊥l，在面β內作BE⊥l，作DC■EB，聯結BC、AC，易知CD⊥l，則∠ADC為二面角α-l-β的平面角，等于6°，如圖1再進一步求解就比較容易了。

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定義法：過棱上一點分別在兩個半平面內作垂直于棱的射線，得到二面角的一個平面角。

如圖2，以二面角α-a-β的棱上的任意一點O為端點，在平面α、β內分別引垂直于棱a的射線OA、OB，那么∠AOB就是二面角的平面角。

二、三垂線定理法

例2.過正方形ABCD的頂點A作SA⊥平面ABCD，并使平面SBC、平面SCD與底面ABCD都成45°角，求二面角B-SC-D的大小。

解：如圖3，過點B作BE⊥SC于E，聯結ED。

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∵SA⊥底面ABCD，

∴BA為SB在底面ABCD內的射影。

∵AB⊥BC，∴SB⊥BC。

∴∠SBA為平面SBC與平面ABCD所成的角，

即∠SBA=45°，同理∠SDA=45°。

設SA=a，則SB=SD=■a，

則△SCB≌△SCD.

∵BE⊥SC，則ED⊥SC，

∴∠BED為二面角B-SC-D的平面角.

∵SB=■a，BC=a，SC=■a

∴BE=DE=■a

由余弦定理得cos∠BED=-■

∴∠BED=120°。

即二面角B-SC-D的大小為120°。

總之，通過以上舉例分析可知，要求二面角的平面角，首先應利用定義直接找或作出二面角的平面角，當直接作不易求解時，再通過作棱的垂面作二面角的平面角。

（作者單位 湖北省建始縣中等職業(yè)技術學校）

？誗編輯 郭曉云