數學實驗：賦予兒童幾何學習以生長的力量

【摘要】“圖形與幾何”是小學數學教學中重要的領域，它承載著極其豐富的數學實驗內容。科學有效的數學實驗不僅能幫助學生理解幾何形體的特征，體驗幾何原理的生長過程，也是學生建立和發展空間觀念、提升數學學力、培育數學情感的重要途徑。

【關鍵詞】“圖形與幾何”；數學實驗；幾何學習；空間觀念；范式建構

【中圖分類號】G623.5 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2017）09-0031-03

【作者簡介】毛新薇，江蘇省江陰市徐霞客實驗小學（江蘇江陰，214406）副校長，高級教師，無錫市數學學科帶頭人。

在“圖形與幾何”內容領域開展數學實驗是指學生在學習幾何知識時，能夠借助一定的工具，開展平移、折疊、拼合等積極的實踐活動，在“數學化”的過程中理解知識、積累經驗、發展空間觀念與空間想象力。在教學“圖形與幾何”領域的內容時開展科學有效的數學實驗，不僅能幫助學生正確理解幾何形體的特征，體驗幾何原理的生長過程，也有助于學生建立和發展空間觀念、提升數學學力、培育數學情感。

一、尋繹：教材文本中的實驗基因

在蘇教版小學數學教材中，“圖形與幾何”領域包括圖形的認識、測量、運動與位置這四大內容。依據實驗的目的，筆者將這四大內容中的數學實驗分為理解型、探究型和驗證型三類。理解型實驗有：圓錐的認識；做圓柱與圓錐，求底面周長與底面積；量圓錐實物，理解高與底面；理解平面圖繪制中各部分的占地形狀；等等。探究型實驗有：圓柱的認識；選擇合適規格的鐵皮做長方體；等等。驗證型實驗有：擺正方體，從不同方向觀察其形狀；折正方體并展開，驗證其展開圖；等等。

二、建構：“圖形與幾何”領域中數學實驗的操作范式

筆者重點提煉了“圖形的認識”“圖形的測量”“圖形的運動”這三個范疇中數學實驗的范式。在具體實施時，教師應根據具體情況靈活調整，形成適合教學實際的“變式”，以更好地提高實驗教學的有效性。

1.“圖形的認識”的實驗范式。

“圖形的認識”是空間形式的本質屬性在人腦中的反映，它是“圖形與幾何”領域的重要內容，其大部分內容均與概念教學有關，屬于“形概念”教學。“圖形的認識”的實驗范式如圖1所示：

2.“圖形的測量”的實驗范式。

“圖形的測量”是學生三維空間觀念逐步建構和完善的過程，主要包括長度、面積、體積的度量和圖形周長、面積、體積的計算公式推導兩大部分。筆者以計算公式的推導為例，說明“圖形的測量”的實驗范式（如圖2）。

3.“圖形的運動”的實驗范式。

“圖形的運動”領域的學習可以幫助學生從平移、旋轉、軸對稱變換等運動變化的角度認識圖形，了解圖形之間的聯系以及數學與現實世界的聯系，感受、欣賞圖形的美，激發學生的創造潛能，其實施范式如圖3所示：

三、深耕：“圖形與幾何”領域實驗教學的智性實踐

1.理解型實驗：“高觀點”下洞悉“圖形與幾何”知識的數學本質。

理解型實驗是為了讓學生形成“形概念”，理解圖形的特征，體驗圖形的多方面性質（如度量性質、組合性質、穩定性質等），體悟定理、公式產生的原理而進行的實驗。教師應站在“制高點”上審視理解型實驗的價值，根據學生對幾何知識的認知規律設計實驗，讓學生真正洞悉幾何知識的本質屬性。

（1）多元突破：豐盈學生的感知力

根據學生認知結構的特點，教師可以采取多種途徑與方法來幫助學生感知幾何知識。表1中列舉了幾種實驗方法。

（2）舉象會意：豐滿學生的表象力

教師要通過數學實驗給予學生豐富的表象，讓學生通過表象來領會幾何知識的意義，從而使他們更好地進行抽象的“思”。例如：蘇教版三上《軸對稱圖形》的實驗教學，一是從生活實例中抽象出軸對稱圖形，讓學生通過觀察直觀建立“前表象”概念；二是通過折一折、比一比等操作活動概括軸對稱圖形的本質屬性，尋求其背后的物質表象，建立“準表象”概念；三是借助長方形、正方形紙片等工具，設計、創造一個軸對稱圖形，以此豐富學生的元認知表象，實現內化與躍遷。

（3）逐層推進：豐厚學生的理解力

教師在設計數學實驗時，要按照知識的邏輯程序和學生的認知程序進行梯度式實驗，分層推進，逐步建構。例如：教學蘇教版五下《圓的認識》，教師先呈現圓形的實物圖形，讓學生感受圓的基本特征，這對應學生對感官型概念理解的心理水平；其次，讓學生用圓規或自主設計畫圓工具來畫圓，概括圓的本質屬性，這對應學生對工具型概念理解的心理水平；最后，讓學生用圓形圖片模擬車輪沿桌面邊緣滾動，猜想車軸的運動軌跡并解釋將車軸裝在圓心的原理，這對應學生對關系型概念理解的心理水平。三層實驗和三度思考，有助于學生深入地理解圓的概念。

