文科生如何破解幾何概型問題

許建仙

摘 要：分析了幾何概型題目的特點，通過舉例來說明文科的學生如何領會解決幾何概型的概率題目。通過一題多變，使學生清楚地知道此類問題的條件及解題的方法。

關鍵詞：幾何概型；等可能；高中數學

新課程改革之后，作為新增的知識——幾何概型，已經越來越受到業內人士的關注。無論是高考還是平時的模擬考試，它總會不時地出現在我們眼前。但文科學生對幾何概型的問題又比較怕，特別是作為解答題來考時，更是不知所措。為此，筆者結合自己的一些經驗，談談文科學生應從哪些方面去破解幾何概型問題，不足之處還請同行指正。

一、弄清幾何概型的特點，會判斷問題是否是幾何概型問題

幾何概型的主要特點有二：無限性與等可能性，即無限性：在每次隨機試驗中，每個試驗結果有無窮多個，即基本事件有無限多個。等可能性：在這個隨機試驗中，每個試驗結果出現的可能性相等，即基本事件發生是等可能的。

判斷一個隨機試驗是否為幾何概型，兩個條件缺一不可。

二、理解幾何概型概率計算公式，會根據公式尋找解題方法

幾何概型的概率計算公式為：

P（A）=■

根據上面的公式可以知道，要計算一個幾何概型的概率，必須弄清以下幾點：

1.基本事件是什么，所有的這些基本事件構成的區域Ω是

什么？

2.使事件A發生的基本事件應滿足什么條件，滿足條件的這些基本事件構成的區域Ω′是什么？

3.兩個區域Ω、Ω′的度量各指的是什么？各為多少？

三、規范語言敘述，正確寫出解答過程

一個規范的解答比什么都重要。那么，幾何概型問題的解答過程應如何書寫呢？筆者認為應從以下幾點來敘述：

1.判斷概型。

2.指出所有的這些基本事件構成的區域Ω并求出其度量。

3.指出事件A中的所有基本事件構成的區域Ω′并求出其

度量。

4.代入公式計算。

5.下結論。

下面，我們通過一個具體的問題來領會幾何概型問題該如何解決：

例題：如圖1，AB為⊙O的直徑，∠A=30°，M為AB上隨機點，求“MB

■

圖1

分析：（1）由于點M為AB上隨機點，所以M所有的取法有無數種，且每一種取法都是等可能的，故此問題為幾何概型問題。

（2）點M的所有取法構成的區域為線段AB，其度量指的是線段AB的長度。

（3）使“MB

解答：顯然，此問題為幾何概型問題。

因為點M的所有取法構成的區域為線段AB，其度量指的是線段AB的長度。由平面幾何知識可知，使“MB

■

圖2

變式1：如圖2，AB、CD為⊙O的直徑，∠A=30°，N為半圓ADB上隨機點，弦CN交AB于M點，求“MB

分析：（1）由于點N為半圓ADB上隨機點，所以N所有的取法有無數種，且每一種取法都是等可能的，故此問題為幾何概型問題。

（2）點N的所有取法構成的區域為半圓ADB，其度量指的是半圓ADB的長度，值為πR。

（3）使“MB

解答：顯然，此問題為幾何概型問題。

因為點N的所有取法構成的區域為半圓ADB，其度量指的是半圓ADB的長度，值為πR。由平面幾何知識可知，使“MB

變式2：如圖2，AB、CD為⊙O的直徑，∠A=30°，CN為∠ACB內隨機射線，交AB于M點，求“MB

分析：（1）由于CN為∠ACB內隨機射線，所以CN所有的取法有無數種，且每一種取法都是等可能的，故此問題為幾何概型問題。

（2）射線CN的所有取法構成的區域為∠ACB，其度量指的是∠ACB的角度，值為90°。

（3）使“MB

解答：顯然，此問題為幾何概型問題。

因為射線CN的所有取法構成的區域為∠ACB，其度量指的是∠ACB的角度，值為90°。由平面幾何知識可知，使“MB

所以P（MB