備課參考初中數學教科書使用之“四忌”

劉之兵　章蘋

[摘 要] 初中數學教科書是專家依據《義務教育數學課程標準》，經過深思熟慮、精心選擇典型教學材料、按照某種邏輯順序和呈現方式編寫而成的. 科學合理地使用教科書是教師的應有之義，但在現實中出現了一些問題，教師應當注意，忌：隨意增減，不明編者意圖；迷信教科書，忽視教科書的瑕疵；按部就班，缺乏深度挖掘；脫離現實，缺乏大膽創新.

[關鍵詞] 初中數學；教科書；忌

初中數學教科書是專家依據《義務教育數學課程標準》（以下簡稱《標準》）經過深思熟慮、精心選擇典型教學材料、按照某種邏輯順序和呈現方式編寫而成的，具有深刻的思想性、科學性和趣味性. 因此，我們在備課時，首先應該獨立自主地去認真鉆研教科書，領會教科書意圖，吃透教科書精神. 但由于教科書文本是靜態的，教學現實又是紛繁復雜的，加之教師本身在數學理解上的差異，使得教師在教科書使用過程中出現了一些偏差和誤區. 下面以新修訂的華師版《義務教育教科書·數學》為例，談一些自己的看法，以期更好地發揮教科書的育人功能.

我們發現：拋擲兩枚硬幣，“出現兩個正面”的頻率穩定在25%附近. 怎樣運用理論分析的方法求拋擲兩枚硬幣時出現兩個正面的概率呢？

教科書給出了如圖1所示的列表法和畫樹狀圖的分析方法.

這里，教科書的意圖是向學生介紹通過列表法和畫樹狀圖的方法尋求等可能的所有基本事件，在列表的基礎上分類，反映的是分類思想，與高中要學習的加法原理緊密聯系；畫樹狀圖的基礎是分步，反映的是程序思想，與高中要學習的乘法原理緊密聯系. 如果這個時候去講加法原理和乘法原理，顯然超過了《標準》要求，增加了學生的學習難度，于是不如從思想方法的角度去闡釋這兩種方法，然后留下一句話：這兩種方法分別對應著高中要學習的兩個基本原理，它們正等著你們去探索！這樣就為學生留下了思維的觸角，播下了繼續學習的根本動因和希望的種子.

因此，如果在不明編者意圖的情況下隨意增加某些教學內容，看似好心，實則辦壞事.

二忌：迷信教科書，忽視教科書

的瑕疵

需要注意的是，雖然教科書具有深刻的思想性、科學性和趣味性，但它也是人編寫的，因此必然受編者的社會閱歷、認知結構、知識貯存、現實的客觀要求等因素的影響，編寫過程中存在錯誤或不足之處在所難免，有些地方也需要進一步優化，現舉兩例.

案例3？搖 八年級下冊“18.1平行四邊形的性質”最后一節課的練習第1題

在平行四邊形ABCD中，兩條對角線AC與BD相交于點O，AB=4，BC=5，AC=6，BD=8，求△AOB的周長和△BOC的周長.

教科書的本意是讓學生根據“平行四邊形的對角線互相平分”得出AO=OC=3，BO=OD=4，然后求出△AOB的周長和△BOC的周長. 但是，這個題目是錯的. 因為，在△BOC中，BO=4，OC=3，BC=5，根據勾股定理的逆定理易知∠BOC=90°，所以∠AOB=90°. 又在△ABO中，AB=BO=4，AO=3，顯然，∠AOB≠90°，因此出現了自相矛盾的現象.

案例4？搖 八年級上冊“12.2？搖整式的乘法——3. 多項式與多項式相乘”

如何引導學生建構多項式乘以多項式法則？如圖2，教科書體現的教學設計是：將一塊長m米、寬a米的長方形林地的長、寬分別增加n米和b米，用兩種方法表示現在這塊林地的面積. 先從整體上看成一個長為（m+n）米、寬為（a+b）米的長方形，面積為（m+n）（a+b）平方米，再把這個大長方形看成4個小長形的組合，面積為（ma+mb+na+nb）平方米.

教科書的做法是牽著學生的鼻子走，毫無彈性地直接得出（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb，然后硬生生地來一句：“實際上，把（m+n）看成一個整體，有（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=ma+mb+na+nb.”這樣的處理方式不能很好地契合“七、八年級學生正是具體運算階段與形式運算階段的交替期，部分學生已進入形式運算階段，即已經有能力處理假設，能對命題進行運算，并系統邏輯地進行推理，但另一部分學生很大程度上還要借助具體對象進行操作，形式和內容還不能分開”.

實際地想一想，將一塊長m米、寬a米的長方形林地的長、寬分別增加n米和b米，應得到如圖3所示的示意圖. 這個圖形為學生探索、建構多項式乘以多項式法則搭建了一個良好的平臺.

這一教學片斷可設計如下：

（1）在圖3中，長、寬分別增加n米和b米后的長方形面積如何用a，b，m，n表示？用盡可能多的方法表示，完成后，在小組中比一比，看誰的表達方法多. 由此你們能得出怎樣的等式？

（2）若學生有困難，可啟發性提問：若看成一個大長方形，它的面積表達式是什么？看成兩個長方形的組合呢？想一想，你還能看成幾個小長方形的組合？相應地，得到了怎樣的表達式？

（3）探究：①你們得到如下等式了嗎？你們是怎么理解的？請小組匯報.

