三次函數的系數與函數性質研究

朱九云

【摘要】初中階段我們已經學習過二次函數，在高中階段又系統地學習并深化了二次函數，而三次函數是一種新接觸的多項式函數，它與二次函數不同，卻又是沿同一條主線發展而來的，因此，它與二次函數也存在一些相似的地方，比如說一些相同的研究方向.三次函數在高考中依然是一個熱點.本文主要就是來探究和總結三次函數的系數與函數性質的關系.

【關鍵詞】高中數學；三次函數；知識探究；知識總結

從這幾年的江蘇高考來看，都有涉及三次函數的考查，考過基礎題，也有難題和壓軸題，特別是對于三次函數導函數為二次函數的類型比較常見，那么我們在教學中對三次函數問題的研究也應該加強.在函數的相關問題中，導數的應用對于研究函數的性質可以說是開辟了一條非常有效快捷的道路，與傳統的研究函數的方法相比，導數的方法更是一種全新的視角和全新的思維.在目前的高中數學教學中，導數方法研究函數主要體現在兩個方面：一個就是導數的幾何意義，也就是和切線有關的問題；而另一方面就是用導數的方法來研究函數的單調性.下面我們將從導數與三次函數的單調性關系入手來研究三次函數的系數和性質.

一、導數與函數單調性

導數是高中階段所學習的概念，主要是用于探究函數的單調性.我們知道，函數的單調性與其導數有著直接的聯系，當f′（x）>0時，函數單調遞增，相反，當f′（x）<0時，函數單調遞減.雖然二次函數也有單調性，但是三次函數比起二次函數，單調性的變化更加豐富，考查也可以更加靈活，因此，在考試中，關于函數的性質和單調性的理解，往往都是以考查三次函數為主.我們在學習二次函數的時候就知道，函數圖像和相關性質與函數的系數是相聯系的，比如說函數圖像的開口方向、頂點、最大值和最小值、對稱軸、與x軸的交點等等.在三次函數中也是一樣的，三次函數的相關性質與系數也是有直接的關聯，比如說函數的單調性、極值點和最值.在教學中，教師要注重啟發學生們理解和運用導數值與函數性質之間的關系，讓學生們更進一步地理解導數值的正負在函數圖像中所體現的意義.

二、三次函數系數與圖像的關系

在我們學習和研究三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+da≠0中，以系數a來說，它與函數的圖像會有什么關系呢？也就是說，在函數圖像的整體趨勢上會有什么樣的影響呢？它將如何來決定函數的圖像？那么，我們可以通過分a>0和a<0這兩種情況來討論.經過學生們的探究和討論后，教師可以適當地進行點撥，并針對學生們的討論結果進行總結，可以得出：對于三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），其中的三次項系數a控制著函數的總體趨勢.當a>0時，x從負無窮大到正無窮大時，函數f（x）的整體變化趨勢也是從負無窮大到正無窮大，從圖像上來看，就是圖像從第三象限向第一象限延伸.相反的，當a<0時，x的取值從負無窮大到正無窮大時，函數值卻是從正無窮大到負無窮大，圖像則是從第二象限過渡到第四象限.對于這兩種情況，我們可以作進一步的研究，探討函數系數與函數性質之間的關系.比如我們以a>0這種情況為例，當然也可以選擇a<0，探討的方法是一樣的.

三、三次函數系數與函數性質的關系

在高中階段，我們在研究函數的性質時，常常會利用導數的知識來輔助研究.那么，在三次函數的性質的探討過程中，我們又如何利用導數來進行研究呢？函數又會有怎樣的一些性質和特征呢？

在我們研究三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）時，可以先求出該函數的導數，得到f′（x）=3ax2+2bx+c，這個導函數是一個二次函數，在初中階段就已經接觸過，高中階段也進一步探究和學習過，因此，二次函數的性質我們是比較熟悉的.根據二次函數的性質，我們可以知道，二次函數中二次項系數a控制的是函數圖像的開口方向，當a>0時，開口向上，同時有最小值.相反，當a<0時，開口向下，有最大值.在這里，f′（x）顯然是一個開口向上的二次函數，那么f′（x）的值會是怎么樣的呢？f′（x）的值是正還是負，又需要我們進一步分類討論，在二次函數中，這是一個函數圖像與x軸的交點問題，可以分為有兩個交點、有一個交點或沒有交點，而有交點情況又是以Δ為判斷依據.那么，結合3a>0這個條件，當二次函數與x軸沒有交點時，Δ=（2b）2-4×（3a）×c<0，化簡得出b2-3ac<0，此時函數圖像在x軸的上方，f′（x）的值為正.也就是對于任意的x∈R，f′（x）>0恒成立，再依據三次函數與倒數的關系，可以得出，原三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在實數區間上單調遞增.當二次函數f′（x）與x軸有且只有一個交點的時候，那么Δ=（2b）2-4×（3a）×c=0，也就是b2-3ac=0，此時f′（x）的頂點剛好在x軸上，也就是x=x0時，f′（x）=0，在其他范圍內，f′（x）>0恒成立.因此，根據導數與函數單調性性質可知，此時原三次函數f（x）=ax3+bx2+cx+d（a>0）在實數區間內同樣是單調遞增.而另外一種情況卻是變化最豐富的，也就是當f′（x）與x軸有兩個交點的時候，此時函數所需要滿足的系數條件是Δ=（2b）2-4×（3a）×c>0，即b2×3ac>0，此時函數f′（x）的值可以是正的也可以是負的，根據此時f′（x）的正負情況，可以得到，當xx2時，f′（x）>0，原三次函數在這個區間上是單調遞增的.當x1

從上面整個探究過程來看，知識之間的聯系是非常密切的，通過引入導數，把三次函數和二次函數聯系起來了，而且運用了二次函數的性質和導數來探究三次函數的性質.很多學生覺得三次函數很復雜，導數也不好理解，其實只要掌握了正確的探究方式，充分運用所學知識進行分析和整理，那么探究的思路也會越來越清晰，當學生能夠理解整個探究過程的時候，那么學三次函數就會覺得非常簡單了.因此，在教學中，教師一定要注重探究過程的研究和展示，而不是讓學生們記住結論，這樣才是有效的教學.