數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王雪萍

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化。中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；教學(xué)應(yīng)用；數(shù)形轉(zhuǎn)換

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2016）06-261-02

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。“以數(shù)解形”就是有些圖形太過于簡單，直接觀察卻看不出什么規(guī)律來，這時就需要給圖形賦值，如邊長、角度等。本文通過“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”這兩大題型的具體分析，揭示出“數(shù)”與“形”之間的緊密關(guān)系，從而把問題優(yōu)化，獲得解決。

一、研究的目的和意義

數(shù)是形的抽象概括，形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。恩格斯說過：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的量的關(guān)系與空間形式的科學(xué)?！睌?shù)形結(jié)合就是充分運(yùn)用數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)和形的直觀，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合，通過圖形的描述、代數(shù)的論證來研究和解決數(shù)學(xué)問題的一種數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)形結(jié)合的思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化.

數(shù)形結(jié)合思想方法是中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識的精髓之一，是把許多知識轉(zhuǎn)化為能力的“橋”。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，許多抽象問題學(xué)生往往覺得難以理解，如果教師能靈活地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為直觀、易感知的問題，學(xué)生就易理解，就能把問題解決，從而獲得成功的體驗，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。尤其是對于較難問題，學(xué)生若能獨(dú)立解決或在老師的啟發(fā)和引導(dǎo)下把問題解決，心情更是愉悅，這樣，就容易激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情、興趣和積極性。同時，學(xué)生一旦掌握了數(shù)形結(jié)合法，并不斷進(jìn)行嘗試、運(yùn)用，許多問題就能迎刃而解。

二、數(shù)形結(jié)合在提高學(xué)生解題能力中的作用

作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”。 其中數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

根據(jù)數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關(guān)的精確刻劃與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結(jié)合在一起，充分利用這種數(shù)形結(jié)合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到順利解決。

1、“以形助數(shù)”

例1：設(shè)函數(shù) 若f（x0）>1，則x0的取值范圍是（ ）。

A.（-1，1） B.（-1，+∞ ）

C.（-∞，-2）∪（0，+∞） D.（-∞，-1）∪（1，+∞）

分析：本題主要考查函數(shù)的基本知識，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式以及借助數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

解：如圖1，在同一坐標(biāo)系中，作出函數(shù)y=f（x）的圖象和直線y=1，它們相交于（-1，1）和（1，1）兩點(diǎn)。

由f（x）>1，得x<-1或x>1 。

答案：D。

2、思維視野

例1：若I為全集，M、N I，且M∩N=N，則（ ）。

A. I M I N

B.M I N

C. I M I N

D.M I N

提示：由韋恩圖可以很容易知道答案為C。

在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參、合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。

三、數(shù)形結(jié)合應(yīng)用方法

1、以“數(shù)”化“形”。由于“數(shù)”和“形”是一種對應(yīng)，有些數(shù)量比較抽象，我們難以把握，而“形”具有形象，直觀的優(yōu)點(diǎn)，能表達(dá)較多具體的思維，起著解決問題的定性作用，因此我們可以把“數(shù)”的對應(yīng)——“形”找出來，利用圖形來解決問題。我們能夠從所給問題的情境中辨認(rèn)出符合問題目標(biāo)的某個熟悉的“模式”，這種模式是指數(shù)與形的一種特定關(guān)系或結(jié)構(gòu)。這種把數(shù)量問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，并通過對圖形的分析、推理最終解決數(shù)量問題的方法，就是圖形分析法。解一個數(shù)學(xué)問題，一般來講都是首先對問題的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，分解成已知是什么（條件），要求得到的是什么（目標(biāo)），然后再把條件與目標(biāo)相互比較，找出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系。

2、以“形”變“數(shù)”。雖然形有形象、直觀的優(yōu)點(diǎn)，但在定量方面還必須借助代數(shù)的計算，特別是對于較復(fù)雜 的“形”，不但要正確的把圖形數(shù)字化，而且還要留心觀察圖形的特點(diǎn)，發(fā)掘題目中的隱含條件，充分利用圖形的性質(zhì)或幾何意義，把“形”正確表示成“數(shù)”的形式，進(jìn)行分析計算。解題的基本思路： 明確題中所給條件和所求的目標(biāo)，分析已給出的條件和所求目標(biāo)的特點(diǎn)和性質(zhì)，理解條件或目標(biāo)在圖形中的重要幾何意義，用已學(xué)過的知識正確的將題中用到的圖形的用代數(shù)式表達(dá)出來，再根據(jù)條件和結(jié)論的聯(lián)系，利用相應(yīng)的公式或定理等。

3、“形”“數(shù)”互變?！靶巍薄皵?shù)”互變是指在有些數(shù)學(xué)問題中不僅僅是簡單的以“數(shù)”變“形”或以“形”變“數(shù)”而是需要“形”“數(shù)”互相變換，不但要想到由“形”的直觀變?yōu)椤皵?shù)”的嚴(yán)密還要由“數(shù)”的嚴(yán)密聯(lián)系到“形”的直觀。解決這類問題往往需要從已知和結(jié)論同時出發(fā)，認(rèn)真分析找出內(nèi)在的“形”“數(shù)”互變。一般方法是看“形”思“數(shù)”、見“數(shù)”想“形”。實質(zhì)就是以“數(shù)”化“形”、以“形”變“數(shù)”的結(jié)合。

四、結(jié)束語

數(shù)形結(jié)合思想是一種可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化的常用的數(shù)學(xué)思想方法。要想提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想的能力，需要教師耐心細(xì)致的引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會聯(lián)系數(shù)形結(jié)合思想、理解數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、掌握數(shù)形結(jié)合思想。

參考文獻(xiàn)：

[1] 胡順添.淺談高中數(shù)學(xué)教學(xué)中“數(shù)形結(jié)合”思想的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（教研版）；2009年09期.

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[3] 何 濤.“數(shù)形結(jié)合”在物理教學(xué)中的應(yīng)用[J].中國校外教育；2010年S2期.