關于勾股定理教學中的重點問題剖析

吳葉科

[摘 要] 筆者從一些教學實例入手，對勾股定理教學當中的幾個重點問題進行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內容的教學設計理清思路.

[關鍵詞] 勾股定理；重點問題；初中數學

從初中階段起，學生開始對平面幾何知識進行深入系統的研究. 在這之中，勾股定理一直是教學內容的重中之重. “勾股定理”這個名詞，很多學生早已有所耳聞，但正式開始學習之后才發現，它的內涵遠遠超出了人們口中常說的“勾三股四弦五”的范疇. 看似簡單的一個定理，其中所包含的規律與變化卻是極為豐富的，這一點在勾股定理內容的相關習題當中表現得十分明顯. 特別是當勾股定理與其他知識內容關聯在一起時，解題難度瞬間顯著提升，成為學生學習數學的一個難點. 對此，筆者從一些教學實例入手，對勾股定理教學當中的幾個重點問題進行了剖析，希望能夠拋磚引玉，為這部分內容的教學設計理清思路.

理解定理內涵，有效分析問題

要想將勾股定理掌握到位，前提是將它的內涵理解清楚. 深入挖掘理論含義便會感受到，它所包含的意義與方法遠遠不止文字表面敘述的那么簡單. 為了讓學生全面、確切地認識到勾股定理的內涵，并將之有效運用到具體問題的分析過程當中，教師有必要通過設置一些具有代表性的習題來加深學生的知識印象.

例如，在完成了勾股定理基本內容的教學之后，筆者請學生嘗試解答如下習題：如圖1，在△ABC中，∠A=90°，點P是AC的中點，PD⊥BC于點D，BC=9，CD=3，求AB的長. 首先，需要連接PB（如圖2），由此可得BD=BC-DC=6. 然后，在Rt△BDP和Rt△PDC中，分別應用勾股定理，即PD2=BP2-BD2，PD2=CP2-CD2，從而得到BP2-BD2=CP2-CD2. 于是得出BP2- CP2=BD2-CD2=36-9=27. 再由AP=PC可得出BP2-AP2=AB2=27，最終得到AB=3. 在這個問題的解答過程當中，在以PD為公共邊的兩個直角三角形當中運用勾股定理是解題的關鍵，這也向學生展現了勾股定理的具體內涵. 學生也意識到，只會機械地背誦勾股定理的基本公式并不是目的，只有在這樣的題目當中找出勾股定理之所在，并引導問題順利求解，才是有效學習所需要的.

在實際教學當中，如果僅僅是以平鋪直敘的方式來進行定理內涵的教學，往往無法將其中的抽象含義闡釋清楚. 初中階段的學生也比較喜好新鮮活潑的教學方式，單調的講述顯然是不適宜的. 因此，筆者采取了將理論知識訓練融入具體問題解答當中的方式. 在解題訓練的過程當中，學生對勾股定理內涵的感知才最真實.

構造特殊圖形，探尋解題思路

通過對勾股定理的相關習題進行分析便不難發現，對這部分內容的考查并不一定是以十分直接的方式進行的. 命題者總會將之同比較靈活或復雜的解題方法結合起來，使問題呈現出較強的綜合性. 為此，要求學生在理解定理內涵的基礎上掌握更多有效解題的方法.

例如，在勾股定理內容的學習過程當中，學生曾遇到過這樣一道習題，感到解答難度很大：如圖3，∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的長. 題目所給的圖形是一個不規則的圖形，學生不知應當如何入手. 但是，如果能夠注意到已知條件當中的兩個直角的存在，并將之與勾股定理的內容聯系起來，分析思路就會自然出現. 我們可以通過分別延長BC和AD相交于點E（如圖4），使之形成一個直角三角形，求出AE和CE的長. 再分別借助Rt△ABE和Rt△CDE中勾股定理的運用，求出BE和DE的長，于是BC與AD的長也就自然得出了. 學生大多習慣于在圖形內添加輔助線，而很少能夠想到將圖形向外擴展加以補充. 如果大家能夠以勾股定理的適用作為思維方向的引導，上述的構造想法也就不難得出了.

