從集合到思維的局部性

楊豐毓

摘要：高中數(shù)學(xué)中，從第一章開始學(xué)習(xí)的就是集合，從而奠定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。在集合的學(xué)習(xí)中，思維的局部性就開始展現(xiàn)出來。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)從來就不應(yīng)該是單純的方法和思維上的模仿，更多的應(yīng)該是本質(zhì)上的學(xué)習(xí)，只有從本質(zhì)出發(fā)去看待問題，那才是真正應(yīng)該得到的數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；集合；局部思維

以數(shù)學(xué)的思維去看待和思考這個(gè)世界，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)得到的最大收獲。它可以使我們看到的世界更加的清晰和明朗，使各種事情都能夠條理清楚，各種邏輯都不混亂。這無疑對(duì)個(gè)人或者社會(huì)都是一種具有重大意義的課程。但是，我們從這樣的課程當(dāng)中得到的也不盡然都是價(jià)值斐然之物，在這里，我要向大家敘述的就是，從我們一接觸到的高中數(shù)學(xué)中的集合，到我們的思維的局部性。

我們知道，集合當(dāng)中分為母集，子集。子集是母集的下屬單位，它可以是母集本身，但更多的是母集的一部分。對(duì)于非空集合來說，它擁有的子集遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止一個(gè)。一個(gè)具有n個(gè)元素的集合當(dāng)中，它所具有的子集個(gè)數(shù)是2的n次方個(gè)。于是，這2的n次方個(gè)集合都成了我們一開始所知道的母集的下屬單位。我要講的局部思維，從這個(gè)時(shí)候便開始體現(xiàn)出來了。

子集本來是從屬于母集的，但是嚴(yán)格意義上來講，母集本身又包含在子集當(dāng)中。從數(shù)學(xué)上的角度出發(fā)，我們說子集從屬于母集并不出錯(cuò)，但是從宏觀意義上來講，母集本來就是子集的一部分，于是母集又可以說是從屬于子集的。于是這個(gè)奇怪的現(xiàn)象就出現(xiàn)了，到底它們的關(guān)系中誰比誰大，放佛并沒有一個(gè)明確的界限。但是數(shù)學(xué)中，一切都是清晰明朗的，本不該出現(xiàn)這種看上去堂而皇之而又荒繆的邏輯，它卻又原原本本的存在著。這就說明，我們的從數(shù)學(xué)培養(yǎng)而來的思維，是具有一定的局限性的。

看到我以上的觀點(diǎn)，也許會(huì)有人反駁了。子集從屬于母集并不錯(cuò)，因?yàn)樽蛹旅孢€有真子集，從數(shù)學(xué)上來說，真子集才是他們真正的下屬單位。可是這并沒有解決子集與母集誰是老大這一問題。雖然子集是由母集誕生而來，沒有母集就沒有子集，但是沒有子集母集存在的價(jià)值也就大打折扣了。這一個(gè)問題我們暫且放在一旁，讓我們來看看在這里面所暴露出來的另外一個(gè)問題。

子集又有一個(gè)從屬單位，它叫做真子集。它的定義是這樣的：在一個(gè)集合的所有子集中，除開這個(gè)集合本身的所有子集，就是這個(gè)集合的真子集。在所有的真子集里面，有一個(gè)公共的子集，那就是空集。

什么是空集呢？空集就是，這個(gè)集合當(dāng)中什么都沒有，我們把它定義為空集。這不免讓人有些難受，既然什么都沒有，那又怎么可以成為一個(gè)集合。這空集里面所包含的事物竟然顯得有些虛無縹緲，謬不可言。一個(gè)非空集合當(dāng)中，當(dāng)然應(yīng)該包含有元素，那么它的子集或者說是真子集，當(dāng)然也應(yīng)該包含有相應(yīng)的元素才對(duì)。可是這一個(gè)空集，明明里面什么都沒有，怎么就可以成為這些所有的非空集合的真子集呢？但是前面有學(xué)者定義過，我們這里不做推翻，當(dāng)然我們暫且也推翻不了這一個(gè)數(shù)學(xué)界已經(jīng)延續(xù)了許久的一個(gè)常識(shí)，但是這確確實(shí)實(shí)是一個(gè)疑問，空集所存在的價(jià)值是什么呢？

我所講的數(shù)學(xué)思維的局限性，不簡(jiǎn)單是指從這樣一個(gè)集合當(dāng)中所包含的內(nèi)容。但是集合是屬于高中的入門知識(shí)，在一代一代學(xué)者的耕耘之下，尚且會(huì)存在這么多的疑問，那么更深層次的知識(shí)呢？我們所接受到的高中教學(xué)方法，往往是前人所總結(jié)得到的所謂“金點(diǎn)子”，我當(dāng)然承認(rèn)，在我們還現(xiàn)存的應(yīng)試教育里面，這樣的點(diǎn)子確實(shí)可以讓人事半功倍。學(xué)生就好像是集合里面的空集，他們本來是什么都沒有，老師就好像母集一樣，將他們所包含的元素傳遞下去。但是這樣單純的被動(dòng)接受的過程，并不能讓學(xué)生能夠更好地解決問題。只能夠讓他們形成單一而已重復(fù)的解題過程而已。可是空集本來就是什么都不包含的，所以它才被定義為所有集合的子集。故此它也很難被從外界給到元素去改變它空集本身的的含義。它一開始是空集，從一而終都是空集。

思維模式的固定是最可怕的，所以大多數(shù)的理科生看上去都顯得有些呆呆的，缺少了一些靈動(dòng)的氣息。他們已經(jīng)從一開始的空集，變成了非空集合的子集，可是由于子集與母集的謬論，就顯得有些不知所措。我們從高中數(shù)學(xué)當(dāng)中得到的，便是怎么去從一個(gè)經(jīng)典的題目中得到可以應(yīng)用得模板，從而滿足解題的需求。但是如果我們遇見的是以前從未遇見過的經(jīng)典類型，也許就會(huì)彷徨不止。因?yàn)槲丛鴱囊粋€(gè)既有的案列中去分析和揣摩需要構(gòu)造的內(nèi)容，一個(gè)難題就變得無解了。

當(dāng)然，思維模式的局限，更重要的是表現(xiàn)在我們不敢去突破已有的觀念。就比如子集就是子集，是從母集誕生而來，卻不知去哪里的一個(gè)集合。可是從另外一個(gè)角度去思考，母集也可以是由子集衍生而去的，子集加上無論其他什么樣的元素都可以成為這個(gè)子集的母集，這可能與大多數(shù)的常識(shí)不同，卻也解釋得通的一種想法。不管是從事教育工作還是在學(xué)習(xí)，在討論數(shù)學(xué)的時(shí)候，都應(yīng)該去看清楚它的本質(zhì)，而不是單一的從方法上去教學(xué)和學(xué)習(xí)。

這個(gè)世界上最難認(rèn)清的就是事物的本質(zhì)，如果能夠改變思維和方法上的模仿，數(shù)學(xué)思維所帶來的局部性，就可以有所改善，從而真正的得到數(shù)學(xué)應(yīng)該具有的本質(zhì)品質(zhì)。