基于“六何”提問鏈策略優化高中數學課堂提問的課例研究

韋國秀

【摘 要】廣西師大唐劍嵐教授提出了優化高中數學課堂提問的“六何”提問鏈策略，本文通過兩個不同的教學實錄及其對比分析得出，依據“六何”提問鏈策略設計的高中數學課堂提問，能促進學生深度的思維投入、情感體驗與行動參與，提升教學有效性。

【關鍵詞】高中數學；課堂提問；“六何”提問鏈

一、傾斜角概念形成片段實錄與分析

（1）第一次教學實錄。師：坐標法是在坐標系的基礎上，把幾何問題轉化為代數問題，通過代數運算研究幾何圖形性質的一種方法。本課時我們將研究最基礎的知識——直線的傾斜角和斜率。

師：平面幾何中，確定直線的條件是什么？對于平面直角坐標系內的一條直線l，它的位置由哪些條件確定呢？

眾生：兩點確定一條直線。

師：還有沒有別的方法？能否利用給定的直角坐標系？

眾生：……

師：在直角坐標系內任給一個點，過這個點的直線有無數條。再給一個什么條件就可以唯一確定一條直線呢？請動手操作一下。

生1：再給另一個點。

生2：與x軸的交角。

師：好！（借助于信息技術演示，得出傾斜角的概念）

（2）第二次教學實錄。師問1：在幾何問題研究中，我們常常直接依據幾何圖形中點、線、面的關系研究幾何圖形的性質，那么能不能通過代數運算來研究幾何圖形的性質呢？

生：可以！

師問2：我們如何把形轉化成數得以進行運算呢？

師：17世紀法國數學家笛卡爾對這個問題進行了深入的思考，直到有一天躺在床上觀察蟲子在天花板上爬行位置，激發了靈感，產生了坐標的概念，創立了解析幾何。從而以坐標系為橋梁，把幾何問題代數化，即把圖形放入坐標系進行研究。

師問3：平面幾何中，確定直線的條件是什么？對于平面直角坐標系內的一條直線，它的位置由哪些條件決定？

生：兩點確定一條直線

師問4：有兩個點確定的，一個點行不行？

生：不行

師問5：如果給一個點，再增加一個什么條件，能夠確定直線在平面直角坐標系的位置呢？即如果給你P點定點，還需要什么條件？

生：角！

師問6：好，譚喆同學，您可否上來指出來給同學們看看呢？是哪個角？

生：（學生上講臺示范指出）

師：好！我們給這個角一個名字吧，叫直線的傾斜角。一般地，當直線l與x軸相交時，我們取x軸作為基準，x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角。

（3）片段實錄分析。第一次授課時，引言部分通過教師介紹，使學生了解學習新內容的特點及意義，接著針對初中學過的相關知識，設計了提問1與提問2，意在立足舊知識，尋找新知識的增長點，最后教師成為主角，直接告訴學生如何定義直線的傾斜角。在第二次教學中，把坐標法產生的背景及過程，結合即將學習的直線的傾斜角概念，設計“如何”提問鏈，即提問1—6，且提問與提問之間互相聯系、環環相扣。這樣在提問鏈驅動下，經過一系列的數學思考與交流，直線傾斜角的定義自然生成，也讓學生體悟到數形結合的思想。

二、直線斜率的坐標計算法公式推導片段實錄與分析

（1）第一次教學實錄。探究問題：已知P1（x1，y1）、P2（x2，y2）是直線l上任意兩個不同的點（其中x1≠x2），求直線l的斜率k。

師：要求斜率k，你會想到我們剛剛學習的什么知識呢？

生：k=tanα。

師：要用到k=tanα，根據正切函數的定義，我們可以構造什么圖形呢？

生：直角三角形的勾股定理。

師：那么如何通過P1、P2構造包含有傾斜角α的三角形呢？

生： ……

師：很好，這里的α為銳角，當α為鈍角時，情況又如何呢？

生：當α為鈍角時

α=180°-∠QP1P2，x1>x2，y1?y2，tanα=tan（180°-θ）=-tanθ，

在直角∠QP1P2中：

師：好！兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2過P1P2的直線的斜率為。

（2）第二次教學實錄。師：請大家完成這個問題：已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2，求直線P1P2的斜率k。看誰能做出來！哪位同學上來在黑板做一做？好！肖峻友同學。

