函數與方程思想在高中數學中的應用舉例

楊飛

【摘 要】函數與方程思想是高中數學的一種重要的思想方法，它在高中數學中應用廣泛。在本文筆者列舉了函數與方程思想在平面向量中的應用、函數與方程思想在解析幾何中的應用、函數與方程思想在數列中的應用。

【關鍵詞】高中數學；函數與方程思想；應用舉例

一、函數與方程思想在平面向量中的應用

方法指導：

平面向量問題的函數（方程）法是把平面向量問題，通過模、數量積等轉化為關于相應參數的函數（方程）問題，從而利用相關知識結合函數或方程思想來處理有關參數值問題。學生在解題時一般要遵從以下幾點：

首先，向量代數化，利用平面向量中的模、數量積等，結合向量的位置關系、數量積公式等進行代數化，得到含有參數的函數（方程）。

其次，代數函數（方程）化，利用函數（方程）思想，結合相應的函數（方程）的性質來求解問題。

最后，得出結論，根據條件建立相應的關系式，并得到對應的結論。

例題展示：

已知e1，e2是單位向量，e1·e2= 1-2 .若向量b滿足b·e1=2，b·e2= 5-2 ，且對于任意x，y∈R，|b-（xe1+ye2）|≥|b-（x0e1+y0e2）|=1（x0，y0∈R），則x0= ，y0= ，|b|= 。

例題解析：

其實本問題就等價于|b-（xe1+ye2）|當且僅當x=x0，y=y0時取到最小值1，

即|b-（xe1+ye2）|2=b2+x2e12+y2e22-2xb·e1-2yb·e2+2xye1·e2=|b|2+x2+y2-4x-5y+xy在x=x0，y=y0時取到最小值1，

又|b|2+x2+y2-4x-5y+xy=x2+（y-4）x+y2-5y+|b|2=（x+）2+（y-2）2-7+|b|2，

所以，（x+）=0；y-2=0；-7+|b|2=1

解得，x0=1；y0=2；|b|=2

二、函數與方程思想在解析幾何中的應用

方法指導：

函數與方程思想在解析幾何中的應用是一個重要的內容，解析幾何中的最值是高考的熱點問題，在圓錐曲線的綜合問題中經常出現，求解此類問題的一般思路為在深刻認識運動變化的過程之中，抓住函數關系，將目標量表示為一個（或者多個）變量的函數，然后借助于函數最值的探求來使問題得以解決。

例題展示：

已知橢圓C：=1（a>b>0）的離心率為，左、右焦點分別為F1、F2，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切。

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設Q為橢圓C上不在x軸上的一個動點，過點F2作OQ的平行線交橢圓C于M、N兩個不同的點，記△QF2M的面積為S1，△OF2N的面積為S2，令S=S1+S2，求S的最大值。

例題解析：

（1）由題意知e==，

所以e2===，

即a2=2b2，又以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓為x2+y2=b2，且與直線x-y+2=0相切，所以b==2，

所以a2=4，b2=2，故橢圓C的標準方程為=1

（2）設M（x1，y1），N（x2，y2），直線OQ：x=my，則直線MN：x=my+，

由x=my+，=1，得（m2+2）y2+2my-2=0，

y1+y2=-，y1y2=-.

所以|MN|=|y2-y1|

=

=

=，

因為MN∥OQ，所以△QF2M的面積等于△OF2M的面積，S=S1+S2=S△O MN，

因為點O到直線MN：x=my+的距離d=，所以S=1-2 |MN|·d=1-2 ××=

令 =t，則m2=t2-1（t≥1），

S==，

因為t+1-t≥2=2（當且僅當，即t=1，也即m=0時取等號），所以當m=0時，S取得最大值。

三、函數與方程思想在數列中的應用

方法指導：

數列問題函數或方程化法形式結構與函數或方程類似，但要注意數列問題中n的取值范圍為正整數，它還涉及的函數具有離散性特點，所以學生在解題時應從以下幾個方面著手：

首先，分析數列式子的結構特征，看看它是否符合函數的特征。

其次，根據結構特征構造“特征”函數或方程，轉化問題形式，以便求解。

再次，研究函數性質，結合解決問題的需要研究函數或方程的相關性質，這里主要涉及函數單調性與最值、值域問題的研究。

最后，回歸問題，結合對函數或方程相關性質的研究，回歸問題，最終找到答案。

例題展示：

已知，數列{an}是各項均為正數的等差數列。

（1）若a1=2，且a2，a3，a4+1成等比數列，求數列{an}的通項公式an；

（2）在（1）的條件下，數列{an}的前n項和為Sn，設bn=++…+，若對任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求實數k的最小值。

例題解析：

（1）因為a1=2，a32=a2·（a4+1），又因為{an}是正項等差數列，故公差d≥0，

所以（2+2d）2=（2+d）（3+3d），

解得d=2或d=-1（舍去），

所以數列{an}的通項公式an=2n.

（2）因為Sn=n（n+1），

bn=++…+

=++…+

=-+-+…+-

=-=，

=

令f（x）=2x+（x≥1），

則f'（x）=2-，當x≥1時，f'（x）>0恒成立，

所以f（x）在[1，+∞）上是增函數，

故當x=1時，f（x）min=f（1）=3，

即當n=1時，（bn）max=1-6，

要使對任意的正整數n，不等式bn≤k恒成立，則須使k≥（bn）max=1-6，

所以實數k的最小值為1-6。

參考文獻：

[1]鄒麗麗.函數與方程思想在高中數學解題中的應用[J].高中數理化，2014年02期.

[2]陳江華.函數與方程思想在高中數學中的應用[J].讀與寫，2014年03期.

[3]張玲.初中數學解題方法的總結[J].中國教育技術裝備，2008年17期.endprint