“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)學生思維能力中的應用

康澤鵬

摘 要：數(shù)學教學要注重培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力，“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)高中學生的數(shù)學思維能力，特別是發(fā)散思維能力方面得到許多專家和教師的肯定。闡述了“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)數(shù)學思維能力方面的重要性及應用方法。

關鍵詞：高中數(shù)學；數(shù)學思維；能力培養(yǎng)

在高中數(shù)學課標中，要求數(shù)學教師注重培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力，并把它作為重要的教學內容。培養(yǎng)思維能力，既能提高學生的理解能力，又能提高學生分析解決問題的能力，還能提高教學效益。“一題多解與一題多變”是培養(yǎng)高中學生的數(shù)學思維能力，特別是發(fā)散思維能力的好方法。數(shù)學教師在講解數(shù)學例題時，不僅要講解題方法，最重要的是教給學生如何正確理解題意，抓住解題的關鍵，如何開拓解題思路，也就是培養(yǎng)學生的思維能力。

一、“一題多解與一題多變”的教學價值

1.“一題多解”的教學價值

“一題多解”就是從多個視角去分析思考數(shù)學問題，用多種方法途徑去解答數(shù)學問題。這種方法可以拓寬解題思路，增強數(shù)學知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)學生學會運用多種方式多種方法解題和靈活多變的思考方式，而靈活的思維方式正是創(chuàng)新能力的基礎。教師在教學中，要運用“一題多解”的方式進行教學，就要培養(yǎng)學生在解答數(shù)學問題時善于從多角度觀察感知和思考問題，運用多種方法推導驗證問題，多方面尋找運用關聯(lián)條件，不但要考慮條件本身，還要考慮條件之間的聯(lián)系，用多種方式進行表述，只有這樣才能培養(yǎng)學生數(shù)學思維的靈活性。

2.“一題多變”的教學價值

“一題多變”是指在數(shù)學解題練習中，將原來數(shù)學題目中的一些已知條件進行變換，或者把要求解答的問題與題目一個或者幾個條件變換后，再去求解問題的結果；也可能是給出問題的部分條件，讓學生去補充另外一些條件；也可能是對數(shù)學問題的拓展，增加問題的難度或背景來訓練學生的發(fā)散思維能力。采用“多變”的方式進行教學，主要是對數(shù)學例題或習題進行多種變換，讓學生從不同方面、不同情形、不同層次下對該數(shù)學問題進行重新求解或認識。它是教學反思的一種方式，它要求學習者從出題人的視角去看問題，并對原來的數(shù)學問題有一個深刻的理解，才能做到“多變”。“多變”解題能培養(yǎng)學生觀察問題、歸納類比、概括抽象、運算能力、空間想象、構建與反思等多種數(shù)學思維能力。

二、“一題多解與一題多變”在培養(yǎng)數(shù)學思維能力上的應用

1.培養(yǎng)開放性思維方式

數(shù)學教學離不開數(shù)學解題，搞“題海戰(zhàn)術”僅能得到“一對一”的解題方法和思路，不是科學的解題方法。正確的做法應該是“少而精”，對數(shù)學問題的研究和解答要學會舉一反三，要培養(yǎng)學生運用開放性思維的方式來解答數(shù)學問題。運用“一題多解與一題多變”教學，能培養(yǎng)學生分析和解決數(shù)學問題的能力。例如，運用“一題多解”來推導等差數(shù)列的通項公式an=a1+（n-1）d。

方法一：a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d…an=a1+（n-1）d。

方法二：根據(jù)定義可得，an-an-1=d，an-1-an-2=d，an-2-an-3=d…a2-a1=d，把上面的等式兩邊累加，得到式子an-a1=（n-1）d，變形即得到通項公式。以上方式在推導公式中，可以讓學生學到不同的方法和思路，有利于拓展學生的數(shù)學思維。

2.提高分析問題的能力

對于數(shù)學題，運用“一題多解與一題多變”方式進行解答，從不同視角思考能得到不同解決方法，能拓展思維能力和提高分析解決數(shù)學問題的應變能力。例如，已知a，b≥0且a+b=1，求a2+b2的取值范圍。此題解答方法很多，可以讓學生從不同的角度去思考問題，從而提高分析數(shù)學問題的能力。

方法一：（函數(shù)方法）因為a+b=1，得b=1-a，則a2+b2=a2+（1- a）2=2a2-2a+1=2（a-1/2）2+1/2，因為a∈[0，1]，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質可知：當a=1/2時，a2+b2的最小值是1/2；當a=0或1/2時，a2+b2最大值為1。

方法二：（三角換元法）根據(jù)題目給出的條件a，b≥0，a+b=1，則假設a=cos2φ，b=sin2φ，其中φ∈[0，π/2]，則a2+b2=cos4φ+sin4φ=（cos2φ+sin2φ）2-2cos2φsin2φ=1-1/2（2sinφcosφ）2=1-1/2sin22φ=1-1/2（1-cos4φ）/2=3/4+1/4cos4φ，分析：

當cos4φ=-1時，a2+b2得最小值1/2；當cos4φ=1時，a2+b2得最大值1。

此外，此題還可用對稱換元、基本不等式、數(shù)形結合方法等方法進行求解。

總之，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維能力是素質教育的一項重要任務，運用“一題多解與一題多變”是培養(yǎng)數(shù)學思維的好方法，教師在日常教學中應多加運用，以提高學生的思維創(chuàng)新能力。

參考文獻：

李向臣.一題多解與一題多變培養(yǎng)學生發(fā)散性思維[J].數(shù)學學習與研究，2010（4）.