高中數學中函數與方程思想的研究

歐陽可慧

【摘要】函數是高中數學最基礎的概念之一，也是高中數學比較重要的知識點，隨著課程改革的不斷推進，高中數學越來越重視函數和方程思想能力的運用.從函數和方程思想的角度去解決各種問題能夠極大地提高解題能力，把問題化難為簡.函數與方程思想也是歷年考試的重點考點.本文通過介紹函數與方程的思想，并舉出幾個例題，來研究高中函數與方程思想的應用.

【關鍵詞】高中數學;函數;方程思想

引 言

在數學的世界里，函數思想博大精深，高中數學設定的函數知識這一部分知識點多，知識面廣，對學生的理解能力和應用能力都是一個挑戰，對教師的教學能力也是一個不小的挑戰.在應用函數和方程思想時主要有幾個常見的問題，如根據變量控制構造函數關系;分析不等式、方程，求出其最小值、最大值等問題，利用函數思想分析數學問題，選定合適的主變量，從而求出函數關系;有時也需要根據實際問題，建立數學模型，把實際問題轉換成函數關系式，運用學過的函數性質以及不等式的知識解出答案.

一、函數與方程思想的分析

1.函數思想的實質

函數思想的核心內容是立足于函數關系的相關性質，從函數圖形出發，對函數的圖形和性質進行分析.在解題過程中，要認真地理解題目中給出的各種已知條件，將實際問題轉化成函數方程問題.方程問題和函數問題的轉變可以依據函數圖像的性質判斷來得出問題求解的條件.將求解方程根的問題與函數問題相結合，能夠快速地獲得解題思路，用最簡單的辦法找到問題的關鍵所在，從而得到問題的答案.方程的思想要求我們從函數關系出發，建立正確的相關函數表達式，通過進一步對函數表達式的分析，得到相關問題的答案.也就是，從函數問題向方程問題轉換，我們可以把y=f（x）轉變為f（x）-y=0，這樣在具體的解題過程中，涉及直線、函數的值域、圓錐曲線等問題時，都可以應用二元一次方程組來讓解題過程游刃有余，達到事半功倍的效果.

2.函數思想在解題中應用的兩個方面

函數思想在解題過程中主要表現在兩個方面：利用有關函數的性質，解決求值、不等式求解、方程求解、確定參數的取值范圍等問題以及建立合理的函數關系式或者構造中間函數來研究問題，把要解決的問題轉化成函數有關問題的探討，這樣就把實際問題轉化成了函數問題，降低了問題的難度.用函數與方程思想解決問題一直都是近些年來各大城市高考的重點.

3.函數思想與方程思想的聯系

在高考中，函數思想的主要應用就是函數的概念，有時也包括函數性質和圖像的應用，其中一共有顯化、轉換、構造、建立函數關系解題這四個方面.而方程思想就是尋找問題之中變量之間的等量關系，從而建立方程或者方程組解決問題，用解方程或者運用方程的性質去解決問題.函數思想與方程思想之間有很密切的聯系，正是因為函數與方程思想的這些聯系，在數學解題時，我們可以相互轉換來得出問題的答案.

二、函數與方程思想的例題分析

高中數學的很多問題可以將原有的隱含的函數關系顯化出來，從而用函數的知識來解決問題.例如：x1滿足方程2x+2x=5的條件，且x2滿足方程2x+log（x-1）2=5，求解x1+x2的取值.解這個題的核心思想是建立函數關系來顯化問題，以建立的函數關系和函數圖像作為解決問題的入手點來解決具體問題，為了能夠深刻理解構建函數的方法和意義，建立方程和整體運用函數思想的情況，我們來分析一下這道題.

從題中我們可以看出x1和x2給出的條件都是超越方程的類型，其特點是方程的根不能由直接計算得出結果，要想得出方程的根，解題人就要找出兩個方程間的聯系，通過對兩個方程進行一定的函數轉化來把握方程之間的關系，這樣解題就有了眉目.所以首先要把2x+2x=5確定為方程1，再對方程2x+2x=5進行轉化，方程左右同時減去2x，再同時除2，得到轉化結果為2x-1=52-x.然后將2x+log（x-1）2=5設為方程2，同理也可轉化方程2，在方程2左右同時減去2x，把方程2轉化為log（x-1）2=5-2x.之后我們把兩個方程進行聯立，再分析兩個方程之間的關系，將方程繼續轉化為函數并建立相關函數.方程1的a（y=2x-1）和by=52-x要看作方程的函數圖像在坐標軸上的相交點A的橫坐標的值，把方程2中的c（y=log（x-1）2）和d（y=5/2-x）看作方程圖像在坐標軸內B點的橫坐標值. 通過如題對函數的構建，可以再對兩個方程對應的函數做進一步的處理，即a是由函數y=2x向右平移一個單位所得到的，同理c函數是由函數y=log2x向右平移一個單位所得到的.綜上所述就可以得出結論：方程1對應的函數b的圖像與方程2對應的函數d的圖像有著互相垂直的關系，而且兩個圖像的交點坐標為74，34，最后可以根據點A與點B相對距離的關系，可以得出方程x1+x2=72.到了這個地步，這道題也就有了結果，在這道題中可以看到一種函數方程運用的方法，即當通過方程無法直接得出答案的時候，要考慮函數的應用，從函數的應用入手解決問題;反之則要考慮方程思想的應用，只有將函數與方程思想有機地結合起來，在面對實際問題中靈活地運用，才能很好地解決問題.

三、結 語

函數與方程思想是高中數學的重要內容，更是高考的重要考點，函數與方程思想的教學也是高中教師的一個挑戰，希望能夠引起廣大教師的重視.