高中數學空間線面位置關系的內容與證明

李仲甫

摘 要： 在高中數學學習中，空間線面位置關系的題目是一個重要問題，在平時的練習中和高考中都有所涉及，題目也常常以解答題的形式進行考查，考查的重點是空間線面平行關系和垂直關系的證明.作者結合自己的教學實踐和經驗談談高中數學空間線面位置關系的內容與證明.

關鍵詞： 高中數學 空間線面位置關系 證明

一、空間點、線、平面之間的位置關系

此類問題涉及的知識面較廣，綜合性較強，?？疾榭臻g線線、線面、面面位置關系的判定與性質，以考查學生的分析、解決問題的能力，難度適中.

【例1】如圖所示，平面ABEF⊥平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC=■AD，BE=■AF，G、H分別為FA、FD的中點.

（1）證明：四邊形BCHG是平行四邊形；

（2）C，D，F，E四點是否共面？為什么？

[解題思路]要證明四邊形BCHG是平行四邊形，只要證明GH∥BC或GB∥HC即可；要證明C，D，E，F共面，可通過證明四邊形CDEF中至少有一組對邊平行或兩邊的延長線相交即可.

（1）證明：由題意知，FG=GA，FH=HD，所以GH=■AD.

又BC=■AD，故GH=BC.所以四邊形BCHG是平行四邊形.

（2）解：C、D、F、E四點共面.理由如下：

由BE=■AF，G是FA的中點知，BE=GF，所以EF=BG.

由（1）知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共面.又點D在直線FH上，所以C、D、F、E四點共面.

【方法指導】解決空間線面位置關系的組合判斷題常有以下方法：

（1）借助空間線面位置關系的線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質定理逐項判斷來解決問題；

（2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關系，結合有關定理，肯定或否定某些選項，并作出選擇.

二、線線、線面位置關系

此類問題多以多面體為載體，求證線線、線面的平行與垂直，在解答題中往往作為第一問，難度一般不大，適當添加輔助線是解題的常用方法，考查學生靈活應用線線、線面的平行與垂直的相互轉化能力.

【例2】如圖所示，正三棱柱A■B■C■ABC中，點D是BC的中點，BC=■BB■，設B■D∩BC■=F.求證：（1）A■C∥平面AB■D；（2）BC■⊥平面AB■D.

[解題思路]本題可先挖掘正三棱柱中有關的線面平行及垂直關系，第（1）問可利用“線線平行”或“面面平行”，第（2）問可利用“線線垂直”證“線面垂直”.

證明（1）連接A■B，設A■B與AB■交于E，連接DE.

∵點D是BC中點，點E是A■B中點，

∴DE∥A■C，∵A■C？埭平面AB■D，

DE？奐平面AB■D，

∴A■C∥平面AB■D.

（2）∵△ABC是正三角形，點D是BC的中點，∴AD⊥BC.

∵平面ABC⊥平面B■BCC■，

平面ABC∩平面B■BCC■=BC，AD？奐平面ABC，

∴AD⊥平面B■BCC■，

∵BC■？奐平面B■BCC■，∴AD⊥BC■.

∵點D是BC的中點，BC=■BB■，∴BD=■BB■.

∵■=■=■，∴Rt△B■BD∽Rt△BCC■.

∴∠BDB■=∠BC■C.

∴∠FBD+∠BDF=∠C■BC+∠BC■C=90°.

∴BC■⊥B■D.因為B■D∩AD=D，

∴BC■⊥平面AB■D.

【方法指導】將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，是解決立體幾何問題的很好途徑，其中過特殊點作輔助線，構造平面是比較常用的方法.當然，記住公式、定理、概念等基礎知識是解決問題的前提.

三、面面位置關系

此類問題多以多面體為載體，結合線線、線面的位置關系，涉及的知識點多，綜合性強，通常用于考查面面位置關系的判定及性質，以及學生的推理論證能力.

【方法指導】解決空間兩個平面位置關系的思維方法是“以退為進”，即面面問題退證為線面問題，再退證為線線問題，充分利用面面、線面、線線相互之間的轉化關系.

參考文獻：

[1]柯厚寶，柯延偉.空間直線、平面位置關系的判斷及證明[J].試題與研究，2009.

[2]歐陽亮.空間點、線、面位置關系學習引導[J].中學生數理化（高一版），2011.