試論高中生數學解題習慣的良好養成

王國軍

摘 要：在高中數學教學中，促進以數學概念理解為基點的解題習慣的良好養成，能夠深化學生對于數學概念的理解，提高數學解題效率；促進學生獨立思考、分析、解決及歸納問題能力的逐步形成，提升學生自主學習能力；有效發展學生的思維能力與學習能力，提高數學學習的實效性。本文簡要分析高中生數學解題習慣調研結果，對數學概念理解進行了概敘，并主要從解題興趣、審題習慣以及反思習慣等方面試論高中生數學解題習慣的良好養成。

關鍵詞：高中數學；解題習慣；數學概念理解；養成

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）24-064-02

著名作家薩克萊曾經說過“播種行為，便能收獲習慣；播種習慣，便能收獲性格；播種性格，便能收獲命運”。良好學習習慣的養成對于學生學習具有重要、積極地促進作用。作為一門抽象性與邏輯性較強的學科，數學的學習過程既有趣又困難。而進入高中階段后，數學的學習難度不斷加大，數學學困生的比例日益增大，如何顯著提高學生的數學成績，有效提升學生的數學學習能力，成為當前高中數學教師們關注的焦點。基于數學能力的核心為思維能力，而數學能力的體現則為解題能力，要想有效提升學生的數學學習能力，必須注重學生思維品質的培養，注重良好解題習慣的養成。作為“數學理解”的基礎，數學概念理解是展開所有數學活動的基礎與前提。促進以數學概念理解為基點的解題習慣的良好養成，不僅能夠深化學生對于數學概念的理解，提高數學解題效率；還能夠促進學生獨立思考、分析、解決及歸納問題能力的逐步形成，提升學生自主學習能力；更能夠有效發展學生的思維能力與學習能力，提高數學學習的實效性。

一、高中生數學解題習慣調研分析

受傳統定勢教學的影響，當前許多教師仍沿襲“老師講、學生聽、老師問、學生答”的被動教學模式，學生數學能力的培養過于形式化、表面化，學生養成眼高手低、淺嘗輒止、怕見生題、怕做難題等諸多不良解題習慣，缺乏自主思考、自主學習的強烈意識與強勁動力，學生的思維能力得不到有效發展，學生的數學能力得不到有效提升。

以筆者所在高中為調研場所，從高一、高二及高三年級中各隨機抽取50名學生進行問卷調查（本文中調查數據未列出），然后匯總問卷、統計數據、分析結果，從而得出結論。

1、解題興趣度。調查結果顯示，對數學解題具有濃厚興趣的學生為27%，興趣一般的學生為35%，余者對數學解題基本不感興趣。綜合而言，高中生對于數學解題的興趣度不夠濃厚，教師在日常教學中應注重學生數學解題興趣度的培養。

2、解題態度。調查結果顯示，只有19%的學生養成認真審題、獨立解答的良好解題態度；36%的學生的數學解題態度不太端正，習慣邊看答案邊解題；還有一些學生的解題態度不良，存在能解則解、不能解就棄之不理的隨意心理，該部分學生比例為22%；剩余的學生則養成十分惡劣的解題態度，在解答數學問題時完全不動腦筋思考，一味借鑒他人答案。總之，多數學生的數學解題態度不夠端正，必須引起充分重視。

3、解題需時。調查結果顯示，對于一道問答題，學生所需解題時間存在很大差異，需時30min左右的學生比例為13%，需時15min左右的學生比例為38%，需時10min左右的學生比例為41%，余者需時5min左右。根據數據可知，當前多數高中生的解題速度較慢，有待進一步提高。

4、一題多解。調查結果顯示，多數學生（72%）在進行數學解題時具有一題多解的良好意識，其中26%的學生能夠主動思考問題、積極嘗試多種解法；而46%的學生雖然有一題多解的意識，但常常由于信心不足而難以繼續。還有28%的學生則缺乏一題多解的探究意識，在實際解題過程中很少努力尋找多種解法。

5、錯題集。調查結果顯示，養成寫錯題集這一良好解題習慣的學生比例為17%，人數較少；51%的學生會偶爾寫一下錯題集，余者則從來沒有整理過錯題集。

6、做記號。調查結果顯示，少數學生在實際解題過程中養成遇到不懂、難以理解的地方就做記號的良好習慣，其比例為21%；偶爾做一下記號的學生比例為40%；還有高達39%的學生從不曾做記號。

7、解題過程反思。調查結果顯示，在完成解題過程后，僅有少數學生（10%）養成認真反思、及時總結的良好習慣；偶爾進行反思總結的學生占據多數，其比例為54%；從來不曾進行反思總結的學生比例仍然高達36%。

