數學核心素養導向下的幾何直觀教學

凌衛文

【摘要】什么是數學核心素養？目前沒有準確統一的定義，但許多專家學者從數學學科的性質出發，認為應為抽象、推理、模型思想。核心素養導向下的幾何直觀教學怎樣實施？如何在幾何直觀教學中發展學生的數學核心素養？

【關鍵詞】數學核心素養 幾何直觀教學 契合點

什么是數學核心素養？目前沒有準確統一的定義，但許多專家學者從數學學科的性質出發，認為應為抽象、推理、模型思想。幾何直觀則主要是利用圖形描述和分析問題，它有助于探索解決問題的思路，幫助學生理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。核心素養導向下的幾何直觀教學怎樣實施？如何在幾何直觀教學中發展學生數學核心素養？筆者認為要做好以下三點。

一、關注數學畫的表征歸納，培養抽象能力

數學抽象是對現實世界具有數量關系和空間形式的真實材料進行加工，提煉出共同的本質屬性，用數學語言表達進而形成數學理論的過程。數學抽象思想是一般化的思想方法，對于培養人的抽象思維能力和理性精神具有重要意義。學生能夠“畫數學”，需要在幾何直觀起點階段經歷兩次抽象過程。第一次抽象：具體情境到幾何圖案的抽象。數學中的抽象與直觀總是相對的，對第一次接觸這種直觀方式的學生來說，用幾何圖案描述情境更為抽象。此階段，幾何直觀首要的任務是幫助學生學習如何用圓、三角形等簡單的幾何圖案一一對應地去替代實物，畫出所述情境的示意圖，在替代過程中去發展抽象能力。第二次抽象：示意圖到線段圖的抽象。由于學生個體生活經驗和認知水平的差異，經過一段時間的學習后，學生已進入自由表征階段，利用圖形描述問題呈現出鮮明的開放性特征：表征符號個性化、表達形式多樣化。實物圖、示意圖、線段圖等不同水平層次的表征兼而有之。如：

案例1：桃子有2個，蘋果的個數是桃子的4倍。蘋果有幾個？（畫一畫）

學生的數學畫如下：

站在問題解決的視角下，這些數學畫發揮的作用是一樣的，沒有優劣之分。但從數學的簡約性、解決復雜問題的優越性、數學教育的目的等維度去思考，線段圖有著其他直觀圖形無法比擬的優勢。在此階段，需要教師引導學生對這些數學畫進行適度的數學抽象，通過整理、比較、分析、歸納，幫助學生從形與量的具象表達聚焦到量量關系的抽象表達上，這對發展學生的抽象思維能力和認識數學的本質有益處。

上述教學可做如下引導：（1）你們認為這些數學畫怎樣？從這些圖中你能看出桃子和蘋果的關系嗎？（2）這些畫中，什么一樣，什么不一樣？（3）哪幾幅圖比較簡潔？哪幅圖最簡潔？（4）如果再畫一次，你會選哪幅數學畫？（5）畫一畫：小鹿有4頭，斑馬的匹數是小鹿的5倍。斑馬有多少匹？教師的抽絲剝繭，讓學生感受到了線段圖的簡潔，逐步建立“以1代多”的表象，經歷具體到抽象的過程，幾何直觀教學與抽象能力的培養得到恰當的結合。

二、聚焦解題思路的分享交流，發展推理能力

推理是從一個或幾個已有的命題得出另一個新命題的思維形式。推理分為兩種形式：演繹推理和合情推理。就學好數學或者培養人的智力而言，演繹推理和合情推理都是不可或缺的。培養推理能力是數學教育的主要任務之一。幾何直觀教學中，讓學生借助圖形探明解決問題的思路后，有條理地、清楚地表達自己的思考過程和結果就是一種很好的推理訓練。

案例2：書店運來一批文藝書，售出后，還剩1350本。這批文藝書共有多少本？

一生畫圖，解答如下：

很多學生不理解，該生邊指著線段圖邊解說：這條線段表示的是這批文藝書。售出就是把文藝書平均分成了8份，售出了其中的5份，那就還剩3份。3份是1350本，1份就是450本。求這批文藝書共有多少本，就是求8份是多少，所以用450×8=3600。這個解說過程其實就是一個演繹推理的過程。

案例3：一場體育比賽中，一共有10名運動員。如果每兩人握手一次，共握幾次手？

學生出示上圖，分享道：每兩人握手一次，2名運動員握手1次；3名運動員握手2+1=3次；4名運動員，握手3+2+1=6次。我發現這些加法算式有規律，后面的數總比前面的數少1，最大的數比人數少1，最小的數是1。所以6名運動員握手次數就可能是5+4+3+2+1=15次。這是合情推理中的歸納推理，學生的探索過程就是推理過程。

幾何直觀教學中還蘊藏著其他豐富的推理教學素材，如圖1，∠B=150°-105°=45°，用的是關系推理；圖2，不通分利用數軸比較分數的大小，解說需用到演繹推理中的三段論等。可以說，每一次思路的解說都是一次推理的訓練，教師應增強學生分享意識，積極提供交流平臺，幫助學生發展推理能力。需要特別注意的是：幾何直觀強調學生的頓悟與直覺，對這類快速獲得答案的學生更應提供分享交流的機會，促使他們把幾何直覺轉化為邏輯推理能力，培養嚴謹的數學精神。

三、巧用圖形建立數學模型，發展模型思想

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。廣義地說，數學中各種基本概念和基本算法，都可以叫作數學模型。數學建模即“把現實世界中的實際問題加以提煉，抽象為數學模型，求出模型的解，驗證模型的合理性，并用該數學模型提供的解答來解釋現實問題。數學知識的這一運用過程也就是數學建模”。數學的模型思想需要通過建模教學來逐步滲透，使學生不斷感悟。幾何圖形是推動思維展開的基礎，也是獲得數學深度理解的依托，因此在幾何直觀教學中，可抓住恰當的時機，巧用直觀圖形完成數學模型的建構。

案例4：10以內加減法學習完后從本質上進行減法模型的建構

1.出示情景問題。（畫一畫，算一算）

（1）班級圖書角有8本《童話故事》，借走了6本，還剩多少本？

（2）草地上原來有10只鴨子，現在只有7只。有多少只鴨子到河里去了？

2.呈現學生的示意圖、算式，利用信息技術手段完成示意圖的抽象。

3.這兩題都用減法計算，比一比，這兩幅圖有哪些地方是相同的？

4.看圖說一說，什么情況用減法計算？（已知總數和部分數，求另一部分數）

圖形語言較之其他數學語言更為直觀、明了，更有利于學生比較、分析、綜合。在學生示意圖的基礎上，教師利用信息技術手段去除示意圖中非本質的屬性，逐步抽象成只表達數量關系的色條圖。通過觀察色條圖，學生明白了“知道總數和部分數，求另一部分數用減法計算，用總數-部分數=另一部分數”。減法的本質模型得以順利構建。

此外，分數、小數模型，分數的加減法、乘除法的計算模型，基本平面圖形的面積計算模型等，都可在幾何直觀教學的基礎上完成抽象建構。

數學十大核心概念在本質上都不同程度地體現了數學抽象、數學推理、數學建模的基本思想，幾何直觀也不例外。教師應以數學核心素養為導向，在幾何直觀教學時挖掘契合點，精心設計教學過程，抓住契機一一落實，這樣，我們的數學教學才能實現數學教育質的跨越。?