方程的根與函數零點的教學分層設計與反思

甘綺雯

【摘要】方程的根與函數零點的分層教學內容包含一個概念、三個等價關系、一個定理.為達成教學目標，本節課先通過四個方程是否有實根，根據學生的思維特點分層設計，讓不同層次學生都碰撞思維的火花，激發求知欲，從而引入課題；再利用函數的圖像與性質去探究方程的根，給出“函數零點”的定義以及等價關系；最后探究零點存在的條件，引出“零點存在性定理”，并利用該定理解決具體問題，再輔以分層作業，進行鞏固提高.

【關鍵詞】方程的根；函數零點；分層設計；教學反思

【基金項目】廣州市2013年“十二五”教育規劃課題《高中數學作業分層設計的實踐研究》的階段性成果.課題編號：2013B263

2014年10月，廣州市黃埔區高中數學學科舉行了“同課異構”教學研討活動，我采用了分層教學設計.作為一名青年教師，我有幸參加此次活動.這次活動的課題是人教A版必修1第三章3.1.1“方程的根與函數的零點”，通過這次活動，筆者對這節課有一些粗淺認識，現記錄下來，與大家分享和交流.

一、關于教學目標的分層定位

課堂教學目標應該以該節教學內容為載體，扎根于具體教學內容之中，對教學目標進一步細化，以突出教學目標對教學的導向作用.而本節課的教學重點是方程的根與函數零點的等價關系以及函數零點存在性定理，教學難點是探究函數零點存在的條件.

基于以上認識，本節課的教學目標定位如下：

（1）從一些具體方程（如一次、二次方程）根的求解以及相應函數圖像，理解函數零點的概念以及探索出方程的實根與其相應函數零點之間的關系；（2）會將一個方程求解問題轉化為一個函數零點問題，并會用定理判斷存在零點的區間；（3）通過觀察一些特殊函數在區間端點上函數值之積的特點，探索發現函數零點存在性定理；（4）在學習過程中感悟化歸與轉化、數形結合、函數與方程的數學思想.

對于不同層次的學生，教學目標要求是不一樣的：A組學生達到（1）—（2）；B組學生達到（1）—（3）；C組學生達到（1）—（4）.

二、創設問題情境，分層定標，引入零點概念

一個好的引入可以幫助學生更好地理解所學習的內容，激發各個層次學生自己提出數學問題.所以本人在課本的基礎上設計了以下問題來引入新課.

教學設計如下：

問題1：判斷下列方程是否有解？

①x-1=0；②x2-2x-3=0； ③x3-x=0；④lnx+2x-6=0.

（設計意圖：問題1中方程①②③學生都可以利用初中知識解決，但方程④用現有方法解決不了，以此引起認知沖突）

問題2：求出表中方程的實數根，畫出相應的函數圖像的簡圖，并寫出函數圖像與x軸交點的坐標.（由A層次學生回答）

（設計意圖：利用函數的圖像與性質去探究方程的根，給出函數零點的概念）

問題3：結合函數零點的定義，你能說說函數y=f（x）的零點、方程f（x）=0的實數根、函數y=f（x）的圖像與x軸交點的橫坐標，三者有什么關系？（由B或C層次學生解決）

（設計意圖：引導學生發現方程的實數根和相應函數圖像與x軸交點的橫坐標的關系，建構函數的零點與方程的實數根的關系）

三、關于零點存在性定理的辨析處理

1.對零點存在性定理的辨析主要有兩個方面：第一，對于定理條件的“充分不必要性”的認識，這可以通過舉反例（如畫y=x2函數圖像）理解.第二，對于定理中零點個數問題，首先要明確“零點的個數”不是這節課的重點，只要讓學生在直觀上認識到，在定理的條件下，一定能保證零點存在，“有多少個”定理無法確定.課本中的例1，求函數f（x）=lnx+2x-6的零點個數，意在用信息技術做函數值對應表和函數圖像，通過直觀判斷得出結論.本人覺得這節課的重點是方程的根與函數零點的等價關系以及函數零點存在性定理，所以本人把例題改為：

例題 設x0是方程lnx+2x-6=0的解，則x0屬于區間（ ）.

A.（-1，0） B.（1，2）

C.（2，3）D.（3，4）

解決完本題后可以利用幾何畫板畫出函數f（x）=lnx+2x-6圖像，再次驗證結論.

2.在什么時候進行定理辨析？剛學定理，在對定理不熟練的情況下，馬上進行定理的辨析，對部分學生（尤其是A層次學生）來說是有一定難度的，這樣的辨析只會弱化對定理的掌握和理解.所以，本人的處理方法是把定理的辨析放在課后練習中處理（詳見課堂練習第（6）題），由B和C層次的學生來解決.