靈活處理幾何問題時，巧妙添加輔助元素來構造特殊圖形，能推動復雜問題有效解答. 因此，這也成為初中階段平面幾何教學所關注的重點技能，自然也是教師在勾股定理內容教學過程當中應當特別重視的. 當然，構造特殊圖形的方法多種多樣，我們不可能通過課堂教學來一一窮盡. 教師需要更多地借助典型題目來對學生加以引導，啟發他們這方面的思維，逐步提升他們的獨立解題能力.

把握面積聯系，開展巧妙分析

從表面上看，勾股定理所關注的只是線段與數字之間的關系. 但是，在實際解題過程當中，與勾股定理內容相關的習題卻沒有局限在這些元素的范圍之內. 特別是在一些較為復雜的問題之中，學生不僅要從“線”的角度著眼，還需要將視野拓展到“面”的范疇，為勾股定理問題提供更多巧妙的思路.

例如，在勾股定理知識的學習當中，有這樣一道十分經典的習題，筆者常會拿出來請學生感受和嘗試：如圖5，在△ABC中，∠B=90°，兩直角邊AB=7，BC=24. 在三角形內有一點P到各邊的距離相等，則這個距離是多少？僅從線段的長度角度來看，這道題比較難入手. 但如果學生能夠從面積的角度來進行分析，思路就出現了：如圖6，設點P到各邊的距離為r，連接PA，PB，PC. 根據幾個三角形之間的面積關系，有S+S+S=S，也就得出了AB·r+BC·r+AC·r=AB·BC的關系，很容易得出r的值為3，也就是題目當中所需求的答案. 當然，用面積的方法分析問題的想法也不是憑空出現的，主要是根據已知條件中垂線段的啟發，聯想到三角形的高，進而引出面積的思考. 以面積方法解題的結論并不重要，重要的是要讓學生明白這個結論得出的思考過程.

從上述示例不難發現，從“面”的角度入手，面積是一個極佳的切入點. 當我們無法從“線”的路徑獲得問題解答的思路時，便可以站到“面”的視角上，嘗試找到更多的分析問題的方法. 這也從另一個側面告知學生，對數學問題進行思考，一定要將思維開闊、靈動起來，不要拘泥于眼前的條件現狀，而要盡可能找到更多切入的方向，為解題服務.

適當加入旋轉，鼓勵運動研究

勾股定理之所以能夠成為初中數學教學的核心內容之一，就在于掌握這部分內容所需調動的綜合能力. 除了前文所談到的分析路徑的不斷擴充之外，還要求學生突破傳統的靜止思維，以運動的眼光來看待和分析知識內容. 這不僅有利于知識內容的探究，更是對學生數學思維質量的整體性提升.

例如，在勾股定理的學習過程中，筆者曾經為學生設計了這樣一道習題：如圖7，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D和點E在BC上，且∠DAE=45°. 求證：CD2+BE2=DE2. 這道題的分析思路的出現是從待求證的結論得出的，從這個形式便會很自然地聯想到勾股定理. 然后，問題出現了：這三條線段并不在同一個直角三角形當中. 那么，怎樣才能將它們歸于同一個直角三角形中來加以證明呢？旋轉是一個很好的途徑，也就是將△ABE繞點A逆時針旋轉90°得到△ACF，連接FD（如圖8）. 這種思維方式很好地啟發了學生的動態思維，為疑難問題的求解提供了一個全新的分析方向.

在初中數學的各類測試當中，相似類型問題的出現是非常頻繁的. 要想解決這類問題，僅靠靜止的思維遠遠不夠，學生還需要讓圖形動起來，讓思維動起來，方能找到解決數學問題的新可能. 平面幾何的學習從來都離不開想象能力，學習勾股定理自然也不例外. 當然，我們在這里所討論的旋轉只是幾何運動的主要形式之一，教師還應當繼續啟發和引導學生，幫助他們將宏觀的運動思維建立起來.

不難發現，對勾股定理內容的探究是一個比較完整且綜合的數學知識能力感知過程. 學生不僅需要從定理本身出發，深入挖掘它的思想內涵，還要善于將該理論運用到具體問題的解答當中，并努力適應問題的靈活多變，廣泛調動數學方法來分析問題. 通過勾股定理內容的深入學習，學生普遍完善了自己的思維體系，并有效靈活了頭腦，對初中數學學習的適應能力也更強了. 對于勾股定理這一重點知識內容，教師一定要找出其中具有代表性的關鍵部分，帶領學生對其加以關注與剖析，從而提綱挈領地掌握知識，提高能力，實現初中數學的優質教學實效.