探究問題本真，突破教學壁壘

章建斌

[摘 要] 高考試題一般都具有較高的研究價值和教學運用價值，如果我們能通過研究分析，挖掘出其背后的通性通法，結合教學需求合理地優化設計，再通過有計劃地引導和啟發，可以讓學生舉一反三，激發學生的學習興趣，有助于學生“整合思維—發現問題—突破常規—實現創新”. 本文以一道高考題為例，介紹筆者的研究心得和教學設計之旅.

[關鍵詞] 數列與不等式；教學設計；疊加法；疊積法

高考壓軸題具有結構嚴謹、形式多變、情境新穎、構思巧妙、方法靈活等特點，是高三復習的寶貴資源；然而壓軸題讓眾多學生望而生畏，摸不著頭腦. 如果在復習中直接使用這樣的例題教學，無疑會打擊學生的自信心，起到“反作用”的效果. 那么，如何在課堂教學中充分利用這些難度大的高考題？這就需要教師對同類問題進行深入地研究，在教學過程中搭建好“支架”，通過由淺入深地合作探究來揭示問題的真相，挖掘出復雜背景下解決問題的通性通法，逐步提升學生的數學思維和數學能力. 下面筆者以2015年浙江省高考理科數學壓軸題為例，談談教學設計上的一些想法.

問題提出

1. 原題呈現

題目（2015年高考真題）：已知數列{an}滿足a1=且an+1=an-a（n∈N*）.

（1）證明：1≤≤2（n∈N*）；

（2）設數列a的前項和為Sn，證明：≤≤（n∈N*）.

2. 高考“標準答案”展示

（1）由題意得an+1-an=-a≤0，即an+1≤an，an≤. 由an=（1-an-1）an-1得an=（1-an-1）·（1-an-2）…（1-a1）a1>0. 由0

（2）因為a=an-an+1，

所以Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-an+1）=a1-an+1①.

由-=和1≤≤2得1≤-≤2，所以n≤-≤2n.

因此≤an+1≤（n∈N*）②.

由①②得≤≤.

解法再思考，釋疑解惑

1. 解讀試題考查的知識與方法

本題主要考查數列的遞推公式與單調性、不等式的性質等知識，同時考查考生的推理論證能力及分析問題和解決問題的能力. 求解的方法主要有：利用前n項和與通項公式之間的關系求解、定義法、構造新數列法等；數列的求和方法主要有：公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法等，解題時要針對不同的數列特征選擇不同的求和方法.

2. 解題過程中的難點突破

根據本題中的遞推關系，數列{an}認為是在給定首項a1=后，由遞推公式an+1=f（a）反復迭代生成的，此時把數列{an}叫作迭代數列. 顯然迭代數列是由an+1=f（an）與首項a1共同決定的. 以迭代為背景的題目，浙江考生遇到的不多，顯得有些神秘.

要證明第（2）問，實際上是證明2（n+1）≤≤2（n+2），它的左右兩邊是等差數列的通項，因此問題的突破口是證明是類等差數列. 但-又不好計算，所以此思路不是本題的切入點. 第（2）問的切入點在于對所證式子的等價轉化，將復雜的、難運算的式子轉化為簡單的、好運算的式子，到此第（2）問的思路就很明顯了：Sn=a+a+…+a=（a1-a2）+…+（an-an+1）=a1-an+1，由于數列{an}的通項公式本身不可求，因此通過遞推式an+1=an-a轉化為a=an-an+1，進而利用疊加法得到Sn=a1-an+1，故而只需解決通項an即可. 由an+1=an-a得-=，因為0

設計再思考，優化重組

不可否認，此題作為高考壓軸題有相當大的難度，很多學生陷入了無從下手的窘境. 但在錯綜復雜的題目中，肯定直接或間接地告訴了我們一些信息，而這些信息是常規的，是我們所熟知的.數列中最常規的無非是等差數列和等比數列及相關的一些基本方法，這些想法也可以從高考試題的標準答案和解題過程的難點突破中得到驗證. 為此，筆者進行了一定程度的研究，發現一類數列與不等式綜合問題解題的關鍵是認識遞推式的結構特征，將遞推式轉化變形，再利用疊加法或疊積法進行解題. 為了有效地提高學生解決數列與不等式復雜問題的能力，有效地提升我們平常的教學效果，筆者進行了如下的教學設計，意在提煉通性通法，整合思維，讓高考試題在教學中演繹高效精彩！

1. 基礎回顧，做好鋪墊

（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=an-a1①，××…×=②.

設計思考：①式疊加法和②式疊積法是等差數列與等比數列推導通項公式的常用方法，是學生熟知的. 通過回顧常用的恒等式，一方面告訴學生這個常用恒等式在這堂課中是有用的；另一方面通過搭“腳手架”的方式，充分利用學生現有的知識去解決更高水平的問題，有起點低、坡度緩的特點，符合學生“最近發展區”的認知原則.

