精析概念建構盲點促進數學有效教學

吳宏秀

[摘 要] 高中數學概念教學需要抓住關鍵點，這個關鍵點就是學生建構概念理解時的盲點. 學生建構概念的過程，是自身語言系統與數學語言相互作用的過程，此過程中易出現的盲點原因在于學生的原有概念理解不夠，更在于學生沒有利用自身語言系統理解數學概念的意識與能力. 抓住這個關鍵，并引導學生用自己的語言系統去理解數學概念，然后向數學語言靠近，就可以實現對概念的精加工過程，從而提升概念教學的有效性.

[關鍵詞] 高中數學；概念教學；語言系統；有效教學

高中數學教學中，概念教學是重要的基礎. 由于應試的需要，概念教學又通常變成單向、短時的講授過程，節省下來的時間自然是用來培養學生運用概念解決問題的能力. 這樣的教學思路忽視了學生概念構建的具體過程，不利于學生很好地理解掌握概念，容易為后面的教學埋下隱患. 因此，要重視學生概念建構的過程，更要重視學生在建構概念的過程的一些具體細節. 筆者總結了自己的教學經驗，發現學生在概念建構過程中總存在一些盲點，而這些盲點有可能并不被學生自己所察覺，因而對概念的理解就容易出現膚淺的可能. 在推進有效教學的背景下，筆者以為關注、研究學生概念構建過程中出現的盲點，具有非常積極的意義.

高中數學概念構建的基本邏輯

高中數學概念教學有兩個基本理解，一是概念是由教師教出來的；二是概念是學生自主構建起來的. 新課程背景下，我們認為第二種理解更為合理，學生在接觸到新的概念的時候，一定會有一個自主構建的過程，這個過程的質量如何，直接影響著學生的概念理解與應用.

以“函數的單調性”概念為例，這可以視作一個組合概念，即基于函數概念和單調性概念組合而成的，在一般教學中，學生的注意力以及教師的教學重點會放在“單調性”而非“函數”上，因為教師會無意當中預設一個教學前提，那就是學生已經懂得了函數這個概念，而對單調性則相對陌生，因而教學重點是后者而非前者. 那么對于學生而言，他們構建這個概念時的邏輯又是什么呢？根據筆者的仔細分析，其邏輯過程應當是這樣的：首先，學生必須對函數概念以及教師所提供的函數范例有準確全面的理解，這樣才不至于將自己的概念構建的注意力集中到函數這一基礎概念之上，也才有精力去理解單調性的含義；其次，單調性是建立在兩個變量對應變化的基礎之上的，理解這種對應變化的關系是理解單調性的基礎；再次，這其中又存在著學生個體的語言轉換問題，因為概念構建的過程，實際上是學生用自己的語言系統理解新的數學語言的過程. 這一點尤其重要，也是概念構建最為核心的一環，筆者發現，教師結合函數圖象講解兩個自變量之間的變化關系的時候，學生大多是能聽得懂的. 但聽得懂是一個極有風險的事情，因為其會讓學生誤認為自己真的懂得了這個概念，而在筆者看來，只有學生能夠用自己的語言描述單調性的時候，才是真正的懂了——也就是概念構建成功了. 問題在于，當我們讓學生用自己的語言描述函數的單調性的時候，遇到的往往是部分學生背誦函數單調性的定義，或者詞不達意的情形，遇到這一現象，就意味著學生構建概念并不符合基本邏輯，需要教師高度重視.

學生在概念構建中的盲點分析

基于上述分析來判斷學生的概念構建過程，可以發現盲點最容易出現的地方有三處：一是原有概念不熟，自然無法基于原有概念構建新的概念；二是概念理解本身有困難，即聽不懂教師的語言；三是在概念構建的過程中，無法有效地在自身語言與數學語言之間轉換.其中，前兩者與學生的基礎有關，一般發生在學困生身上，這需要教師專門針對這個群體，進行基礎鞏固與語言理解能力的培養. 筆者這里針對第三種可能出現的盲點進行細致的分析，以使得學生在新的概念構建過程中不至于因為概念理解不到位而變為學困生.

