向量在高中數(shù)學中的應用探索

陳慶武

【摘 要】在高中數(shù)學中，向量具有數(shù)形結(jié)合的特點，高中數(shù)學許多的知識點都可以利用向量進行更簡單的計算，本文闡明向量在高中數(shù)學中的實際意義，通過例題講解利用向量解決數(shù)學問題的具體方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學 向量 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）02B-0069-02

在新課改后，向量引入了高中數(shù)學中，因向量的實用特性使得它在高中數(shù)學的教學中具有重要的地位。向量可以為學生認識幾何帶來不一樣的方式，同時也帶來更簡單的解題方法。因此在實際教學的過程中，應該加強對向量教學的研究，為學生帶來更加清晰的思路和更好的學習方法。向量引入高中教育以后，對高中數(shù)學中的平面幾何、不等式、解方程、三角函數(shù)等各個知識都具有一定的滲透性。在這些知識的解答過程中，如果能夠熟練地運用向量，那么就能夠簡單地解決一些原本復雜的題目。再者，向量數(shù)形結(jié)合的特點使得向量能夠?qū)⑵渌闹R從數(shù)轉(zhuǎn)化成形來理解，或者將型轉(zhuǎn)化成數(shù)來理解，這種特點使得向量成為了數(shù)與形的轉(zhuǎn)化器。

一、向量的價值與地位

在傳統(tǒng)的數(shù)學教材中，是沒有向量的概念的，向量在 1996年被放入到高中教材中，引起了眾多學者的廣泛重視。向量的引入，使高中數(shù)學知識的關(guān)聯(lián)性與系統(tǒng)性更加緊密，也讓數(shù)學中的一些難題有了創(chuàng)新的解決方法，提升解題效率。向量在數(shù)學解題中的優(yōu)點主要有以下幾點。

（一）提升學生的運算能力。運算能力是學生學習數(shù)學的基礎(chǔ)，運算速度決定了解答數(shù)學題目的效率。在原本使用數(shù)學運算的過程中使用的都是基本運算方法，加入了向量之后，增加了新的數(shù)學運算方法，例如在傳統(tǒng)多項式的運算中，使用的運算模型是 A×A→A 型，數(shù)與多項式的運算模型為 A×B→B 型。在運算中使用了向量，運算的方式會發(fā)生變化，轉(zhuǎn)變?yōu)?A×A→B 模式的運算。同時，向量的數(shù)量積運算可以刻畫向量的長度，能夠解決學生在幾何題型中的度量困難，進一步加快學生的運算速度。學生使用新型的向量進行運算，可提升運算能力。

（二）有利于培養(yǎng)學生的數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)學是思維的殿堂，高中數(shù)學教師教給學生掌握基礎(chǔ)知識點的同時，更重要的是培養(yǎng)學生的思維能力與數(shù)形結(jié)合的思想。比如，可以用實數(shù)表示向量的大小，這是“數(shù)”的形式，同時，也可以利用線段表示向量，這就是“形”的形式。正因為向量既具備“數(shù)”又具備“形”，所以在幾何教學中，使用向量教學勝過使用代數(shù)教學。在幾何學習中，學生可利用向量的屬性來實踐數(shù)形結(jié)合的思想，用向量來表示幾何圖形的面積與體積。向量能更好地幫助學生理解高中數(shù)學中復雜的難題，提升數(shù)學思維。

（三）幫助學生理解數(shù)學模型。高中數(shù)學不僅培養(yǎng)學生的運算能力與數(shù)形結(jié)合思想，而且培養(yǎng)學生的空間思維能力及對數(shù)學模型的理解能力。我們知道，物理中的矢量展現(xiàn)了向量的原型，所以向量也能夠作為數(shù)學模型幫助學生在解決空間思維問題時找到正確的解題方向，使學生更直觀地理解物體的位移、受力情況。例如，我們下面這一道關(guān)于向量的題，求 。

這是向量中的一道基礎(chǔ)題，但它卻是學生學習建立和理解數(shù)學模型的一道基礎(chǔ)題，它用有向線段的形式來表現(xiàn)數(shù)的關(guān)系，也就是說在運算過程中，通過建立模型—— 用有向線段來表示數(shù)的關(guān)系，也就是說，讓學生運用向量運算來求解 。學生用向量來求解，方法就十分簡單，直接用向量的基本性質(zhì)就能解出來。

二、向量在高中數(shù)學中的運用

（一）在平面幾何中利用向量進行解答。在傳統(tǒng)的幾何問題處理中，往往需要學生想象思維，學生通過對空間進行思考，構(gòu)思出一條條虛擬的線，然后才能夠進行復雜的推導。利用向量解決幾何問題，能夠避開學生對幾何圖形的構(gòu)思，縮短推導的過程。向量具有大小和方向，能夠表示幾何圖形中的線段長度的大小和方向。通過向量的運用來解答幾何中的問題比傳統(tǒng)的解題方式更加簡單明了。

