《函數的應用》起始課教學課例

王贏贏

摘 要：以高中數學人教A版必修一第三章《函數的應用》起始課為例，探討高中數學章節起始課的“基本套路”，讓學生初步建立起對本章知識和方向的整體把握，重視學習方法的引導，滲透基本的研究學習方法，激發學生的學習興趣，同時指出在教學中使用繪圖和計算工具的必要性，加強知識連貫的學習過程以及與小節教學的區別。

關鍵詞：高中數學；章節起始課；函數的應用

高中數學人教A版教材，在每一章的開頭都有一頁圖文并茂的內容：一段話——章引言，道出本章所要研究的主要內容以及大致的研究思路；圖片——章頭圖，往往展示本章內容的應用等，其目的在于激發學生的學習興趣，引導學生對整體知識的把握，滲透數學思想方法等。章節起始課的教學通常包括章引言和本章正文第一小節的內容。然而，不少教師對章引言、章頭圖的作用認識不足，教學中，或隨便說幾句，或干脆跳過，以至于感嘆第一小節的內容太少或簡單。因此，我認為，章節起始課有必要作為一種課型認真地加以研究。下面以《函數的應用》教學為例，與大家共研。

一、 教材分析

本節課所用教材為人教A版必修一，內容為第三章《函數的應用》起始課。

本章通過學習函數的零點和用二分法求方程近似解的方法，使學生體會函數與方程之間的關系，通過一些函數模型的實例，讓學生感受建立函數模型的過程和方法，體會函數在數學和其他學科中的廣泛應用，進一步認識到函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，能初步運用函數思想解決一些生活中的簡單問題。

對函數與方程的關系的認識過程，教材遵循了由淺入深、循序漸進的原則。函數與方程是初等數學的基礎，也是連接初等數學與高等數學的橋梁，函數的零點是為了研究方程的根而產生的概念，它是方程的根在動態的函數視野下的名稱。此外，函數與方程還是中學數學重要思想方法之一。因此，本節課具有承前啟后的作用。

二、 學情分析

學生在掌握了基本初等函數的圖象和性質后，對函數本身已非常熟悉，但只停留在對函數本身的研究和掌握，根據以往的學習經驗知道建立函數模型在實際生活問題中的應用，但對其作為工具來解決方程問題還比較陌生。

本班是普通中學的普通班，學生對二次函數的圖象并不是那么得心應手，所以在教學過程中還需要有些指導。而對圖形計算器的使用還在初始階段，對基本的操作有所了解，能按部就班完成基本的作圖和運算，但對數據和圖形的主動分析還有待提高。

三、 教學目標設置

1. 通過實際問題，感受指數函數的增長，增強函數的應用意識；

2. 通過歷史的追溯，了解中外數學發展史上方程求解漫長而曲折的過程，感受數學文化；

3. 理解函數零點的概念，能轉化方程問題與函數問題，并選擇適當的方法求函數的零點；

4. 經歷從特殊到一般的探究過程，掌握函數的零點與方程的根的關系；

5. 借助信息技術的使用，增強解決數學問題的興趣和能力。

教學重點：本章知識的結構和邏輯關系及函數的零點

教學難點：函數的圖象作圖及分析

四、 教學過程

引言：大家知道哲學的三大終極問題是：我是誰？我從哪里來？我將要到哪里去？今天對于函數，我們同樣問這三個問題：函數是什么？函數從哪里來？函數將能干什么？實際上，在我們前面第一章的學習中，我們已經明確函數的概念，也就是“函數是什么？”；第二章研究的基本初等函數中指數函數和對數函數等產生的背景就是函數的來源；今天開始，我們反過來看函數去向哪里，能為我們解決哪些問題。這就是第三章《函數的應用》。

（一） 實例發現

在開課之前看段視頻，關于澳大利亞兔子入侵的災難故事。

這就是外來生物入侵帶來的災難。在短短60年時間，兔子的數量從24只增加到40億只，這是一個急速的增長，想想我們能用哪個函數模型來刻畫這個增長劇烈的過程？——指數函數。這就是我們所說的“指數爆炸”。十九世紀中期，兔子在澳大利亞的自然和生態條件都很適宜的條件下，迅速繁殖，數量激增，成為澳大利亞的災難。經過大量數據測算，我們建立了當時兔子的種群數量y隨時間x變化的增長模型為：y=241+52x；另外我們假設在此期間兔子的天敵的數量y隨時間x的增長模型為：y=300x+1000假設兔子數量大約是天敵數量的100倍時，則基本能夠達到生物鏈中的理想平衡狀態。那么從兔子進入澳大利亞開始，如果按照上述函數模型，不考慮其他自然和人為因素，問：

兩個問題主要涉及的數學問題：建立方程和探究方程是否有根、根是多少，以及不同增長的函數模型。分析問題的本質，是解決這個方程的根的問題。在本章里，我們將借助函數建立數學模型，并通過函數來解決這個方程問題。