（兩分鐘左右，在黑板寫的肖同學作出了如下圖4-5圖形及結果）

圖1

師：大家看看，很有意思，他把點P1很聰明地放在了坐標原點上，但是點P1一定在原點嗎？

眾生：不一定！

師：誰來幫他改改！好，甘雨果同學，你上去改改！

（兩分鐘左右，作出了如下圖2、3圖形及結果）

圖2 圖3

師：請給同學作一下解釋。

生：（略）

師：很好，給甘雨果同學點掌聲！但我們更想知道你是如何想到的？

生：構造直角三角形，用三角函數的定義。

師：為什么想到要構造直角三角形呢？

生：……

師：想想我們想要解決的問題是什么？

生：因為所要求的直線的斜率與傾斜角的正切值有關，而要求傾斜角角α的正切值，就要構造直角三角形來求解。

師：非常好，說出了這樣做的理由，我代表同學們還有一個小疑問，你的兩個圖形中的直線P1P2中的點P2都是在P1的上方，可不可以把它們交換位置，那么有何不同？

生：一樣的。

師：怎么個一樣法呢？

生：計算結果是一樣的或是，只是直線P1P2方向不同。

師：經過探究與討論，我們得到了過兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2的直線P1P2的斜率為，我們也發現這個公式分子分母中的P1（x1，y1）、P2（x2，y2）對應坐標點的是對應的，體現了數學符號化的對稱美，也有促于我們記憶。在此，我們還會有一個小疑問，這里為什么x1≠x2呢？

生：分母不能為零。

師：如果從直線的角度去理解，還可以如何解釋呢？

生：傾斜角為90°的直線的斜率不存在！

師：除了以上我們同學介紹的方法，是否還有別的更簡潔的方法嗎？

生：老師，我有一種方法，不知道對不對！

師：請說。

生：P1、P2兩點滿足一次函數的解析式y=kx+b，代入消去b得，我發現得到的結果跟課本一樣的，但我不確定這里的k就是所求的直線的斜率。

師：同學們，覺得可不可以？

生：可以

師：實際上，這位同學已經把直線的斜率用一次函數的角度作了對比研究，換句話說，一次函數解析式中y=kx+b的k可看作直線的斜率，事實上，這就是我們以后將會學習的直線的方程。我建議給這位同學鼓鼓掌！

（3）片段實錄分析。兩次授課模式不同，第一次是教師主導學生參與，最終演變成了教師講授、學生被動授受，即只給學生介紹了教材中提供的推導兩點求直線斜率公式的方法，并向學生說明了怎樣想到這種方法的。

第二次是開放式教學，給出問題“已知兩點P1（x1，y1）、P2（x2，y2），x1≠x2，求直線P1P2的斜率k”，讓學生去自主探究。在展示環節，教師還提出“請給同學作一下解釋”、“更想知道你是如何想到的”、 “為什么想到要構造直角三角形呢”等“為何”提問鏈，促進學生深入理解，把自主權交給學生，同時了解學生可能還有的想法與解法，如一個學生把其中一點放到坐標原點，這在第一次授課中是很難嵌入的。另一方面，在介紹完基本方法后，通過“若何”提問“除了以上我們同學介紹的方法，是否還有別的更簡潔方法嗎”，有學生聯系到一次函數解析式，教師適時點撥與歸納，讓學生深入理解了直線P1P2斜率k與一次函數聯系，所以第二次授課對知識的理解更全面、系統與深刻，整個過程的處理更豐滿、更有價值，不僅授人以“魚”，還授人以“漁”，更授人以“欲”。