（m+n）（a+b）=（m+n）a+（m+n）b=m（a+b）+n（a+b）=ma+mb+na+nb

②上式中的a，b，m，n都是正數，對任意的實數，上面的式子還成立嗎？

三忌：按部就班，缺乏深度挖掘

教科書體現的教學設計往往具有“教學通法”的特征，適合普遍情況，因此，很多教師常常遵從教科書的設計，按部就班地組織教學活動，失去了教學個性和生機. 因此，作為數學教師，我們應當不斷深化自己對數學的理解，不斷總結數學教育的教學規律，獲得一些“人無我有，人有我新”的東西，時刻帶著一份愛，關注每一個學生的健康成長. 正如一位教授所說：“當知識、能力和智慧遠遠超過需求時，就產生教育機智和幽默.”

案例5？搖 九年級上冊“24.2直角三角形的性質”課堂引入設計

在研究直角三角形的邊角關系之前，我們先來探索和歸納直角三角形的性質.

我們已經知道：

（1）在直角三角形中，兩個銳角互余.

（2）在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

下面我們探索直角三角形的其他性質.

探索 如圖4，畫Rt△ABC，并畫出斜邊AB上的中線CD，量一量，看看CD與AB有什么關系.

這是教科書的設計. 事實上，回顧的直角三角形的兩個性質與探索的性質并無實質聯系，而且安排學生做的操作活動目標指向過于直白，對于初三學生而言，缺乏挑戰性和探究性. 分析教科書的知識編排體系和學生的認知基礎，“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的邏輯基礎是矩形的判定和性質等，認知基礎是等腰三角形的“三線合一”，因此，新課導入時可設計如下：

（1）如圖5，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是△ABC的中線，那么AD______BC，∠BAD______∠CAD.

（2）問題（1）是等腰三角形的什么性質？我們還學過哪些特殊三角形？類比一下，你能提出什么新的問題？

（3）今天，我們來研究直角三角形斜邊上的中線的性質，剛才提出的其他問題以后再研究，現在你打算怎么做？

……

這樣的設計不僅激活了學生的思維，更重要的是，教給了學生如何提出問題，以及如何通過動手操作、測量和猜想等合情推理，再到演繹推理，以解決問題，從而讓學生真正學會發現問題、提出問題、分析問題和解決問題.

四忌：脫離現實，缺乏大膽創新

奧蘇伯爾說：“如果我不得不把全部教育心理學還原為一條原理的話，我將會說，影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，根據學生原有知識狀況進行教學.”因此，不了解學生的原有知識狀況，不找到新知識在學生頭腦中的生長點，教學是困難的、低效的. 這就要求我們熟悉教科書的知識網絡，仔細分析教科書的教學建議，領會編者意圖，再立足于學生的認知結構、現實經驗和客觀條件，大膽創新，提出行之有效的教學設計.

同時，教科書中的例題、習題都是教科書編寫者精心挑選出來的典型題目，具有示范性、典型性，一些題目還有很好的探究性，是教科書的精髓. 它一方面起到了加深學生對知識的理解，復習并鞏固知識的作用；另一方面，也是培養學生能力的重要載體. 因此，我們應充分認識教科書例、習題所蘊涵的價值，注重對教科書例題和習題進行充分挖掘和研究，創新例、習題，使其源于教科書，高于教科書；源于陳題，推陳出新；源于生活，而又數學味十足，對其深化和發展、全方位探索，挖掘其內涵及外延，把新舊知識有機地結合起來，以達到優化認知、開闊眼界、活躍思維、提高能力的目的.

案例6？搖 八年級上冊“13.2全等三角形的判定——3. 邊角邊”最后一個“做一做”

如圖6，已知兩條線段和一個角，以長的線段為已知角的鄰邊，短的線段為已知角的對邊，畫一個三角形.

把你畫的三角形與其他同學畫的三角形進行比較，所畫的三角形都全等嗎？此時，符合條件的三角形有多少種？

這個“做一做”引導學生畫圖確認“邊邊角”不能確定三角形全等. 這樣教學之后，學生基本上都知道“SSA”不能證明兩個三角形全等，但若讓他們舉出反例來加以說明，則基本上都不能舉出.

通過與學生的交流后得知，之所以出現“錯用”或“舉不出反例”，主要有兩個方面的原因：對該結論理解不夠透徹，或對幾何圖形的構造不夠清晰. 為解決這個問題，我們需要為學生找到新知識的生長點. 經過仔細研究，我們發現：其中的等腰三角形是關鍵，因此，能否以等腰三角形為基架構造反例呢？想到這一點，眼前赫然一亮，原來構造反例如此簡單！

請學生完成如下題目：先作一個等腰三角形ABC，AB=AC.

（1）取BC的中點D，△ABD與△ACD全等嗎？

（2）當點D為邊BC所在直線上任意一點（兩底角頂點及底邊中點除外）時，△ABD與△ACD還全等嗎？請畫出圖形進行說明.

對于問題（1），容易證明是全等的，對于問題（2），有如圖7和圖8兩種典型情形，易知△ABD與△ACD滿足“SSA”，但不全等.

本題讓學生經歷從“三角形全等”到“三角形不全等”的過程，在運動中感受到圖形變化引起的圖形結構變化，從而認清“SSA”的結構本質.

教科書使用有法，但無定法. 只要我們時時留心，勤于思考，就隨時都可能從教科書中發現數學教育中的“新問題”，這些新問題的解決就是我們專業成長的階梯，不僅能提高我們的理論修養和教育教學水平，同時也“潤物細無聲”地影響著每一位學生，這才是最有意義的.