教學實踐表明，至少有50%左右的學生在數學概念學習中存在著機械理解數學概念的情形，他們無法有效地利用自己的語言去“準確地描述”新學的數學概念，而總是自覺不自覺地選擇概念的定義去作為自己的理解. 如在“三角函數”中研究正切函數單調性的時候，很多學生都會照本宣科：每個開區間-+kπ，+kπ（k∈Z）都是函數y=tanx的單調增區間. 而恰恰是這樣的照本宣科，暴露了學生在構建概念盲點的時候，忽視了正切函數單調性理解所具有的特殊性：其一，正切函數作為三角函數的一種形式，其單調性的描述服從于三角函數描述的幾個基本要求，如對區間的確定、對單調性的描述，以及頭腦中應當出現的正切函數圖象等. 忽視了這些基本要求而去機械地重述單調性的數學語言描述，必然會讓自己的理解變得蒼白；其二，部分學生意識不到正切函數的單調性與其他三角函數所具有的共同特征，只看到了它們之間的不同而沒有注意到它們之間的相同之處，這種學習策略的缺失，增大了學生的記憶負擔，也造成學生的理解水平的差異.

事實上，如果教師能夠著力于培養學生的自身語言系統與數學語言的轉換，即學會用自己的、直白的語言去描述精確的數學規律，然后再去體驗數學語言的精確性，才能完成概念理解所必須的過程，也才會掃除概念構建過程的盲點. 比如說有學生在描述正切函數的單調性的時候就是這樣的：正切函數與正弦、余弦函數一樣，都有單調性，只是它的單調區間與別的函數的區間不同，我覺得這種不同可以從圖象上明顯地看出來，因為正切函數的圖象不像正弦、余弦函數一樣是“連著”的，而是一段一段的……這樣的語言顯然是學生自我建構出來的一種理解表達，其與精確的數學語言之間存在著表達方式與精確程度上的差異，但學生對概念的理解卻必須經歷這一過程，尤其是對于概念構建能力相對不強的學生而言，這樣的過程，可以有效掃描學生的概念構建過程，也可以讓教師更好地把握學生的概念理解過程，從而發現學生概念建構中的盲點.

概念構建現盲點時的教學策略

一旦發現學生在概念建構過程中出現盲點，教師就必須適時以恰當的教學策略跟上. 就上面重點闡述的學生在兩種語言系統之間轉換出現困難這一盲點而言，筆者堅持的策略并不復雜，那就是努力引導甚至是“逼”著學生用自己的語言去描述數學概念. 這其中存在著這樣的兩點機制：

其一，激活學生內在的語言系統. 研究表明，學生在理解任何一個概念的時候，首先選擇的必然是自身的語言系統，由于學生的個體差異性，他們在理解同一概念的時候往往會有不同的結果，這也是造成新的個體差異的重要原因. 包括函數單調性在內的數學概念在學習之初，如果能夠有效激活學生的內在語言系統，那概念構建就成功了一半. 就函數單調性而言，筆者個人以為“單調性”這一概念并不適宜太早出現，因為在學生的思維中“單調”一詞與函數變量之間的增減關系實在難以產生直接聯系，與其這樣，倒不如先用“增減”這一概念來描述變量之間的相互關系，待到學生能夠用“增減”來描述這種關系時，再向“單調”轉化，這樣的教學效果更好.

其二，聯結自身的語言系統與數學語言系統. 在數學概念與學生自身的語言系統有了良好的銜接之后，再向數學語言系統過渡，那概念構建的盲點就有可能被掃除.要 知道，數學語言作為極其精確的語言，原本就是長時間歷史積淀的產物，學生是很難一下子理解其中的邏輯關系的，而只有在經過了自身語言系統的加工之后，才有可能達成新的理解.這就是數學概念理解的階梯性，而兩種語言系統之間的對接，其實很類似于心理學中的“精加工”概念，有助于促進學生對數學概念這樣的言語信息的理解.

高中數學概念構建的教學反思

概念教學是奠基性的，概念在解題中的應用往往并非直接性的，因此師生忽視概念教學的情形很常見，但在學生問題解決的過程中又會發現，往往正是由于一些基本概念的理解不透，造成學生解決問題的困難，這個時候往往教學思路又確定從概念開始，這就形成一個“炒冷飯”的格局. 而如果在概念教學的環節中能夠穩扎穩打，其實是可以收到磨刀不誤砍柴工的效果的.

概念教學最忌面面俱到，就怕在學生聽得懂的地方花費時間，而忽視了學生構建概念的盲點. 摸清概念建構的規律性的東西，是可以把握到學生的概念學習的關鍵點的. 而學生在概念理解的過程中，需要的也是教師在這些點上的突破方法，建立了這一認識，筆者以為概念教學就抓到了關鍵，數學教學的有效性也就得到了保證.