四、關于課堂練習的設置——分層作業

根據因材施教的理論，這節課的課堂訓練設計為分層練習，分為A、B、C三組練習，以滿足不同層次學生的需要.

A組：（由A層次學生展示）

（1）求下列函數的零點：

①f（x）=2x-1；②y=x-1x；③f（x）=（x+2）（x-4），x<0，lgx，x≥0.

（2）下列圖像表示的函數中沒有零點的是（ ）.

（小結求函數零點的方法：①代數法，即求方程的實根；②幾何法，即利用函數y=f（x）的圖像和性質找出零點）

（3）函數f（x）=4-4x-ex的零點所在區間為（ ）.

A.（1，2）B.（0，1）

C.（-1，0）D.（-2，-1）

B組：（B層次學生展示）

（4）設x0是方程x2-4x=0的解，則x0屬于區間（ ）.

A.（-1，0）B.（1，2）C.（2，3）D.（3，4）

（5）若函數f（x）在[a，b]上連續，且有f（a）f（b）>0.則函數f（x）在[a，b]上（ ）.

A.一定沒有零點B.至少有一個零點

C.只有一個零點D.零點情況不確定

概念辨析：

①將零點存在性定理的條件和結論交換，所得命題成立嗎？即命題“函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并且函數y=f（x）在區間（a，b）內有零點，那么f（a）·f（b）<0.”成立嗎？若不成立請舉反例.

②你能在下面橫線上填一個條件使結論成立嗎？

如果函數y=f（x）在區間[a，b]上的圖像是連續不斷的一條曲線，并有f（a）·f（b）<0且，那么函數y=f（x）在區間（a，b）內有且只有一個零點.

C組：（由C層次學生展示或留作課后C層次學生解決）

（6）已知函數f（x）=ax2+x-1+3a（a∈R）在區間[-1，1]上有一個零點，求a的取值范圍.

五、教學反思

（一）本節課的成功之處

1.引入自然.為了激發學生的求知欲，使學生感受到學習本內容的必要性，本人先給出四個方程，其中三個是學生能通過已有的知識解決的，但第四個就不行了，這樣激發學生學習的興趣，又讓學生產生疑惑，為引入新課做鋪墊.然后通過一個表格引導學生觀察三個方程的解與相應函數圖像的關系，順勢提出了函數零點的定義，此時學生很容易得到三個等價關系，并明確要轉換角度來研究方程的根：利用函數的性質和圖像.

2.突破難點.對于函數零點存在性定理，高中階段不可能給以證明，只需要讓學生通過函數圖像，直觀感知零點存在的條件.基于此，本人精心設計了幾個問題：問題4中的兩個探究活動是學生熟悉的一次函數和二次函數，探究函數值在零點附近的變化規律，通過問題4很多學生能得到：函數f（x）在區間（a，b）內一定有零點的條件是f（a）·f（b）<0，問題5和問題6進一步引導學生正確得到一般情況下，函數f（x）在區間（a，b）內一定有零點的條件.這三個問題層層遞進，引導學生一邊畫草圖，一邊積極思考，舉反例，從幾何直觀上感知零點存在的條件.這樣設計符合學生的認知規律：從簡單到復雜，從具體到抽象，讓學生在具體的例題中概括出共同的本質特征，得出一般性的結論，使學生思維發生碰撞，弄懂了定理.

3.采用分層教學設計，滿足各層次學生學習需要，充分調動各層次學生學習的積極性.讓不同層次學生都有碰撞思維的火花，課堂氣氛活躍，學生的參與意識明顯.學生在“成功的體驗”中，不知不覺中掌握概念，突破難點.最后輔以分層作業，進行鞏固提高.這節課基本能保證C層在聽課時不等待，A層基本聽懂，得到及時輔導，即A層“吃得了”，B層“吃得好”，C層“吃得飽”.

（二）本節課的不足之處

1.本節課的新知識都具有“形”與“數”兩方面的含義，而幾何直觀是理性認識的基礎，教學時應充分利用好函數圖像，努力體現數形結合思想.在教學過程中，對現代教育手段的使用未能充分體現，對如何展現函數圖像上的動點經過x軸這一最為關鍵的過程，沒有突出和強調，從而沒能更充分利用媒體強化對學生思維刺激的輔助作用.

2.在教學過程中沒有注意學生思維的連貫性.不應該在學完函數零點的概念和三個等價關系時馬上進行了課堂練習（1）—（4）題的訓練，然后再學習零點存在性定理.這樣操作學生的思維被打斷，不連貫，不利于下一個問題的學習.所以應該把所有問題講完才進行課堂訓練，這樣效果更好.實踐證明，只要學生真正理解概念和定理，是不需要急著解太多的題.概念的理解和定理的形成過程才是這節課的關鍵.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（實驗）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]章建躍.方程的根與函數的零點的教學[J].中國數學教育（高中版），2012（1/2）：16-18.