高中數學課堂融入數學思維教學的思考

姜竹嶺

[摘 要] 培養學生數學思維是高中數學課堂的重要任務，本文結合數學思維的理論研究，從實踐的角度出發，提出了高中數學課堂滲透數學思維的教學策略.

[關鍵詞] 高中數學；數學思維；教學策略

培養學生的數學思維是高中數學課堂的重要任務. 在教學實踐中，教師深刻體會數學思維的內涵，并將其有效地融入課堂教學，這不僅有助于學生數學學習效率的提升，也將促成他們思維品質的提高.

[?] 數學思維的概念及其分類

1. 數學思維的概念

人的思維活動是人腦通過分析、對比、抽象、歸納、推理等方法，探求事物的本質特點及其內在關聯的心理活動.它是人腦所特有的一種高級認識活動.

當前數學教育理論界對數學思維尚未形成統一的概念，筆者在此列出具有代表性的三種觀點. 葉立軍老師認為，數學思維是人一般思維活動的一種，它是人腦理性認知數學問題的過程，能體現出數學的學科本質以及數學對象之間的關系.王仲春老師在此基礎上對上述概念進行了明確和細化，他指出廣義的數學思維是人腦理性認識數學對象，其中也包括運用數學知識和方法解決實際問題的思維過程. 他特別指出，在實際問題的解決過程中，數學思維與知識都是非常關鍵的.張乃達老師又在此基礎上進一步作了細化說明，數學問題是數學思維的基礎，經過問題的發現、分析以及解決等過程，最終實現對現實世界的數量關系以及空間結構的一般化認知的思維過程.

綜合上述三種觀點，我們可以認為數學思維屬于一般化的思維，是一種數學化的主體認知客體的過程.

2. 數學思維的主要分類

一般來講，數學思維包括以下幾類：數學直覺思維、數學邏輯思維、數學形象思維.

①數學直覺思維. 所謂數學直覺思維，是個體在已有知識的前提下，在接觸數學問題的初期，進行整體性觀察，并很快在頭腦中對問題形成非邏輯的判斷，這種認識是直覺的，而不是經過邏輯思維得到的，它對問題解決有著良好的指向性.事實上，很多數學問題的解決就是先通過直覺思維發現思路，再由邏輯思維徹底解決. 正如數學家波利亞所言：“你要成為一個數學家，首先就應該是一個有著敏銳直覺的猜想家.”因此，在日常教學中，我們也提倡學生先通過直覺思維進行猜想，再通過邏輯思維形成證明，由此實現問題的解決.

②數學邏輯思維. 所謂數學邏輯思維，是個體結合已有的概念、公理、定理等進行一系列的推理和證明的思維過程，其中涉及大量的類比、分析、歸納、猜想、演繹等抽象思維方法，同時還要求以嚴謹的數學語言和規范的數學符號對相應的數學規律進行表征. 數學邏輯思維的特性包括邏輯性和抽象性，這同時也是高中數學的學科特點. 一般來講，數學問題的解決最終是由邏輯思維來進行實現的.

③數學形象思維. 數學是一門抽象而嚴謹的藝術，但是形象思維在數學中同樣有著不可替代的作用.數學形象思維是結合個體對客觀事物表象所進行的一種思維活動，其主要思維活動包括聯想、比較、觀察以及實驗等. 例如，數學中的各類統計圖表、函數圖像、幾何圖像等，這些都是進行數學形象思維的基礎.

[?] 高中數學課堂滲透數學思維的教學策略

有效滲透數學思維實際上應該是高中數學課堂的基本組成，同時也是學生數學能力提升的重要途徑，那么如何將數學思維的滲透教學與我們的高中課堂進行整合呢？筆者認為，可以從以下幾個方面著手.

1. 讓學生在實際操作中，促成他們對數學的思考

在引導學生進行高中數學學習時，我們必須讓學生意識到數學并非是簡單的理性思辨. 因此，在課堂教學的過程中，我們提倡學生勤于動手，讓學生在實際操作中，發現數學問題，并深刻分析和處理數學問題，這樣將不僅能強化學生的實踐能力，同時也將提升學生的思維品質，促成數學思維的發展.

例如，在向學生介紹“橢圓”時，教師預先讓學生準備一根繩子，在教學過程中，教師讓學生將繩子兩端固定，將筆尖套在繩子上描出對應的軌跡，由此讓學生觀察自己所畫的圖形，自我探索圖形的特點，由此總結規律和結論.在橢圓這一課的前段，學生積極地動手實踐能夠有效地吸引其注意力，同時激活他們的思維：所畫軌跡有何特點？它所對應的解析方程如何書寫？這樣將有利于學生掌握本課所授內容，同時他們的思維機制也將被充分激活.

