巧解排列組合問題的有效手段

徐海杰

摘要：縱觀現在的高考數學試卷我們可以發現，有關排列組合的問題每一年都是數學的高考內容。雖然這個內容大都是出現在一些填空題或者是選擇題中。但是為了能夠拿到排列組合的分數，我們也應該對此充分重視。根據日常中我們平時接觸到的排列組合問題來看，這些題型都是跟實際生活有一定的聯系的，而且題型也非常多樣化。因此，我們應該針對不同的題型研究出不同的解決方法，確保在遇到排列組合問題的時候能夠得心應手。在本文中，就針對于如何巧妙地解出排列組合問題提出了一些方法。

關鍵詞：高中數學；排列組合；手段

中圖分類號：G634.6 文獻標識碼：A 文章編號：1672-9129（2017）12-0218-02

Abstract： throughout the present college entrance examination math test paper， we can find that the question about arrangement and combination is the content of mathematics college entrance examination every year. Although this content mostly appears in some fill - in questions or choice questions. But in order to get the scores of permutations， we should pay attention to them. According to the arrangement and combination problems we are exposed to in daily life， these questions are related to real life to a certain extent， and the questions are also very diverse. Therefore， we should develop different solutions for different types of questions， so as to ensure that we can handle the problem of arrangement and combination with ease. In this paper， some methods are proposed to solve the problem of permutation combination skillfully

Key words： high school mathematics； Permutation combination； methods

在高中數學的學習中，我們經常為橢圓、函數等一些復雜的問題頭疼。但是，殊不知，有關排列組合的內容也是高考中的常考點。排列組合看起來比較簡單，但是題型比較多樣化，而且思維也比較抽象，解法非常多。稍有不注意，就會產生差錯。因此，對于這個問題，我們要著重注意。在解決有關排列組合的問題的時候，我們首先就應該清楚題目的本質，將題目中所隱含的條件挖掘出來，根據不同類型的題目選擇合適的方法來解決。

1 關于錯位重排法的運用

錯位重排法是我們在排列組合問題中經常可以用到的一種方法。而且，這種方法的使用非常簡單，它有固定的結論，這種結論可以根據題目的內容直接往上套，答案就呼之欲出了。在實際的問題上，采用這種方法可以幫助我們快速地解出問題的答案。這里錯位重排法的結論就是：若是題目中有3個元素，那么采用錯位重排法得出的答案就是2；如果題目中有4個元素，那么采用錯位重排法得出的答案就是9，；而若是題目中有5個元素，那么采用錯位重排法得出的答案是44。[1]根據這個方法，我們來舉個例子進行說明：

現在有四個小朋友一起比賽做小點心，每一個小朋友都需要做一份小點心。點心做好之后要求每個人去品嘗其中一份，但是卻不能品嘗自己的，問一共有多少種不同的嘗法？

A.15種 B.12種 C.9種 D.6種

針對這道排列組合題，我們若是從平常的思維來考慮，那么就可以想象成每一個小朋友將自己的標簽貼在自己做的點心上，求全部貼錯的概率，這里就會得到9種貼法。雖然這種方式也能解出正確答案，但是我們若是采用錯位重排法，就可以將四個小朋友看成4個元素，從而直接選擇C答案：9種。這樣一來，可以大大地節省我們的做題時間。

2 關于捆綁法的運用

捆綁法是在解決排列組合問題中運用頻率非常高的一種解題方法。通常情況下，若是題目中要求某某的位置必須相鄰，那么一般就可以用捆綁法來進行解答。首先，我們可以將題目中要求相鄰的元素看成一個整體，之后再與其他的元素進行排列。[2]當然，這兩個元素內部的位置問題也需要考慮到。針對這個方法，我們來舉一個例子：

現在有A、B、C、D、E五個人一起去爬華山，到達山頂之后，這五個人打算叫其他人幫忙拍個照合影留念。若是整體站成一列，A和B的位置要相鄰，那么一共會有多少種方法？

從這道題目中的已知條件我們可以知道，A、B要相鄰，那么就可以采用捆綁法來解決問題。首先，我們就將A和B捆綁在一起，將其看成一個元素。之后再將這個元素與其他剩下的三個人進行排列，這里一共有A（4，4）種排法。之后，我們再來看A和B的內部排序，一種有兩種排法。因此，通過分布乘法原理我們就可以算出，這道題一共有A（4，4）×2=48種排法。

根據這道例題我們可以知道，在我們實際解題過程中，若是需要運用到捆綁法，那么就一定要注意到被捆綁元素中的內部順序問題。一般來說，運用捆綁法解題的過程都是“先捆綁，后排列”的。

3 關于插空法的運用

在解答排列組合問題中，我們通常會遇到一些條件表示某某之間不能相鄰，而對于這樣的問題，我們就可以采用插空法來進行解答。通常情況下，運用插空法解答排列組合問題的時候，我們通常是先將其他沒有限制性的元素進行排列，之后再將有限制性的元素插空放進去。[3]針對這個方法，我們來通過一個案例具體分析：

有12個小朋友一起排隊玩老鷹捉小雞，其中有8個小男孩和4個小女孩。要求小女孩之間不能挨著排，而且小女孩必須排在小男孩的中間，那么一共會有多少種排法？

針對這個例子，從題目中已知的條件我們就可以發現，這道題考查的就是不相鄰的問題。因此，對于這樣的問題，我們就可以采用插空法來進行解答。其中，小男孩的位置是沒有限制的，所以我們可以先將這8個小男孩排列起來，一種有A（8，8）種排法，之后，我們再將這4個小女孩穿插到男孩之間的空位中，這里一共有7個空位，所以一種有A（4，7）種排法。所以說，在這道題中，就一共有A（8，8）A（4，7）種排法。

4 結束語：

有關排列組合的問題，看起來比較簡單，但是實際上解起來也是比較復雜的，這種題型也是最容易犯錯的題型。因此，對于不同的題型，我們需要掌握不同的解題方法，才能讓我們用最快的速度解出最正確的答案。

參考文獻：

[1]袁煒.應用插空法妙解排列組合問題[J].中學教學參考，2017（35）：21.

[2]戴建忠.解排列組合問題的十種常規技巧[J].新課程（下），2017（04）：72.

[3]王承超，向清耀.解排列組合題的若干技巧[J].高中生學習（試題研究），2016（Z1）：50-51.