用實際需要驅動學生數學思維

郁元順

[摘 要] 數學學習需要思維的驅動，初中數學教學需要學生的思維參與，數學思維需要實際需要的驅動. 結合初中數學中的基本概念，通過問題情境與問題變式，來驅動學生不斷發現新的數學概念的意義，是有效教學的重要途徑.

[關鍵詞] 數學學習；實際需要；數學思維

通常認為，數學是抽象的學科，數學學習更多的是符號及符號之間的運算. 這樣的認識是正常的，因為數學就是研究數與形的科學，數是抽象的，形也是實際事物抽象的結果，因此可以說抽象是數學固有的屬性. 但在實際教學中我們發現另外一種情形，那就是很多學生恰恰是因為數學的抽象才感覺到數學難學的. 這就造成了一個悖論：數學本身是抽象的，但學生卻因為抽象而不喜歡數學學習. 如何化解這個悖論呢？筆者以為關鍵在于需要理清數學與數學學習的關系. 數學與數學學習是不一樣的，數學是數學學習的內容，數學學習有著超越數學及數學研究本身的另外的需要. 對于初中數學教學而言，數學教學需要注重形象思維（這與初中學生的思維特征是一致的，形象思維依然占據主導地位的初中學生，需要形象思維作為數學學習的支撐），但是形象思維是不是就意味著用生動形象的事物呈現在學生面前，以讓學生感覺好玩、有趣呢？是不是要用現代教學手段，用聲光電去刺激學生的學習需求呢？筆者以為并不全然如此，因為數學本身所具有的抽象特征，決定了數學學習終歸是要走理性的道路的. 因此，在初中數學教學中，用具有形象思維的本質去驅動學生的數學思維，才是有效教學的根本. 基于這樣的判斷，筆者提出用實際問題及其產生的學習需要，去驅動學生的數學學習，本文嘗試就此問題進行探討.

創設情境，體驗實際需要

實際需要是由實際問題驅動的，實際問題來源于生活，如果能夠引用學生體驗過的實際生活，或者改造成為學生能夠理解接受的生活，那其就是有效的. 考慮到上面所說的實際需要對學生數學思維驅動的重要作用，筆者采取了創設情境的辦法，以讓學生在實際需要的體驗當中認識引入負數的必要性. 具體做法如下：

第一步，基于教材設計，創設問題情境. 這一步的情境創設靈感來源于教材，也采用了教材中的相關素材，但筆者的思路不僅僅是讓學生感覺簡單的數的產生史，更在于讓學生產生一種心境，以強化數在不斷發展的認識. 筆者用多媒體向學生呈現教材上的三幅插圖，讓學生感受最古老的計數的產生過程——教師要特別強調計數需要本身驅動了數的產生，而這個數其實就是已經學過的“正數”；第二幅插圖給出了“0”（這個時候筆者并沒有呈現第三幅圖），讓學生將“沒有”與“0”產生對應，同時引導學生認識到數是在不斷發展的. 在這一步中，筆者特地引導學生比較兩幅圖，以生成數的發展的認識，在此基礎上再呈現第三幅圖，學生自然就認識到原來在正數、0的基礎上，又引入了負數. 由此，便產生了一種隱性的需要.

第二步，基于邏輯思維，判斷數的發展方向. 在上面三幅圖比較完畢之后，給學生提出一個問題：你認為數為什么會不斷發展？根據筆者的教學經驗，學生起初會感覺到這個問題有點空泛，不知道從何答起. 此時只要稍作點撥，學生就發現實際生活中的需要，讓數有了新的發展. 這個時候學生一般是想不到發展方向的，但一定會認識到數是有發展方向的. 記得班上有一個學生在下面插言：“負數也是實際需要之下才產生的嗎？”課后筆者與這個學生交流，才知道他已經在校外機構學過這一內容，但并沒有從實際需要的角度形成認知.

第三步，基于上述認知提出新的問題. 新的問題是：在我們的生活中還有一種新的情形，這種情形用我們小學階段學過的數已經無法描述，這也是一種現實需要，它能不能讓我們想出新的數來描述呢？這里筆者舉出了零下溫度的例子，但并沒有直接給出負數的概念，而是讓學生自己去想辦法用數描述這種現實需要. 這也算是實際問題的驅動方式，對學生的數學思維有著明顯的激發作用.

分析需要，建立數學概念

在上述問題的基礎上，學生此時的思維已經集中在“能不能自己想個數去描述新的實際需要（零下溫度的表示）”上. 這個時候實際需要已經開始明顯驅動學生的思維，而這一過程實際上又是具有顯著的探究特征的，畢竟用一個新的數來描述新的情況，是學生此前的數學學習過程中很少遇到的. 從課堂教學的即時情況來看，這一策略是成功的，因為學生在十分鐘左右的時間內想到了很多的方法，而其中不少方法就與負數思想密切相關. 結合課后跟學生交流的情況，筆者大致了解了學生在課堂上的想法.

