高中數學解題中向量方法的應用研究

鐘桂珍

摘要：在目前我國高中數學學習中，向量方法解題被廣泛的應用，甚至在物理學習中都有所涉及。向量方法不單單是高中數學學習中較為重要的學習內容，它也是作為一種常見的解題手段而存在。其數形結合的特點，可以將多方面的知識連接在一起，更為直觀和形象的建立成為一個整體。本文作者通過閱讀大量資料和習題，著重分析高中數學解題中向量方法的使用，對于實際的向量方法教學有一定的參考意義。

關鍵詞：高中數學；向量；應用研究

一、向量解題方法對于高中數學教學的必要性：

1.加深學生理解 目前我國數學教育教材的設置，在高中以前的初中數學教育階段，主要涉及數學常量和變量的一些基礎知識，也是主要為高中包括后面的數學學習打下堅實基礎。高中數學中向量的學習則是在初中數學的學習基礎之上幫助學生初步構建數學學習知識體系，對于學生從初中數學意識向高中數學學習思路的轉型起到過渡作用。可以有效的加深學生對于數學學習的理解。

2.提升高中生解題能力 向量知識作為重要的解題方法存在，對于思維推理能力以及空間能力正在塑造過程中的高中生來說，可通過簡單、形象、直觀的表現方式，幫助學生快速解答問題，對于學生初步建立數學模型有一定的幫助。

3.數形結合，提升學生發散式思維 數形結合思維是向量解題方法中非常重要的部分。它可以將本身比較復雜和繁瑣的數字和文字描述，通過向量構建成形象直觀的模型，并且結合命題數據展示出來。對于教師來說，在課程設計上面，要注重將問題轉化為概括性、抽象性等形式，再通過教師的思路引導，可以有效的幫助學生建發散式思維。

二、數學解題中影響向量解題法的一些因素分析：

數學解題過程中因素分析：在實際的解題過程中，影響向量解題法的因素眾多，本文將這些因素進行了匯總和分析：

第一，情感因素。情感因素在高中生學習過程中占據重要位置。包括我們常見到的學生的學習興趣、愛好、學生學習的動力來源等等，這些對于學生的學習和解題過程起到主導作用。

第二，經驗因素。數學解題是一個復雜的過程，其經驗因素主要體現在它對于學生基礎知識儲備、個人解題偏好、思路等方面也是有所要求的。

三、高中數學解題中向量方法的實際應用

1.三角函數解題中向量的使用 三角函數同樣作為高中數學教學中的重點知識，在結合向量方法解答三角函數問題的時候，往往可以將問題思路清晰直接的展現出來，使得解題過程變得更加輕松。

例：已知f（x）=2sin（x+π3），

（1）若向量，m=（cosx2，3cosx2），n（-cosx2，sinx2）并m//n。求f（x）的值。

（2）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c，且滿足（2a﹣c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范圍.

解答：（1）由m//n，可得cosx2sinx2=-3cosx2cosx2，所以cosx2=0。或tanx2=-3，所以x=2kπ+π或x=2kπ-2π3（kεZ），f（x）=-3.

因為（2a﹣c）cosB=bcosC

由正弦定理可知2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，所以2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC。

2sinAcosB=sin（B+C），因為A+B+C=π，所以sin（B+C）=sinA，且sinA≠0。 所以，cosB=12，B=π3

最后可得，f（A）的取值范圍為（0，2]。

這道例題就是典型的利用向量知識，結合三角函數正弦定理等知識的實際應用。

2.向量問題在不等式中的實際應用 求解不等式的問題在高中數學中的應用也是相當的廣泛，但是在實際的解題過程中如果能夠很好的結合使用向量方法，往往可以簡化解題過程，提高解題效率，開闊解題思路。

例題：應用向量證明不等式√（a12+a22+a32）√（b12+b22+b32）≥|a1b1+a2b2+a3b3|

解答：

構造向量m=（a1，a2，a3），n=（b1，b2，b3），

則m·n=（a1b1，a2b2，a3b3）.

故依向量模不等|m|·|n|≥|m·n|，得

√（a12+a22+a32）·√（b12+b22+b32）≥√（a1b1+a2b2+a3b3）2=|a1b1+a2b2+a3b3|.

故原不等式成立。

在不等式證明的問題中，對一些變形技巧的應用比較的廣泛，否則是很難進行證明的。在實際的不等式證明過程中，如果能夠把一些數字裝換為向量，就能夠有效的將不等式中抽象的關系轉化成為更加形象具體的向量關系，幫助解答問題。因此在實際的不等式解題中，如何找到向量切入點是很關鍵的。

3.利用向量解決幾何問題 向量本身的方向和長度是能夠代表實際的數值以及位置坐標關系的。因此在解決幾何問題的時候適當的加入向量解題方法，可以直觀有效的建立解題模型，對于解題過程有很大的幫助。

例：已知三棱柱ABC-A1B1C1的側棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC內的射影為三角形ABC的中心，則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于？（根號2/3）是以A1在底面投影O為原點建系，AO為X軸.設邊長1，請講一下如何表示A，B1坐標？

解答：設邊長為6，延長AO與BC交於D，則AD=3√3

由等邊三角形中心性質可知OA=2√3，∴A（2√3，0，0）

AA1=6，勾股定理得OA1=2√6，∴A1（0，0，2√6）

BD=BC/2=3，OD=√3，且BD⊥AD

∴B（-√3，3，0）

∵A1B1∥=AB，∴A1B1→=AB→

設B1（x，y，z），則A1B1→=（x，y，z-2√6）

AB→=（-3√3，3，0）

∴B1（-3√3，3，2√6）

AB1→=（-5√3，3，2√6）

易證OA1→=（0，0，2√6）是面ABC的法向量

設AB1與面ABC所成角為θ，則sinθ=|cos|=|AB1→·OA1→|/|AB1→||OA1→|=|0+0+24|/[√（75+9+24）*√（0+0+24）]=√2/3

結束：通過上面的舉例分析，我們可以實際看到向量方法在高中數學中的廣泛應用。因此對于向量方法的學習和使用，需要我們的教師切合實際的引導學生開放思維。從而不斷提高學習效率和質量。

參考文獻：

[1]李卓潔.關于向量在解決高中數學問題中的應用研究[J].信息化建設.2015年6月

[2]劉爽.高中數學解題中向量方法的應用分析[J].數學學習與研究.2015年7月

（作者單位：江西省贛州市興國縣平川中學 342400）endprint