高中數學應用題中的最值問題研究

孫國

【摘要】高中數學與我們的生活息息相關，隨著教育改革的不斷深入，高中數學中應用題受到廣泛關注，尤其在江蘇高考中是每年必考的題型，而求應用題的最值問題又是高中應用題的常見題型，因此，對高中數學中應用題的最值問題展開研究具有重要意義。本文對高中數學中解應用題的步驟做出歸納，總結應用題中求最值的常見類型，對如何利用數學模型來求應用題中的最值做出詳細解釋，旨在為高中數學教學提供理論依據。

【關鍵詞】高中數學 應用題 最值問題 數學模型

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）12-0116-02

我國的課程改革對高中數學教學的要求不斷提高，為響應新課改的要求，高中數學老師對教學模式進行改進，在教學中逐漸重視對學生進行能力培養，雖然取得了一定進步，但是高中數學教學中還是存在很多問題。高中數學應用題中求最值的問題一直是高中學生的弱點，阻礙學生成績進步，因此，掌握求最值的方法，熟練解決應用題對學好高中數學至關重要。

一、解應用題的步驟

（一）審題

審題是做應用題的第一步，看懂題意才能開始做題。

首先，分層次。高中數學應用題的文字比較多，背景較復雜，所以，學生首先要做的是將題目的層次劃分出來，突出重點，能夠幫助學生更快理解題意。

其次，找關鍵詞。學生要認真閱讀題目，學會在冗長的文字中找出關鍵性的詞語，例如，“利潤最大化”，“最小距離”，“最優方案”等詞匯。尤其要注意數字信息，大部分數字在之后的列式中會被利用起來。

最后，找關系。學生要找出數字和關鍵詞的對應關系，將所有的關鍵條件串聯起來，弄清題意，這一步是審題的關鍵。

（二）建立數學模型

高中數學應用題的解答必須要利用數學模型來進行。利用高中階段學到的知識構建最適合題目的數學模型是快速高效解答應用題的重要途徑。高中數學涉及到的知識廣泛，其中函數知識是高中數學知識的重要組成部分，也是高考的必考點，因此，學會構建函數模型是學生做應用題的基礎。除函數的知識外，要做好數學應用題，學生還要掌握不等式、數列等內容。數學模型的種類要根據具體情況對題目進行分析才能確定，分析方法有很多種，例如，關系分析法是通過分析各關鍵量之間的數量關系來建立模型；列表分析法是指將題目中所給的條件用表格更直觀的表示出來；圖像分析法是指對題中所給的圖像進行分析。

（三）利用模型求解

構建數學模型的目的是將題目中的信息用所學到的數學知識來進行整合，從而求出答案。在對模型求解的過程中需要用到很多公式來對原始的式子進行變化推理。這個過程要求學生基礎知識要扎實，掌握課本中的公式和定理并學會運用。

（四）還原

求解后，將得到的答案運用到應用題中，得出最后結論，完成應用題的解答。在此過程中，我們還需要多關注實際問題背景，注意應用題中變量的實際范圍，因此，在還原時，我們要注意檢驗，既要檢驗所得結果是否適合數學模型，也要檢驗結果是否符合實際問題的要求。

二、高中數學應用題中常見的求最值的類型

函數型。高中的函數分為基本初等函數、復合函數以及分段函數，其中復合函數在高考中最為常見。復合函數求最值，要利用公式、定理、換元法等方法將復合函數變化出基本初等函數的形式，降低難度，再根據函數的圖形和性質求出最值。

如以下例題：

例1：當-2≤x≤2時，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。

例2：求y=sin2x-2cos2x+3的最大值。

例3：求y=2sinx（2cosx+sinx）-3的最大值。

不等式型。這類題型是以不等式的基本性質來構建題型的， 在求最值時，可用線性規劃法來解題。

例1：設x，y滿足約束條件3x-y-6≤0x-y+2≥0x≥0，y≥0

若目標函數z=ax+by（a>0，b>0）的值是最大值為12，則+的最小值為（ ）。

數列型。等差、等比數列的求和公式是這類題型考察的重點。在解決這類題目時，可利用求導法或作差法求出最值。

例1：數列{an}的通項an=，則數列{an}中的最大值是________。

綜合型。這類題型是將多個模塊的數學知識結合起來考察，同樣，解題時也要運用多種方法來求最值。

三、如何利用數學模型來求應用題中的最值問題

解應用題時，如何將應用題中的有效信息提取出來，并結合數學語言建立數學模型是重難點。以下內容通過具體的例子來進行分析。

例2 某公司要租寫字樓，需要的寫字樓有可能為10層以上，每一層為2000平方米，公司的租用預算為20600000元人民幣，當層數大于或等于10時，每一平米要化肥（560+48x）元。若要保證每平米的綜合花費最低，公司該租用多少層？（綜合費用=購地費+建筑費）

解：f（x）=（560+48x）+（2160×1000）/2000x

=560+48x+10800/x （x≥10）

用基本不等式來求最值，得出 f（x）min=2000

當且僅當10800/x=48x時，等號成立，求出x=15

答：該公司應該租用15層寫字樓才能夠保證每平米的綜合花費最少。

以上解題過程為，先審題，弄清每平方米的綜合費用與什么因素有關，選出題中的重要數據，根據題意列出函數關系式，運用基本不等式法來求最值，將得出的結果還原到應用題中，寫出答案。

總之，高中數學應用題難度較大，要求高中學生必須掌握扎實的數學知識，嚴格按照解應用題的步驟進行解題，先仔細審題，運用數學模型來將文字轉變為數學語言，再選出最合適的方法求出最值，將答案還原到應用題中。只有這樣，才能夠突破應用題的難關，提高數學成績。

參考文獻：

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