有的學生認為，零下的溫度可以在正數之前加上文字，就如“零下”兩個字就行了，但小組內的其他學生就有反對意見，認為漢字與數字混在一起，不倫不類，不能算是很好的方法；也有學生說能不能在零下的那個溫度的數值的上面或者下面加一個記號，如一橫，這樣就可以知道其是表示零下的溫度的；還有學生說既然是零下的溫度，那就可以想想零上溫度的表示有沒有什么特別的地方，結果發現日常所用的正數（學生此時還沒有正數的概念）沒有什么特別之處，因此思維就暫時陷入了困境. 當然也有學生因為之前學過，或者在生活中聽說過等原因，提出了負數的概念. 這個時候在他們的意識當中，負數前面的那個負號，已經與實際需要產生了或斷或續的聯系，盡管這種聯系此時還不是很明確，但已經能夠為后面的學習奠定基礎.

有了學生豐富的思考，這個時候結合溫度計上的示數（用幻燈片放大），且在學生已有經驗的基礎上，告訴學生已經學過的數其實都是正數，前面應當有個正號，只不過因為使用普遍，常常省略了這個符號. 如果需要表示零下的溫度，則可以在正數前面加上一個不可省略的負號，成為一個新的數，即負數. 于是，負數概念自然形成.

隨后，數學教學中常用的變式思想派上了用場. 此時筆者向學生提問：生活中有沒有其他場合也是需要用負數的呢？這個時候，因為前面所做的鋪墊，學生已經知道要尋找與已知實例相聯系，但情形又具有相反性質的事物了. 于是，賺錢與花錢的例子，家庭里增加人與減少人的例子，圖書館里還回來的書與借出的書等，都成為理解負數概念的生動鮮活的生活例子.

需要指出的是，學生舉例的過程，實際上也是內心對負數概念認識需要之下的數學思維過程，到此，負數概念就相對深刻了.

實踐應用，深化概念理解

用應用來強化數學概念理解，也是數學教學的常規手段，但有一點必須認清，那就是簡單的例題呈現并不是真正的數學應用，往往還有可能增加學生的學習負擔. 因為如果在解題中出現了錯誤，且被教師懲罰了的話，對學生的學習自信心與積極性沒有什么好處. 反之，如果教師能夠精心加工實踐應用情形的出現方式，則可以讓學生產生自主解決問題的需要，使學習效果得到提高.

筆者找到了一道例題：下列國家的商品進出口總額比上年的變化情況是：美國減少6.4%，德國增長1.3%，法國減少2.4%，英國減少3.5%，意大利增長0.2%，中國增加7.5%，寫出這些國家這一年商品進出口總額的增長率. 然后筆者對其進行了習題情境的改編：今天我們生活的改善，得益于中國的改革開放，自改革開放以來，中國經濟問題的增長居世界前列，相比較而言，其他國家的經濟增長則是不同景象. 某一年的統計結果是這樣的：美國減少6.4%，德國增長1.3%，法國減少2.4%，英國減少3.5%，意大利增長0.2%，中國增加7.5%.

然后進一步闡述：同學們看出來了沒有，有的國家是增長的，有的國家是減少的，你們想到了什么？留幾秒鐘的時間讓學生思考，最后提出問題：這些國家這一年商品進出口總額的增長率是多少？

這一段描述需要高度重視的語氣，要將學生引入到因為中國經濟發展速度很快而產生的自豪感與認同感中，這是學生產生問題解決需要的關鍵. 很多情況下，因為教師不恰當的語氣，讓學生一眼就看出了只是換個花樣讓他們做題，一旦那樣，問題情境就不大可能讓學生產生解決問題的需要. 隨后的學習過程就簡單了，只要學生認識到“增長”與“減少”是互為相反的，需要用正數和負數分別表示再運算就行了. 真正達到了這一效果，實際上就深化了對正數和負數概念的理解.

總結分析，建立數學認識

數學學習貴在得法，貴在學生的內心產生一種滿足自我需要的學習動力. 因此，在新的知識學習之后總結知識的形成過程是非常有必要的. 在正數與負數的概念學習之后，筆者讓學生回想負數的形成過程，再一次清晰地認識到是因為實際需要，驅動了新的數學概念的生成.

在此基礎上告訴學生，其實很多數學概念的形成都遵循著同樣的途徑，有的是因為實際生活的需要，有的則是因為數學發展的需要，但無論是什么樣的需要，都是數學發展的動力所在. 因此在數學學習過程中，如果學生能認識到用自己所學的數學知識對生活需要進行描述存在不夠的情形，那就說明新的數學概念即將誕生. 這樣的過程，與數學發展的過程有質的相似，是真正的數學探究過程. 而這樣的認識一旦形成，數學入門即成事實.