高中數學中化歸思想的教學思考

蔣曉勇

[摘 要] 本文從化歸思想的概念以及形式研究出發，結合教學實踐，對其教學策略進行了深入的探討.

[關鍵詞] 高中數學；化歸思想；教學思考

化歸思想是高中數學中最重要的思維方法之一，怎樣在教學中培養學生的相關思想？下面是筆者的一些思考.

[?] 化歸思想的內涵及其基本形式

1. 化歸思想的概念

什么是“化歸”？化歸事實上是轉化和歸結兩個動作的簡稱，是數學問題研究者運用聯系和動態的視角，將繁難而陌生的問題A，通過某種數學過程轉化為簡單而熟悉的問題B，從而使得原問題得到更加快捷而正確處理的手段和方法. 其具體實施流程如圖1所示.

化歸思想實際上是人類探索自然、解決問題的一般化認知規律和思維方法的體現，它涵蓋著一個由未知到已知、由陌生到熟悉、由抽象到具體的過程，即讓人們以自己更加熟悉、更加直接的方式來處理繁難、陌生的問題. 因此我們不能將其單獨地視作一種解題方法，而應該將其作為一種重要的思維方法. 在高中數學的學習過程和問題處理過程中，化歸思想的使用是非常頻繁的.

2. 化歸思想的基本形式

正如前面所述，化歸思想廣泛地運用于高中數學的學習之中，總結起來，大致可以分成以下幾類情形.

（1）數與數之間的化歸

所謂“數與數之間的化歸”，就是通過某種規律，將未知數轉化為已知數. 當然，這其中還包括對復雜的解析式進行化簡，以及通過變形對方程求解；對不等式進行變形求出相應的解集，以及函數式、方程式、不等式相互之間的轉化，等等.

（2）形與形之間的化歸

所謂“形與形之間的化歸”，就是通過對未知陌生的圖形進行分割、折疊等處理，將其轉化為已知的熟悉圖形，以及將空間圖形轉化為平面圖形，以方便采用平面幾何的方法來處理空間幾何的問題.

（3）數與形之間的化歸

所謂“數與形之間的化歸”，就是數學中常說的“數形結合”，它往往體現為將圖形轉化為函數，采用函數的方法來處理幾何問題；或是畫出函數的幾何圖像，結合圖像上的特點來認知函數規律，分析函數問題. 此外復數以及相關運算的幾何意義，解析幾何中的處理方法等都是化歸思想的集中體現.

[?] 化歸思想教學的基本策略

化歸思想是數學思想在高中數學中的重要體現，有著無窮的內在魅力. 那么我們如何在高中數學課堂為學生揭開它神秘的面紗呢？下面，筆者聯系高中數學的教學實踐，談談自己對此的幾點體會.

1. 展現知識形成過程中的化歸思想

新課程體系下數學教學強調讓學生經歷知識的形成過程，從而增強學生對過程的體驗，并由此領會其中的科學思想和方法. 因為知識的形成過程本身就對應著新舊知識之間的關聯性，學生經歷該過程，不僅有助于他們獲取相關知識，更將體驗知識結果的形成過程，比如概念的總結過程、問題的提出過程、規律的探索過程、結論的推理過程、方法的尋找過程等.

事實上，在這一系列過程中，一些深層次的數學思想就起著舉足輕重的作用. 教師在教學實踐中，能夠立足于課程標準的要求，積極發掘數學知識背后的方法論價值和思想價值，引導學生在掌握知識的同時，也能積極掌握相關現象，推動學生數學認知和思想的螺旋上升，這對高中數學教學的“返璞歸真”有著重要意義. 例如，在引導學生對兩角差的余弦公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ進行推導時，教師就要讓學生聯系已經熟知的兩角和的余弦公式cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，并由此展開聯想和轉化：將β以-β的形式代入兩角和的余弦公式，則可以直接得出兩角差的余弦公式. 通過上述操作，學生就能從數學思想的層面來領會知識的來龍去脈，這樣的操作不僅有助于學生掌握知識本身，更重要的是他們在化歸思想的認識上能更進一步.

2. 在知識運用階段體會化歸思想

在學習新知識的過程中，作為學生學習的引導者和組織者，教師的教學不能止步于數學知識的傳授，而應該在教學過程中積極而充分地尊重學生的認知規律，啟發學生結合已有的經驗基礎，主動而自覺地運用化歸思想來理解知識、分析問題，巧妙地將知識的學習過程轉變為數學思想的培養過程. 在上述過程中，教師積極分析教學內容，將數學知識中隱性的方法元素和思想因素提煉出來，再輔以恰當的教學方法讓學生得到熏陶和感染，由此他們的能力將得到提升，對化歸思想的認識也將進一步深化. 當然，教師更要精心地設計教學過程，抓住能力的生長點，促進學生實現知識和方法上的遷移.