[設計意圖]讓學生感受指數函數的爆炸式增長，能和一次函數從感知上比較增長速度；在理解題意和尋求等量關系的過程中，體會數學的應用性。問題分別針對方程是否有根、有幾個根、根是多少以及不同增長的函數模型。

[學生活動]通過獨立思考，建立方程；借助圖形計算器，求解方程，展示方程的根。

問題：x=17年的時候能夠達到理想平衡狀態，那之后呢？為什么主持人朱廣權還說是澳大利亞的災難呢？這時候，方程欠我們一個動態的解釋，我們尋求與方程相對應的函數來解決。

我們發現：方程的根是圖象與x軸交點的橫坐標。

我們把使f（x）=0的實數x的值叫做y=f（x）的零點。

（二） 學以致用

例1 借助圖形計算器求解并記錄函數f（x）=x3+2x2+10x-20的零點。

[學生活動]分別有學生通過幾何作圖和代數解方程的方式求解零點。

為了求函數的零點，我們解的這個方程可是非同一般，它是數學家斐波那契挑戰完成的一道宮廷數學競賽題，當然沒有計算器，在當時的數學條件下進行到小數點后面6位，成績斐然。他的手動解法，將是我們下節課探索的問題。endprint

我們今天站在巨人的肩膀上了解各種各樣方程的解法，比如本章我們將根據函數的性質用二分法求解方程的近似解，選修22中還將用牛頓迭代法求方程的近似解，現在我們甚至手持計算器似乎可以無所不能了，但在數學發展史上，方程的求解卻經歷了漫長而艱辛的過程。我們可以通過一個簡單的視頻來了解一下：

播放中外歷史上方程求解發展的解說視頻

視頻中所提到的數學家們，都為數學發展和人類進步做出了巨大的貢獻，再來定格一下。

中國：《九章算術》（50—100）、趙爽、祖沖之（429—500）、王孝通、秦九韶（1208—1261）、楊輝（1238—1298）、朱世杰（1249—1341）等在方程解法研究上都有突出的貢獻，特別是數值求解，遠遠領先于西方國家。但在字母表達和公式求解通法上略遜色一點。

世界：花拉子米；塔爾塔利亞；卡爾達諾；韋達；費拉里；拉格朗日；阿貝爾。

當然這些過程都不是一帆風順的。歐洲文藝復興時期，數學活動也非常普遍而且高大上。數學家們常常以競賽和挑戰的形式鞏固自己的學術地位。而塔爾塔利亞和卡爾達諾還曾經為三次方程解法的知識產權問題產生過深深的矛盾。在導學案后面的資料里有所介紹。

解方程就能解一切，而函數也是y的一次方程。所以當五次以上方程及指數方程、對數方程等不能用大數運算求解的時候，數學家們轉而把f（x）=0的問題與y=f（x）聯系起來，尋求幾何的解法。當求不出具體的根的時候，退而求其次，能圈定根的一個范圍也好。所以本章我們對函數的應用主要包括兩個方面：一是運用函數思想解決現實生活中的一些簡單問題；二是利用函數的圖象和性質解決方程的根的相關問題。

[設計意圖]通過圖形計算器的使用，使學生能夠迅速建立方程與函數之間的聯系，并積極解決未知問題，獲得成就感；通過歷史的追溯，了解中外數學發展史上方程求解漫長而曲折的過程，感受數學文化。讓學生感知科學的發展和進步都不是一蹴而就的，一個看似小小的進步都經歷了幾代人的努力。激發學生的探索熱情和學習興趣，了解數學文化，感知數學之美。

例2 不用圖形計算器，你能判斷方程2x+3x-7=0有實根嗎？

[學生活動]解決問題，積極展示

生甲：方程變形為2x=-3x+7，即是求函數y=2x與y=-3x+7的交點的橫坐標

[設計意圖]在解題的過程中，進一步體會數形結合思想和函數與方程的思想，培養解決實際問題的能力。

問題：既然這個方程有根，那么根是正是負？在哪個區間范圍？再進一步，能求出根嗎？

這將是我們本章后面所要研究的通過函數的性質用二分法求解方程的近似解，高中階段我們還將在選修2-2中用牛頓迭代法求方程的近似解。

（三） 課堂小結：

結合前面的學習目標，從知識、技能、思想方法幾個方面，

總結本節課我的收獲：

還有一些疑惑：

[學生活動]反思總結，積極交流

函數應用：1. 解決實際問題；2. 求解方程的根。

思想方法：1. 函數與方程的思想；2. 數形結合思想。

圖形計算器的使用，便捷了我們的分析和計算，提升了解決問題的能力。

（四）作業布置：

1. 教材P88，練習1、2；

2. 討論函數f（x）=|x2-2x-3|-a的零點個數；

3. 查找史料，以小組為單位，搜集整理中國數學史上對方程求解做出卓越貢獻的人物事跡。endprint