從集合到思維的局部性

楊豐毓

摘要：高中數學中，從第一章開始學習的就是集合，從而奠定了數學學習的基礎。在集合的學習中，思維的局部性就開始展現出來。數學的學習從來就不應該是單純的方法和思維上的模仿，更多的應該是本質上的學習，只有從本質出發去看待問題，那才是真正應該得到的數學思維。

關鍵詞：高中數學；集合；局部思維

以數學的思維去看待和思考這個世界，是學習數學得到的最大收獲。它可以使我們看到的世界更加的清晰和明朗，使各種事情都能夠條理清楚，各種邏輯都不混亂。這無疑對個人或者社會都是一種具有重大意義的課程。但是，我們從這樣的課程當中得到的也不盡然都是價值斐然之物，在這里，我要向大家敘述的就是，從我們一接觸到的高中數學中的集合，到我們的思維的局部性。

我們知道，集合當中分為母集，子集。子集是母集的下屬單位，它可以是母集本身，但更多的是母集的一部分。對于非空集合來說，它擁有的子集遠遠不止一個。一個具有n個元素的集合當中，它所具有的子集個數是2的n次方個。于是，這2的n次方個集合都成了我們一開始所知道的母集的下屬單位。我要講的局部思維，從這個時候便開始體現出來了。

子集本來是從屬于母集的，但是嚴格意義上來講，母集本身又包含在子集當中。從數學上的角度出發，我們說子集從屬于母集并不出錯，但是從宏觀意義上來講，母集本來就是子集的一部分，于是母集又可以說是從屬于子集的。于是這個奇怪的現象就出現了，到底它們的關系中誰比誰大，放佛并沒有一個明確的界限。但是數學中，一切都是清晰明朗的，本不該出現這種看上去堂而皇之而又荒繆的邏輯，它卻又原原本本的存在著。這就說明，我們的從數學培養而來的思維，是具有一定的局限性的。

看到我以上的觀點，也許會有人反駁了。子集從屬于母集并不錯，因為子集下面還有真子集，從數學上來說，真子集才是他們真正的下屬單位。可是這并沒有解決子集與母集誰是老大這一問題。雖然子集是由母集誕生而來，沒有母集就沒有子集，但是沒有子集母集存在的價值也就大打折扣了。這一個問題我們暫且放在一旁，讓我們來看看在這里面所暴露出來的另外一個問題。

子集又有一個從屬單位，它叫做真子集。它的定義是這樣的：在一個集合的所有子集中，除開這個集合本身的所有子集，就是這個集合的真子集。在所有的真子集里面，有一個公共的子集，那就是空集。

什么是空集呢？空集就是，這個集合當中什么都沒有，我們把它定義為空集。這不免讓人有些難受，既然什么都沒有，那又怎么可以成為一個集合。這空集里面所包含的事物竟然顯得有些虛無縹緲，謬不可言。一個非空集合當中，當然應該包含有元素，那么它的子集或者說是真子集，當然也應該包含有相應的元素才對。可是這一個空集，明明里面什么都沒有，怎么就可以成為這些所有的非空集合的真子集呢？但是前面有學者定義過，我們這里不做推翻，當然我們暫且也推翻不了這一個數學界已經延續了許久的一個常識，但是這確確實實是一個疑問，空集所存在的價值是什么呢？

我所講的數學思維的局限性，不簡單是指從這樣一個集合當中所包含的內容。但是集合是屬于高中的入門知識，在一代一代學者的耕耘之下，尚且會存在這么多的疑問，那么更深層次的知識呢？我們所接受到的高中教學方法，往往是前人所總結得到的所謂“金點子”，我當然承認，在我們還現存的應試教育里面，這樣的點子確實可以讓人事半功倍。學生就好像是集合里面的空集，他們本來是什么都沒有，老師就好像母集一樣，將他們所包含的元素傳遞下去。但是這樣單純的被動接受的過程，并不能讓學生能夠更好地解決問題。只能夠讓他們形成單一而已重復的解題過程而已。可是空集本來就是什么都不包含的，所以它才被定義為所有集合的子集。故此它也很難被從外界給到元素去改變它空集本身的的含義。它一開始是空集，從一而終都是空集。

思維模式的固定是最可怕的，所以大多數的理科生看上去都顯得有些呆呆的，缺少了一些靈動的氣息。他們已經從一開始的空集，變成了非空集合的子集，可是由于子集與母集的謬論，就顯得有些不知所措。我們從高中數學當中得到的，便是怎么去從一個經典的題目中得到可以應用得模板，從而滿足解題的需求。但是如果我們遇見的是以前從未遇見過的經典類型，也許就會彷徨不止。因為未曾從一個既有的案列中去分析和揣摩需要構造的內容，一個難題就變得無解了。

當然，思維模式的局限，更重要的是表現在我們不敢去突破已有的觀念。就比如子集就是子集，是從母集誕生而來，卻不知去哪里的一個集合。可是從另外一個角度去思考，母集也可以是由子集衍生而去的，子集加上無論其他什么樣的元素都可以成為這個子集的母集，這可能與大多數的常識不同，卻也解釋得通的一種想法。不管是從事教育工作還是在學習，在討論數學的時候，都應該去看清楚它的本質，而不是單一的從方法上去教學和學習。

這個世界上最難認清的就是事物的本質，如果能夠改變思維和方法上的模仿，數學思維所帶來的局部性，就可以有所改善，從而真正的得到數學應該具有的本質品質。