數學知識的運用主要是學生結合對概念、定理、公式和方法的理解，在具體問題處理過程中，合理地采用相關知識和方法，由此實現問題的解決. 教師在這一過程中積極發揮自身的引導作用和啟發作用，為學生呈現更加生動而真實的情境，并引導學生積極地對其進行探索和思考，鼓勵學生結合化歸思想，將某些陌生的問題轉化為熟悉的問題，將復雜的問題轉化為簡單的問題，最終實現問題的有效解決. 在學生對化歸思想進行應用時，教師要鼓勵學生敢于實踐自己的設想，同時也要促進學生在合作與交流中，分享自己的認識，通過相互啟發、相互糾正來實現相關操作的完善，強化他們對化歸思想的認識. 當然，相應的過程也將幫助學生進一步領會數學知識和方法的內涵. 在實際教學中，有關于化歸思想在應用中的滲透還有一些具體的做法，比較典型的做法就是在變式訓練中滲透，但是在教學內容的設計上要留有彈性空間，要關注不同學生在學習需求上的差異.

（1）在知識體系的構建上滲透化歸思想

高中數學知識有著一個較為龐大的體系，學生在學習過程中要善于歸納和整理，唯有如此才能形成數學知識體系化的建構. 在這一過程中，教師要引導學生積極對相關知識進行比較，尋找知識間的關聯性和相似性，以化歸的思想來尋找知識之間的轉化契合度，這一方面有助于學生領會知識之間的關聯，另一方面也有助于學生對相關知識靈活的運用. 例如，在引導學生對圓錐曲線和方程進行梳理時，教師可以引導學生結合橢圓知識的已有基礎，將雙曲線和拋物線的相關知識轉化到橢圓的研究方法上. 當然在上述過程中，教師的點撥要能適可而止，要敢于放手讓學生自主整理和歸納，這樣才可以強化他們對化歸思想的認識.

（2）在變式訓練中滲透化歸思想

數學教學中變式訓練能幫助學生發展舉一反三的能力，同時也能引導學生發現那些似是而非的問題之間的區別而關聯，從而有利于學生化歸思想的運用.

原題：已知某函數y=f（x）是在區間[-1，1]的減函數，且為奇函數. 若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，請確定a的取值范圍.

解析：由f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，可得f（a2-a-1）>-f（4a-5）=f（5-4a）. 由于y=f（x）在區間[-1，1]為減函數，因此可得a2-a-1<5-4a，所以a2+3a-6<0.

綜合三個不等式：-1≤a2-a-1≤1，-1≤4a-5≤1，a2+3a-6<0，可得結論：1≤a<.

變式題：已知有函數f（x）=，x∈[-1，1]，若f（a2-a-1）+f（4a-5）>0，請確定a的取值范圍.

解析：本題如果采用代入法來處理，則是一個非常復雜的過程. 如果對比一下原題的解析過程，我們可以預先判斷一下函數的奇偶性和單調性，由此尋找它與原題之間的關聯，這樣即可快捷地運用化歸思想來對變式題進行轉化.

3. 在鞏固知識的過程中挖掘化歸思想

新知識的學習離不開有效的鞏固，在知識的形成過程中，教師引導學生對其中的化歸思想進行了認識，但是這種認識是不夠全面、不夠完善的，因此在鞏固階段需要有意識地強化和體驗，讓學生將化歸思想內化為自發自覺的意識和習慣.

知識的鞏固過程離不開恰當的作業設計，教師在進行作業設計時要注意對學生思維的激發，要關注學生思路的激活，要能有效地引導學生進行智力活動，從而在不同角度探求問題的解決方法. 其中，有關化歸思想的運用就是比較重要的方面，教師在相關問題的設計中要注意在情境設計和字句斟酌中隱晦地對學生進行啟發，暗示學生對問題進行轉化，由此促成學生對化歸思想的運用.

教學實踐告訴我們，任何一種方法的教學、任何一種思想的培養都有一個循序漸進的過程，而這些都需要教師循循善誘地引導. 當然，我們也有理由相信，只要教師精心設計、有效滲透，學生的化歸思想一定會有明顯進步.