求解高中數(shù)學選擇題的三個巧法

陳斌

摘 要：解答高中數(shù)學選擇題時不要求寫出計算或推理過程，只要答案，雖然解答此類題目的方法主要是直接法，但是，為了提高效率避免小題大做，解題的基本策略應該是：充分地利用題干和題肢兩方面的條件所提供的信息作出判斷，先定性后定量，先特殊后推理，先間接后直接，先排除后求解，即解答選擇題時要先考慮巧法.介紹了特例法、構造法和排除法三個巧法.

關鍵詞：選擇題；巧法；高中數(shù)學

方法一：特例法

從題干出發(fā)，通過選取特殊情況代入，將問題特殊化或構造滿足題設條件的特殊函數(shù)或圖形位置，進行判斷.特殊化法是“小題小做”的重要策略，要注意在怎樣的情況下才可使用，特殊情況可能是：特殊值、特殊點、特殊位置、特殊函數(shù)等.

【例1】如果a1，a2，…，a8為各項都大于零的等差數(shù)列，公差d≠0，那么（ ）

A.a1a8>a4a5 B.a1a8a4+a5 D.a1a8=a4a5

【解析】取特殊數(shù)列1，2，3，4，5，6，7，8，顯然只有1×8<4×5成立.

【答案】B

【例2】（2015·四川高考）設四邊形ABCD為平行四邊形，| |=6，| |=4.若點M，N滿足 =3 ， =2 ，則 · =

（ ）

A.20 B.15 C.9 D.6

【解析】（特例法）

若四邊形ABCD為矩形，建系如圖1.

由 =3 ， =2 ，

知M（6，3），N（4，4）

∴ =（6，3）， =（2，-1），

· =6×2+3×（-1）=9.

【答案】C

特例法具有簡化運算和推理的功效，比較適用于題目中含有字母或具有一般性結論的選擇題，但用特例法解選擇題時，要注意以下兩點：

第一，取特例盡可能簡單，有利于計算和推理；

第二，若在不同的特殊情況下有兩個或兩個以上的結論相符，則應選另一特例情況再檢驗，或改用其他方法求解.

【例3】如圖2，在棱柱的側棱A1A和B1B上各有一動點P，Q滿足A1P=BQ，過P，Q，C三點的截面把棱柱分成兩部分，則其體積之比為（ ）

圖1

A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.5∶1

【解析】將P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此時仍滿足條件A1P=BQ（=0），則有V =V = V ，故過P，Q，C三點的截面把棱柱分成的兩部分的體積之比為2∶1.

【答案】B

方法二：構造法

用構造法解客觀題的關鍵是利用已知條件和結論的特殊性構造出新的數(shù)學模型，從而簡化推理與計算過程，使較復雜的數(shù)學問題得到解決，它需要對基礎知識和基本方法進行積累，需要從一般的方法原理中進行提煉概括，積極聯(lián)想，橫向類比，從曾經(jīng)遇到的類似問題中尋找靈感，構造出相應的具體的數(shù)學模型，使問題簡化.

【例4】如圖3，已知球O的面上有四點A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA=AB=BC= ，則球O的體積等于（ ）

A.4π B.3π C.2π D.π

圖3

【解析】如圖4，以DA，AB，BC為棱長構造正方體，設正方體的外接球O的半徑為R，則正方體的體對角線長即為球O的直徑，所以CD=2R，

圖4

所以R= ，故球O的體積V = =π.

【答案】D

構造法實質(zhì)上是化歸與轉化思想在解題中的應用，需要根據(jù)已知條件和所要解決的問題確定構造的方向，通過構造新的函數(shù)、不等式或數(shù)列等新的模型，從而轉化為自己熟悉的問題.本題巧妙地構造出正方體，而球的直徑恰好為正方體的體對角線，問題很容易得到解決.

【例5】（2015·四川高考）設a，b為正實數(shù)，則“a>b>1”是“l(fā)og2a>log2b>0”的（ ）

A.充要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件

【解析】y=log2x（x>0）為增函數(shù)，當a>b>1時，log2a>log2b>0；反之，若log2a>log2b>0，結合對數(shù)函數(shù)的圖象易知a>b>1成立，故“a>b>1”是“l(fā)og2a>log2b>0”的充要條件.

【答案】A

方法三：排除法

排除法也叫篩選法、淘汰法.它是解選擇題的一種常用的方法，可以根據(jù)選項的特征，通過靈活賦值，利用一些特殊的對象，如數(shù)、點等代入選項進行驗證，根據(jù)選擇題的特征——只有一個選項符合題目要求這一信息，可以間接得到符合題目要求的選項.

【例6】（2015·湖北高考）設x∈R，定義符號函數(shù)sngx=0 x=01 x=1，則（ ）

A.|x|=x|sgnx| B.|x|=xsgn|x|

C.|x|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx

【解析】當x<0時，|x|=-x，x|sgnx|=x，

xsgn|x|=x，|x|sgnx=（-x）·（-1）=x，

排除A，B，C.

【答案】D

排除法適應于定性型或不易直接求解的選擇題.當題目中的條件多于一個時，先根據(jù)某些條件在選項中找出明顯與之矛盾的予以否定，再根據(jù)另一些條件在縮小選項的范圍內(nèi)找出矛盾，這樣逐步篩選，直到得出正確的答案.

【例7】（2015·山西四校三聯(lián)）已知函數(shù)f（x）=3x x≤0logx x>1，則函數(shù)y=f（1-x）的大致圖象是（ ）

解析：當x=0時，y=f（1）=3，即y=f（1-x）的圖象過點（0，3），排除A；當x=-2時，y=f（3）=-1，即y=f（1-x）的圖象過點（-2，-1），排除B；當x=- 時，y=f（ ）=log ，即y=f（1-x）的圖象過點（- ，log ），排除C.

【答案】D

編輯 謝尾合