〖例1〗如圖所示，已知平行四邊形 ABCD 中，E、F 在對角線 BD 上，且 BE=FD。求證：四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖思路點撥一〗按照以往解答幾何問題的方法，這道題需要通過求證 AF 平行 EC，AE 平行 FC，或者求證 AE=FC，AF=EC，然后得出四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖解一〗

∵ ABCD 是平行四邊形

∴ AD // BC，AB // CD

∴ ∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC

又∵ BE=FD

∴ △ABE≌△CDF，△BCE≌△ADF

∴ AE=FC，AF=EC

∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形。

〖思路點撥二〗利用向量的方法證明，通過設(shè) =，= →表示 ，→=→四邊形 AECF 是平行四邊形，可見此法快捷很多。

〖解二〗

由已知可設(shè) ，。

∴ ，

又∵

∴

∴ AE 與 FC 平行且相等

∴ 四邊形 AECF 是平行四邊形。

在利用向量解答幾何問題時，只要掌握了幾何圖形中點和線之間的關(guān)系，就能夠輕松地解決問題。因此，在高中數(shù)學中進行向量教學，能夠使傳統(tǒng)的幾何圖形不再困難。通過向量及其演繹，對幾何圖形進行思考分析，能夠培養(yǎng)學生思維能力，更加靈活地解決問題。

但是幾何中并不是所有的題目都可以利用向量來進行解決，如果運用不當甚至會使得解決題目的過程更加困難。對于題目來說，是否適合利用向量來進行解答，需要學生根據(jù)具體的題目進行分析。通過運用合適的方法進行解題，才能夠在作答的時候得心應手。

（二）不等式證明中利用向量進行解答。不等式的證明在高中是一個難點，在證明不等式的過程中，經(jīng)常會利用到各種方法來將不等式進行變形，這樣才能夠證明不等式。不等式證明需要學生熟練掌握和靈活運用大量的變形方式，其中，利用向量進行不等式證明是不等式證明中經(jīng)常用到的方法之一。

〖例二〗證明均值不等式：（a>0，b>0）。

〖證明〗設(shè) =（a，b），，則 。

由 得

且僅僅當 和 同向（此時 a=b）等號成立。

當 a>0，b>0 時，可類似構(gòu)造 =（，），=（，），可證 。

在解這道題目中，把不等式轉(zhuǎn)化成向量，然后通過向量的計算方式輕松地計算出了答案。在不等式的證明中，一定要清晰地了解題目的特點，選擇合適的證明方式進行解答。向量在不等式證明中能夠輕松地解答出一部分問題，但是如果掌握不到位，沒有找到合適的切入點，那么反而會適得其反。

（三）三角函數(shù)中利用向量進行解答。三角函數(shù)同樣也是高中的一個難點，在三角函數(shù)的解答過程中，往往會出現(xiàn)圖象、位移等條件的題目，對這種類型的題目通過結(jié)合向量進行解答能夠更加快捷。

〖例三〗把函數(shù) y=sin2x 的圖象按向量 平移后，得到函數(shù) 的圖象，則 和 B 的值依次為（ ）

A.，-3 B.，3 C.，-3 D.，3

〖思路點撥一〗根據(jù)向量的坐標可以確定平移公式為，再代入到已知的解析式中可以得出答案。還可以通過向量的坐標得到圖象的兩個平移過程，然后確定平移后的函數(shù)解析式。

〖解一〗通過平移的向量可以得到平移公式，即，代入到 y=sin2x 中可以得到 ，即可以得到 ，由此得到 ，B=-3，所以選 C。

〖思路點撥二〗上面的解答方法依然是用傳統(tǒng)的方式進行解答，可將向量轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的平移過程，然后求出答案。

〖解〗由向量 =（，-3）可以知道函數(shù)圖象經(jīng)過了兩次位移，在 x 軸上平移了 個單位，在 y 軸上平移了 -3 個單位，然后得到 y=sin2（x+）-3，也就是 ，由此得到 ，B=-3，所以選 C。

三角函數(shù)是許多學生的學習難點，在三角函數(shù)中有許多問題都是關(guān)于圖象的平移。在解題的過程中，如果將平移與向量進行轉(zhuǎn)化，那么就能夠?qū)⒔忸}過程簡單化，提高解題的效率。

向量在高中數(shù)學中具有很大的實用性，在許多情況下利用向量進行解答會快捷得多。因此在高中數(shù)學的教學中，要注重向量理念的教學，為學習其他數(shù)學找到一條新的方向。

（責編 盧建龍）