綜上所述，當前多數高中生在數學學習過程中尚未養成良好的數學解題習慣，廣大高中數學教師在日常教學中應善加引導，有效糾正學生的不良解題習慣。

二、數學概念理解概敘

所謂數學概念，通常認為是數學思維的一種基本形式，同時也是判斷和推理數學問題的基礎，具有抽象性、多元性、層次性、系統性等特征。而所謂數學概念理解，從字面上來看就是對“數學概念”的理解，其不僅是“數學理解”的基礎，更是展開所有數學活動的基礎與前提。普通高中數學課程標準中明確要求：“高中數學課程應該返璞歸真，努力揭示數學概念、法則、結論的發展過程和本質。”基于當前高中數學教材中含有大量密集、繁多且抽象的數學概念，給高中生學習數學、學好數學帶來沉重的理解負擔。因此，要想促進高中生數學解題習慣的良好養成，廣大高中數學教師應以數學概念理解為基點，根據當前高中生解題過程中存在的一些陋習，積極采取措施來培養學生良好的數學解題習慣。

三、以數學概念理解為基點的解題習慣的養成策略

結合問卷調查研究結果和多年教學實踐經驗，筆者認為，應主要從以下幾方面促進學生以數學概念理解為基點的解題習慣的良好養成。

1、培養學生的數學解題興趣。眾所皆知，興趣是學生最好的導師。只有學生自己覺得數學解題過程有意思、有趣，學生才會主動、積極地投入解題過程中，進而生成積極探索、深入研究數學問題的內在動力，為數學解題習慣的良好養成打下堅實基礎。那么，如何以數學概念為基點，顯著提升學生的數學解題興趣呢？

第一，應讓學生充分認識到數學解題的重要性。學會解題是學生學好數學的關鍵之所在，數學解題過程不單單是對結果的正確求解，更是對學生思維能力的考察，對各數學概念、各知識點以及各問題之間的聯系與區別的反思。進行數學解題，能夠幫助學生鞏固新知、復習舊知、掌握學習方法與技巧，真正啟發學生的數學思維。

第二，應努力揭示數學解題的內在美。基于數學是一門邏輯嚴密的自然學科，其數學概念的嚴密化，其數學公式的簡潔性，其推理過程的條理性、嚴謹性，其圖形結構的對稱性、排列性，很好體現了數學解題的內在美。

第三，應注重因材施教。基于學生之間存在很大的個體差異性（如數學學習基礎、性格愛好、知識接受能力、思維能力等），在實際教學過程中應注重因材施教。

例如，在進行《圓錐曲線》第一課時教學時，該課時涉及橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的定義與性質，理解難度較大。為了提升學生的學習興趣，筆者首先讓學生回憶此前學過有關橢圓的定義，并運用一根細繩、一支筆及一張白紙，兩兩組合完成曲線的繪制工作。這一部分學習內容較為基礎，即便是基礎較為薄弱的學生也能很好完成。隨后拋出若干問題，深化教學內容：“平面內到兩定點F1，F2的距離的差等于常數（小于F1F2）的點的軌跡是什么曲線？倘若PF1+PF2=定值、PF1-PF2=定值、PF1×PF2=定值及PF1÷PF2=定值，則又是什么曲線？”這部分內容具有一定難度，基礎中等的學生借助幾何畫板的幫忙，能夠很好的解決上述問題。然后，基礎良好的學生歸納總結出有關圓錐曲線的軌跡、定義、圖形及性質。通過這樣一種因材施教的教學過程，給予每一位學生參與課堂教學活動、體驗成功的機會，很好調動了學生對于數學概念問題探究熱情。

第四，應注重增強課堂教學藝術。基于數學概念通常較為抽象、概括，學生理解難度較大。為了幫助學生更加充分地理解數學概念、更加深刻地掌握數學概念的本質，教師在日常教學中應注重增強課堂教學的藝術性。

例如，在學習極值概念時，教師應抓住圖像的核心特征，將其與過高山車時的最高點與最低點、股票大盤的曲線緊密聯系在一起，從而順利引出極值概念。將原本枯燥、難懂、抽象的數學概念變得生動、形象和生活化。

2、培養良好的審題習慣。一般而言，數學解題過程主要分為“審題、分析、求解及反思”四大步驟。作為解題的起點與關鍵，審題的正確與否將會直接影響解題速度與解題質量。因此，在實際解題過程中，應注重學生良好審題習慣的培養。所謂審題，實際上是一種在感知問題的基礎上，認真分析問題的數學特征，從而在頭腦中清晰形成問題解決方案的思維活動。敏銳化、準確化且深入化的審題，將有助于學生正確分析問題、準確把握問題實質、快速獲取解題思路，從而顯著提升學生數學解題能力。在實際解題過程中，考慮到數學題多由文字、符號及圖形語言所構成，學生在拿到題目后，應秉承“寧停三分、不搶一秒”的原則，結合已有知識基礎與解題經驗，對題目進行逐字逐句詳讀，認真審題、仔細推敲，嚴禁尚未辨清題意，就惶急慌忙的上陣。基于題型的千變萬化，學生應根據具體情況采取不同的審題策略：對于文字簡練的，可逐句進行“翻譯”，從而徹底弄清題意；對于條件含糊不清的，應認真找出題中的隱性條件，將其轉化為顯性條件；對于從題設中難以找出突破點的，可將題設與結論聯系起來，搭建題設與目標之間的溝通橋梁，從而獲取解題思路。