教師在引導學生進行操作時，應注意以下問題：①給學生操作機會的同時，更要為學生提供廣闊的思維空間，讓學生在手腦結合的過程中積極進行思考；②在學生進行操作時，教師要充分給予學生耐心與鼓勵，即使學生的操作發生錯誤，也不能打擊學生的熱情；③動手操作應該適度，即當學生的感性認知達到一定程度時要積極將學生的認識向抽象思維轉化，鍛煉學生抽象思維的能力.

2. 鼓勵學生在獨立思考的基礎上進行合作學習

新課程強調學生以合作學習的方式來相互啟發，進而實現問題的解決.但是，我們卻不能因此而弱化了思維獨立意識的培養，合作學習的進行不能助長學生的依賴心理，所以，在高中數學課堂引導學生進行合作學習必須是學生有效地進行獨立思考的基礎上的合作學習，由此不僅將深度訓練學生的思維，而且獨立思維也將促成學生合作學習的高效進行.

數學課上，教師可以通過設置一些具有探索意義的問題，引導學生進行獨立思考與合作學習. 例如，提出問題，計算下列幾個算式：“1+3=？，1+3+5=？，1+3+5+7=？”結合算式，你能從中得到什么規律嗎？在教學過程中，教師要鼓勵學生獨立思考，先仔細運算，再發揮直覺思維勇于猜想.學生通過運算發現結果依次為4，9，16，并且積極探索相關規律. 當發現學生的思考陷入僵局時，教師再提議學生以合作學習的方式來相互啟發，通過討論，他們很快就會認識到算式結果還能通過以下形式進行表述：1+3=22，1+3+5=32，1+3+5+7=42. 教師趁熱打鐵，進一步引導學生推導出：1+3+5+…+17=92，1+3+5+…+19=102. 在此基礎上學生形成猜想：1+3+5+…+（2n-1）=n2. 教師再啟發學生通過歸納證明形成結論.

3. 將開放性問題引入教學，發展數學思維的創造性

傳統的數學課堂上，教師過多地為學生呈現封閉性的問題，雖然也能訓練學生的思維，但是卻限制了學生想象的空間，束縛了他們思維創造性的發展.新課程理念指引下的高中數學課堂應該將開放性問題引入教學，引導學生掙脫束縛，拓展想象的空間. 相比于封閉性問題，發散性問題有以下幾點優勢：①開放性問題答案不唯一，有助于學生打破定式思維，有效發揮想象，多角度思考問題，實現問題的解決；②開放性問題的條件或存在多余，或有所欠缺，要求學生積極地對信息進行篩選和處理，這將幫助學生在問題分析中訓練信息處理能力；③開放性問題的解決往往是學生通過直覺思維來打開思路，再通過邏輯思維來形成結論，因此開發性問題引入課堂，可以多維度地發展學生的思維.

例如，在學生對“圓錐曲線”進行復習時，教師提出問題：現有一條二次曲線經過了點A（3，0）和點B（0，5），請寫出該二次曲線的函數方程（至少寫出六個）.本題并沒有限定二次曲線的類型，也正是因為條件的缺失，導致了答案的不唯一. 學生在處理這一問題時，就要用敏銳的目光進行分類討論：如果是圓，結果如何；如果是拋物線，結果如何；如果是橢圓，結果如何；如果是雙曲線，結果如何.當學生有條理地實現問題解決之后，他們對圓錐曲線也將形成更加系統化的認識，當然這一過程也將促成學生思維的飛躍.

4. 鼓勵學生進行“一題多解”，推進學生思維的深刻性

數學問題有著這樣的特點，從不同的角度切入問題的思考，可能會形成不同的解決方法. 實際教學中教師要鼓勵學生不要滿足于單一的問題解決思路，而應該多方位地進行問題剖析，進而探尋問題的多元化解決，推進思維的深刻性.

例如，有如下習題：已知橢圓方程為+=1，現在構建橢圓的弦，使得弦被點M（2，1）平分，求解這條弦所處直線的方程.

解法一：設所求直線方程為y-1=k（x-2），代入橢圓方程并進行整理，可得（4k2+1）x2-8（2k2-k）x+4（2k-1）2-16=0，

當Δ=64（2k2-k）2-4（4k2+1）[4（2k-1）2-16]>0時，再設定橢圓與直線的交點為A（x1，y1），B（x2，y2），則x1和x2作為方程的根，因此有x1+x2=.

并且點M還是AB的中點，所以==2，故解得k=-，滿足Δ>0.

則直線方程為x+2y-4=0.

解法二：假設橢圓與直線的一個交點為A（x，y）.

由于中點已經確定，即M（2，1），則另一交點可以表示為B（4-x，2-y）.

因為兩個交點都在橢圓上，所以都滿足橢圓方程，有x2+4y2=16，（4-x）2+4（2-y）2=16.

兩方程相減，可以得出x+2y-4=0.

上述問題的解法并不限于以上兩種，教師在實際教學中要鼓勵學生積極拓展思路，多方位探求解法，從而訓練學生數學思維的靈活性.