2.探究型實驗：讓學生深入進行幾何學習。

探究型實驗是指學生事先不知道結論，通過開展有針對性的探究實驗活動獲取結果。在教學幾何圖形的定理、公式時，教師可以借助數學實驗，讓學生深入進行探究活動，親歷數學知識的形成過程，體驗探究成功的樂趣。

（1）“姿態”大氣：從控權到放權

教師要做到“姿態大氣”：在理念上，要從只關注知識技能培養走向關注人的發展；在方式上，要從離身學習走向具身學習；在材料上，要從封閉單一走向開放多元；在過程上，要從小步子推進走向大空間探究。當然，“放權”不是放任自流，當學生實驗受阻或偏離方向時、實驗方法不科學或數據失真時、探究結論遇到困難時，都需要教師的指點、幫助和引領。

（2）過程完整：從操作到內化

鄭毓信教授曾指出：“數學實驗要實現對操作層面的必要超越。”數學實驗活動的外化與數學思維品質的內化是相互統一的，數學實驗不能停留于實驗操作的層面，而應引導學生在頭腦中實現必要的重構，在活動過程中理解幾何對象的內在屬性，提升幾何思維水平。

（3）視野完好：從現象到本質

在實驗時，學生往往只會關注那些表面的、外在的、直觀的現象，而很難深入知識的深層內核，挖掘知識的本質，這就需要教師加以引導，幫助學生體悟現象背后的本質屬性。例如：蘇教版五上《平行四邊形的面積》實驗教學結束時，教師可以引導學生發現實驗背后的本質，感受平行四邊形可轉化為長方形，從而對圖形的特征及其內在關系建立起基本的數學感覺。

3.驗證型實驗：開掘學生幾何學習的潛能。

驗證型實驗是指學生已經知道或者大概知道結論，通過實驗操作和觀察、記錄、分析等手段，嘗試運用所學知識和方法對已有的數學猜想給出證明或“再發現”“再創造”的實驗。這類實驗對學生推理能力、實踐能力和理性精神的培養有著不可替代的作用。

（1）猜想：驗證的起點

教師要引導學生經過推導大膽地提出自己的合理猜想，同時要追問學生猜想的依據是什么，幫助學生調整思路、篩選結果，不斷提高學生的猜想水平。如教學蘇教版六下《長方體的體積》練習課時，有這樣一道題目：把一張長5cm、寬4cm的長方形紙分別繞它的長和寬旋轉一周，形成的物體是什么形狀？它的體積最大是多少？教師可以引導學生進行深度猜想：一是利用已有生活經驗來猜想；二是融入動態表象，讓學生進行動態操作想象，使長方形在他們頭腦中“動”起來，建立起一個連續、漸變的圓柱表象。

（2）實驗：驗證的基點

教師通過設計多維互證的方式，讓學生采用多種方法來進行實驗。例如：教學蘇教版六下《圓錐的體積》時，在學生猜測后，教師可以提供多種實驗材料，讓學生分組驗證。面對富有挑戰性的實驗材料，學生可能會想出多種驗證方案：用橡皮泥捏等底等高的圓柱與圓錐尋求體積關系；削圓錐形蘿卜后稱重量比較；通過注水法探求體積關系；等等。然后引導學生在動手操作的過程中印證圓錐體積公式的合理性。

（3）有本有源地思辨：驗證的落腳點

為了使學生避開操作誤差的干擾，教師可以帶領學生進行思想實驗，引導學生通過進行理性的思辨尋求結論背后的理論支撐，以增強結論的可信度。例如：教學《圓錐的體積》一課，在學生通過動手操作獲得結論后，教師可以以“你知道嗎”的形式補充圓錐體積的推導過程：用平行于圓錐底面的平面把它切成一些近似的小圓柱，將這些小圓柱的體積求和就近似于原來圓錐的體積，切成小圓柱的份數越多，結果就越精確。這樣的理性推導，直抵圓錐公式的本源，既與操作的結論相印證，又能拓展學生的知識視界，培養學生的分析、推理能力，讓學生的驗證真正落到知識本源處。

總之，從本質上看，學習是一種基于經驗的自然生長。生長需要土壤、水分和陽光，而數學實驗因其獨特的內在價值，能夠成為學生空間觀念培養與數學素養提升的加速器，能夠賦予學生的幾何學習以生長的力量。<＼＼Ysc02＼d＼邱＼江蘇教育＼小學版＼2017＼02＼KT1.TIF>

【參考文獻】

[1]張景中，王鵬遠.少年數學實驗[M].北京：中國少年兒童出版社，2012.

[2]董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013.

注：本文獲2016年江蘇省“教海探航”征文競賽一等獎，有刪改。