高中數學數列的解題常規方法分析

孫瀟婧

【摘要】數列是高中數學關鍵知識點之一，我們要想在高中數學考試中取得理想的成績，掌握數列的解題思路與解題技巧至關重要。我將重點總結高中數學數列的解題常規方法。

【關鍵詞】高中數學 數列 解題方法 探究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）01-0103-01

數列是高中數學重難點之一，高考中涉及數列知識的考題難度系數多中等偏上。由于數列是特殊的函數，涉及大量的數學思想與知識點，如函數方程思想、分類討論思想、數形結合思想等。高考中的數列試題考查學生的綜合性知識掌握程度，不僅有復雜的運算，還需要一定的技巧，要想縮短解題時間、提高解題的正確性，就必須掌握好的解題方法與技巧。

一、掌握數列的概念與基本性質

我在遇到數列試題時，首先會分析數列試題的構成，總的來說，數列試題多考查我們對數列基本概念以及通項公式的理解與掌握程度，在日常學習中應重視這兩方面知識的學習。

（一）數列的基本概念

遇到考查數列基本概念的試題，一般直接運用通項公式、求和公式來解答，這類試題比較基礎簡單，沒什么技巧可言。

掌握等差數列知識點，必須掌握a1、d、n、an、sn這5者之間的關系，能從任意已知的3個量中，求出另外2個量，這就運用了方程思想；掌握等比數列知識點，也是能從a1、q、n、an、sn這5個量中，任意已知3個量得出另外2個量。如，等差數量an，前n項和為sn，（n為整數），如果a5=5，s10=60，求數列的前5項和s5？利用等差數列公式：an=a1+（n-1）·d，等差公式前n項和公式為：an=n·（a1+an）/2，求出a1=-3，d=2，s5=10。在解答此類題型時，靈活運用等差數列的通項公式、求和公式是關鍵，首先求出a1和d，然后利用通向公式求出an與sn，因此，我們只有掌握了數列的概念及公式，才能準確解答此題試題。

（二）考查數列的性質

二、理解掌握數列前n項和的求法

（一）錯位相減法

分析近10年的高考數學試題發現，能運用錯位相減法解答的試題多側重于等比數列的推導以及相關數列公式的應用，此類題目解答的關鍵就是靈活運用平時教師講解的（等差數列×等比數列）類型數列的前n項和解法。如，已知數列an的前n項和為sn，其中a1=1，an+1=2sn（n為正整數），求數列an以及數列nan的前n項和Qn，在解答這種類型題目時，學生要理解掌握題目的特點是等差數列與等比數列的對應項相乘求和，此類題目就可使用錯位相減法解答。在解題過程中，第一步是求出等比數列的公比以及首項，然后利用等比數列相關公式，算出a1=1，n=1，那么an=2·3n-2，其中n≥2，那么Qn的公式就出來了，然后根據Qn算出3Qn，使用錯位相減法，兩個表達式相減得出Qn=1/2+（n-1/2）·3n-2，其中n≥2，經驗證n=1時，上式也成立，得出n的范圍為正整數，由數列的性質以及解題方法看出，錯位相減法在求（等差數列×等比數列）類型數列前n項和中運用比較合適。所以，我們在學習該知識點時，首先要全面掌握該知識點，然后重視學習解題思路，在解題過程中總結相關規律，總結解題方法。

（二）分組求和法

這種解題法適用于那些既不屬于等差數列，也不屬于等比數列的試題，解題時，將其拆分成幾個不同部分，能得出是等差數列或等比數列的組合。對于此類試題，一般采用分組求和法，將題中數列拆分成幾個容易求和的數列，分別求和后，最后合并求和。如，已知數列an（n為正整數），an=n+2n，求數列an的前n項和sn。解題時，先假設n=1、2、3、4…那么，a1=3，a2=6，a3=10，a4=18…，由此可見，an既不是等差數列，也不是等比數列，但是n+2n前面n是等差數列，后面2n是等比數列，因此，假設cn=n，dn=2n，那么，an=cn+dn，那么，等差數列cn的前n項和為n+n·（n-1）/2；等比數列dn的前n項和為2·（2n-1）/2，那么數列an的前n項和為[n+n·（n-1）/2]+[2·（2n-1）/2]。由此可見，對于一些不能直接求和的數列，首先要學會拆分，然后求出每個子數列的前n項和，最后將每個子數列的前n項和相加，就得出原來數列的前n項和，值得一提的是，解答該類型題目的關鍵就是拆分題中的數列，可靈活使用多種拆分法，切忌拘泥于一種。

（三）合并求和法

在數列章節，常常會涉及到一些復雜特殊的數列題型，解答這類題型時，首先要整合數列中的某些項，才能發現計算方法與技巧，所以，教師在教學過程中，應積極引導學生分析數列題中的合并項，合并完這些合并項后方可解題，能有效將難題簡單化。

如，已知數列an，n為正整數，其中a1=2，a2=7，a3=5，an+2+an=an+1，求數列an的前1999項和S1999，假設n=4，5，6，那么a4=-2，a5=-7，a6=-5，由此可見，數列an既不是等差數列，也不是等比數列，但是，在分析的過程中，發現a6m+1=2，a6m+2=7，a6m+3=5，a6m+4=-2，a6m+5=-7，a6m+6=-5，（k為正整數），由此可見S1998=0，S1999=0+S1999，由于1999=6×333+1，所以，a1999=2，那么S1999=2。從該題的解答過程中，我們可以看出使用合并求和法的關鍵在于找出數列中的特殊項，將特殊項合并，然后相互消減，將剩下的各項相加就得出了所求的前n項和，得出最終答案。

綜上所述，數列章節知識點是高考考查的重點也是難點，并且會與三角函數、方程、不等式等知識點緊密聯系在一起，相互滲透，一定程度上加大了題目的難度。學生要想成功解答數列試題，必須全面掌握數列概念以及基本性質，否則任何的解題方法與技巧都是空談。

參考文獻：

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