2. 合作探究，提升認識

問題1：已知數列{an}滿足an+1=a，0

解答：由an+1=a得an=a=a=…=a，又0

設計思考：本題強調遞推式bn=（an-an+1）an+2中an-an+1的結構特征. 在求和時聯想到①式疊加法的運用，即（a1-a2）+（a2-a3）+…+（an-1-an）=a1-an

問題2：已知數列{an}滿足：an≥0，a1=0，a+an+1-1=a（n≥1），記Sn=a1+a2+…+an. 求證：（1）an+1>an；（2）Sn>n-2.

證明：（1）略；

（2）由a+an+1-1=a得an+1=a-a+1，所以Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…+（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a.

由（1）知數列{an}為遞增數列，又a+an+1-1=a，即a-a=1-an+1>0，所以an<1（n≥2），Sn=n-1-a>n-2.

設計思考：本題遞推式a+an+1-1=a等價變形，得到an+1=a-a+1，看到了a-a的結構特征，在求和時聯想到①式疊加法的變形運用，即Sn=a1+a2+…+an=（a-a）+（a-a）+…（a-a）+n-1=a-a+n-1=n-1-a. 雖然問題（1）和問題（2）都是疊加法的運用，本質是一樣的，但遞推式的結構還是有區別的，或者說問題（2）是問題（1）的拓展.

問題3：已知數列{an}滿足：a1=2，an+1=a-an+1（n≥1）. 求證：（1）an+1>an；（2）當n≥2時，an+1=anan-1…a2a1+1成立；（3）1-<++…+<1.

證明：（1）略；（2）略；

（3）由an+1=a-an+1得==-，=-，

所以++…+=-+-+…+-=-=1-.

因為an+1>an≥a1=2，所以1-<1.

因為an+1=anan-1…a2a1+1≥2n+1，所以1->1-.

所以1-<++…+<1.

設計思考：本題的遞推式an+1=a-an+1可變形為=-，根據這種結構特征，在求和時可用疊加法達到求和的目的，即++…+=-+-+…+-=1-.

由問題1、問題2、問題3可知，遞推式的結構決定著求和的方法. 當遞推式出現下列結構式：“an-an-1=”“a-a=”“-=”，可以用疊加法求數列的前n項和，甚至遞推式的結構可以推廣至“-=”的形式.

問題4：已知數列{an}滿足：an=·（a+1），a1=1（n∈N*），求證：an≤2n-1.

證明：因為an=（a+1）>0，所以an=（a+1）≥×2=an+1，≤2，所以=…≤2n-1，所以an≤2n-1.

設計思考：本題根據結論an≤2n-1，其中數列{2n-1}是一個等比數列，故而猜想≤2，通過不等式放縮，恰好能得到我們所要的；但要說明an≤2n-1，可以通過疊積的方式=…≤2n-1來說明，這也是遞推式的結構所決定的.

同樣，當遞推式出現結構式“=”，可以用疊積法求數列的前n項和. 當然，這種遞推結構也是有變化的，如“=”“=”“=”等. 希望學生在學習時與疊加法的遞推結構進行類比，能做到舉一反三.

教學設計反思

高三二輪復習被稱為“方法”篇，其中數列與不等式的綜合應用教學就是高三二輪復習的一個專題，其目的就是培養學生良好的數學思維和數學能力. 如果教師不善于利用典型例題并進行優化設計，就不能把數學原理講清楚、講透徹，也就達不到提高教學效率的目的. 筆者以本文為例，談談在設計上的一些反思：

1. 例題設計的啟發性原則

啟發是游離于教師講解和學生思維之外的活動形式，是教師通過合理的教學設計和有計劃的引導讓學生有所感悟. 本文是以2015年浙江省高考數學壓軸題為知識背景，對解法再思考下進行的教學設計. 當遞推式結構特征為“an-an-1=”“a-a=”“-=”“-=”“=”“=”等時，引導學生用高中數學教材中疊加法、疊積法的基本方法去思考問題，顯然能達到啟發的效果.

2. 例題設計的示范性原則

教師在備課時設計的例題要選取典型的題目，目的是在解題時能將過程清晰地反映出來，進而讓學生通過例題學會遵循最基本的分析方法. 筆者的教學設計在于充分挖掘高考題背后的通法與通解，而沒有過多地展示其解法的技巧；通過對遞推式的研究及教學設計，用疊加法和疊積法來解決一類數列與不等式的綜合應用問題，真可謂萬變不離其宗.

3. 例題設計的層次性原則

本文以數列疊加法和疊積法的最基本形式為依托，通過遞推式結構的變化，由淺入深，體現了例題設計的層次性. 這種層次不僅是邏輯之間的層次，更主要的是思維過程的生成性，可以看出筆者充分關注了學生的思維活動過程. 我們常說：“數學是思維的體操，思維是數學的靈魂，沒有了思維，數學就失去了生命與活力. ”所以，以思維為基礎，能力提升才能得到有效落實.