例如，在實際審題過程中，常常會出現學生因對命題中的數學概念含混不清、數學術語似是而非而出現概念張冠李戴或者沒有思路的現象。歸根究底，是因為學生的數學概念知識基礎較為薄弱，數學概念理解不夠透徹。

例1：函數y=f（x）的圖象與一條直線x=a有交點個數是（ ）

（A）至少有一個 （B）至多有一個 （C）必有一個 （D）有一個或兩個

【錯解】選A、C或D

【分析】不理解函數的定義（函數是從非空數集A到非空數集B的映射，故定義域內的一個x值只能對應一個y值

【正解】正確答案為：B

例2：在同一坐標系內，函數 的圖象關于（ ）

（A）原點對稱（B）x軸對稱（C）y軸對稱（D）y=x對稱

【錯解】沒有思路，隨意亂選

【分析】要知道 兩函數的圖象關于y軸對稱，

【正解x】 的圖象由的圖象向左平移1個單位而得到， = 的圖象由 的圖象向右平移一個單位而得到，故選C。

由以上兩例可知，在數學審題過程中，如若學生不能透徹數學定義，極易出現審題錯誤。因此，在實際教學中，教師應注重一些易混淆、易出錯的數學概念的日常鞏固，通過進行專題練習來不斷深化學生對于數學概念的理解。此外，在課堂教學中，教師應充分重視概念建立的條件，幫助學生高效掌握數學概念、數學公式及數學規律的應用技巧。

3、培養良好的反思習慣。所謂解題反思，就是在解完數學題之后，對整個解題過程進行回顧與深究。作為解題的最終歸宿與進一步延深，反思在高中數學解題過程具有至關重要的作用。培養良好的解題反思習慣，不僅有助于學生查漏補缺，全面了解自身學習狀況，還有助于舉一反三，顯著提升學習效率，更有助于學生獨立思考、分析、解決及歸納問題能力的有效形成，從而真正提高學生的數學解題能力。在解完題目后，學生應養成及時回顧的良好習慣，捫心自問：“我是如何獲取該題的解題途徑的？該題的解決關鍵在哪？在解題過程中我遇到哪些困難？我又是如何克服這些困難的？該題是否還有更簡單的解法？”通過內心的自我提問與答疑，學生能夠快且準地掌握解題關鍵，有效提煉出屬于自己的數學思想與方法。

例1：已知 ，求 的取值范圍

【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于x的函數最值求解，但極易忽略x、y滿足 這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。

【解析】

[反思]解答此類函數問題時，學生極易忽略函數的定義域，而這是由于對函數本質理解不夠透徹、全面所造成的。而對該解題方法做進一步探究，我們發現，可以從解析幾何的角度來理解條件 對x、y的限制，該方程顯然可以表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，-2≤y≤2。此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解

通過上例可知，合理、正確的反思解答，能夠幫助學生更加全面、深刻地理解數學知識點本質，科學運用數學概念來高效解題。因此，在解完數學題后，學生應經常反思解題過程、及時總結解題方法及規律，透徹理解數學概念，從而“站得高、看得遠、統全局”。

總而言之，廣大高中數學教師應以數學概念理解為基點，在日常教學中大力培養學生的數學解題興趣、培養良好的審題習慣以及培養良好的反思習慣，充分發揮學生在學習中的主體作用，從而促進良好數學解題習慣的養成，顯著提升學生的數學解題能力與思維能力，最終有效提升學生的數學學習能力，實現會學、樂學與愛學。

參考文獻：

[1] 周愛華.高中數學多變思維的培養[J].數理化學習，2011（10）.

[2] 楊艷紅.高中數學提后反思習慣的培養[J].軟件（教育現代化）電子版，2013（12）.

[3] 倪興龍.類比思維在高中數學教學和解題中的運用考述[J].語數外學習（數學教育），2013（2）.

[4] 滕 飛.巧構函數妙解題[J].課外閱讀：中旬，2011（10）.

[5] 黃 麗.高中函數單調性的概念教學研究[D].成都：四川師范大學，2014.

[6] 王錫寧.高中數學概念學習策略的初步研究[D].上海：上海師范大學，2007