構(gòu)造法的數(shù)學(xué)思想及其運用

丁文敏

摘?要：構(gòu)造的思想方法是解決數(shù)學(xué)問題常用的思想方法。本文介紹了方程構(gòu)造法、命題構(gòu)造法、模型同類構(gòu)造、解圖形構(gòu)造、函數(shù)構(gòu)造等構(gòu)造法的運用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)?構(gòu)造?運用

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們常常采用構(gòu)造方法來解決數(shù)學(xué)問題。因為有的結(jié)論難以直接表達(dá)，需要借助一定的條件才能轉(zhuǎn)化到結(jié)論，于是就可以利用數(shù)學(xué)問題的特殊性，進(jìn)行新的關(guān)系結(jié)構(gòu)的設(shè)計，間接地尋找解決問題的具體方法。這種方法不是直接解決原問題，而是創(chuàng)造一個與原來問題有關(guān)或等價的新問題。它可以用于對經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理的解釋，也可以用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域。在解決初等數(shù)學(xué)問題時，構(gòu)造思想方法得到廣泛的應(yīng)用。

用構(gòu)造思想解題的巧妙之處在于構(gòu)造一個與原問題有關(guān)的輔助新問題，希望通過它的解決來幫助解決原問題。一般情況下，創(chuàng)設(shè)一個比原問題更簡單、更直觀的新問題，使得原問題迎刃而解，此方法的運用就成功了。

一、方程構(gòu)造法

遇到等量性的問題都可能使用方程這個工具，對于一些計算問題也可運用方程的思想來解決。?倘若一個量不能或難于直接求得，就設(shè)法導(dǎo)出它所滿足的方程，于是問題就歸結(jié)為求解方程了。我們可以根據(jù)解的定義構(gòu)造方程，可以引入未知數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為方程問題求解，可以用韋達(dá)定理逆定理構(gòu)造方程，可以利用判別式構(gòu)造方程，可以根據(jù)題目特點把問題轉(zhuǎn)化為方程來解決。

例1：若a+b+c=m，1/a+1/b+1/c=1/m，a、b、c互不相等，求證a、b、c中必有一個等于m。

若將a、b、c看作未知量，由條件可知其和為m，兩兩積和ab+bc+ca=—。這樣就可以設(shè)出abc后，按三次方程的韋達(dá)定理構(gòu)造出a、b、c為根的方程。這樣我們可以證明：令abc=n，則ab+bc+ca=—，因此a、b、c是方程t3－mt2+t－n=0的三個根。

方程（t－m）（t2+—)=0有一根t1=m，即a、b、c?中必有一個等于m。

由于我們從條件中求出了一元三次方程韋達(dá)定理中諸代數(shù)式之值，便可構(gòu)造出a、b、c為根的三次方程，從而把原題的證明轉(zhuǎn)化為方程根的討論。

二、命題構(gòu)造法

構(gòu)造新命題以實現(xiàn)命題轉(zhuǎn)換，是設(shè)置坡度簡化解法的常用手段。特別是在某種情況下，把原命題強化更易得到證明，這時“強化命題”的結(jié)論是原命題結(jié)論的充分條件。常用的構(gòu)造命題法有構(gòu)造引理法，即在解題過程中，常常需要用某些尚未證明的結(jié)論作為引理加以應(yīng)用。有些條件與結(jié)論關(guān)系隱晦的問題通過引理鋪設(shè)臺階，使問題變得明朗化，有些比較復(fù)雜的問題需要構(gòu)造多個引理來解決或簡化。若解答命題A受阻時，則可把命題A轉(zhuǎn)化為等價命題B，通過解答命題B，從而獲得命題A的結(jié)論的方法叫構(gòu)造等價命題法。構(gòu)造的等價命題應(yīng)是構(gòu)造成已經(jīng)解決或比原命題更容易解決的問題，以達(dá)到化難為易、化新為舊的目的。

三、模型構(gòu)造法

模型就是為了便于對實際問題進(jìn)行研究而建立的抽象的理想客體。它是以客觀存在為原型的，對客觀事物是一種近似反映，把原型抽象成“模型”，既有科學(xué)抽象過程，又有形象轉(zhuǎn)化過程。

從數(shù)學(xué)思維過程來看，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是抽象意識的體現(xiàn)，抽象性在數(shù)學(xué)概念的形成過程中是必不可少的。在運用模型構(gòu)造法解題的過程中，要體會與揣摩其中的抽象思想，形成抽象意識，從而能從本質(zhì)看問題，能有意識地區(qū)分主要因素與次要因素，抓住本質(zhì)解決問題。從數(shù)學(xué)思維品質(zhì)看，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是思維的深刻性所要求的。

四、圖形構(gòu)造法

此方法是古典幾何中的基本方法。圖形不僅是幾何問題的對象，而且可以用于解答似乎與幾何無關(guān)的各類問題。

五、函數(shù)構(gòu)造法

觀察問題條件特征，聯(lián)想有關(guān)數(shù)學(xué)知識（定理、法則、公式等）來構(gòu)造函數(shù)是常能奏效的構(gòu)造方法。函數(shù)構(gòu)造的方法就是由命題及條件的數(shù)量關(guān)系組成一種新的函數(shù)關(guān)系，使得原來的問題在新的關(guān)系下實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，通過對函數(shù)的研究使問題獲得解決。

運用構(gòu)造的思想方法解題，運用者需要有扎實的數(shù)學(xué)功底，還必須具備由此及彼、由表及里的思維能力，具有豐富的聯(lián)想能力，才能在具體的解題過程中，有能力弄清題意，借助聯(lián)想，構(gòu)造出新的數(shù)學(xué)形式，使所求的問題順利得以轉(zhuǎn)化、解決。

（作者單位：南陽農(nóng)業(yè)職業(yè)學(xué)院）