心理學視角下的高中數(shù)學解題教學

李凱

【內(nèi)容摘要】從心理學中“新手與專家比較”的角度研究學生的解題過程，可以避免機械的行為主義。高中數(shù)學教學中，要讓學生（新手）較快地達到教師（專家）水平，需要從學生的知識結(jié)構、問題表征方式以及教學策略上入手，同時還需要關注一些教學細節(jié)。

【關鍵詞】高中數(shù)學 解題教學 心理學視角

在高中數(shù)學教學中，解題教學是最重要的環(huán)節(jié)之一，為了迅速達到教學目標，很多教師常常會組織學生進行大量地重復地訓練，以求學生自己形成良好的解題直覺，然而這樣機械式的重復，有時候往往事倍功半，甚至反而使師生都覺得疲憊不已，苦不堪言。在試圖有所改變的時候，筆者選擇了學習心理學作為解剖自己教學的手術刀，結(jié)果發(fā)現(xiàn)之前的做法帶有明顯的行為主義的影子：通過重復訓練，來讓學生形成解題本能[1]。而事實上要想達到同樣的目標，基于“專家與新手”的相關理論研究，對于高中數(shù)學解題教學而言，是一條更有價值的途徑。

一、 “新手與專家”的理論研究

上世紀，拉金（J.H.Larkin）等人對新手與專家在面對問題時的解決思路進行了研究，結(jié)果反映出兩者在知識結(jié)構與問題表征上存在著明顯的差異。在心理學中，知識結(jié)構是指學生經(jīng)過學習之后形成的知識體系的構成情況與結(jié)合方式；問題表征是解題的起點，是指學生在面對問題的時候，建立起的從問題解決的起始狀態(tài)到目標狀態(tài)之間的認識。

研究發(fā)現(xiàn)，新手在解決問題的過程中所運用的知識呈現(xiàn)出“小單元”的情形，而專家則是將這些“小單元”組織成了“大單元”。打個比方，這就跟吃葡萄一樣，新手一拿一個，而專家一拿一串；而從問題表征的角度來看，新手解決問題時往往步驟較多，且通常都是思考一步、核對一步，不容易形成系統(tǒng)的思路；而專家則能夠運用自動化的解題步驟迅速解決問題。有意思的是，當專家遇到不熟悉的問題，或?qū)⑵渲糜谝粋€新的領域時，其表現(xiàn)與新手基本無異。

二、 新手慣用的問題解決策略

高中數(shù)學解題教學中，學生無疑是以新手的身份存在的。比如在圓錐曲線新課教學時給出這樣的問題：已知定點F和定直線l，F(xiàn)不在直線l上，動圓M過點F且與直線l相切。求證：圓心M的軌跡是一條拋物線。據(jù)筆者的觀察與調(diào)查，學生由于是初學，所以往往會從拋物線的判定角度切入，然后調(diào)用大腦中已經(jīng)學過的拋物線的定義，并嘗試將原題中信息與拋物線定義“匹配”起來。這里，學生搜索拋物線定義是知識結(jié)構的體現(xiàn)，而尋求“匹配”關系則是問題表征的一種體現(xiàn)。調(diào)查結(jié)果表明，新手在遇到問題的時候，通常都會基于問題去尋找相應的數(shù)學定義、公式或規(guī)律，然后嘗試到題目中尋找有用的語言來匹配定義，或?qū)ふ覕?shù)據(jù)來代入公式以求解。這不僅反映了學生知識結(jié)構的簡單，而且這樣的問題表征方式?jīng)Q定了其后的解題策略往往是低效的。

“逆推式”就是新手慣用的問題解決策略，即從習題的所求問題向習題所給條件的推理。譬如上例中，證明過程常常是這樣寫的：因為動圓M過F與直線l相切，所以MF與M點到直線的距離相等，由拋物線定義可得，M點軌跡為以F為焦點，以直線l為準線的拋物線方程。而這個過程與學生的推理過程是相反的，有經(jīng)驗的教師都知道，絕大多數(shù)問題的解決基本上都是這樣的一個過程，因此有不少學生總結(jié)：將自己的思考過程反過來寫，就是解題過程了！這是典型的逆推思維，而學生之所以下意識地選擇這一策略，與其知識結(jié)構是密切相關的，學生不可能有豐富的知識結(jié)構，其對數(shù)學知識之間的聯(lián)系遠不如教師那般嫻熟，這就“逼”著學生只可能逆推，而這種思維方式一旦形成，又會影響學生的問題表征，從而形成某種意義上的惡性循環(huán)。

三、 新手變成專家的策略探究

相對于新手而言，專家（教師）通常不會采用逆推的解題策略，而是采用從已知到目標的推理策略。如果教師注意反思自己的解題教學，會發(fā)現(xiàn)總喜歡從條件出發(fā)，去一步步走向目標，此過程中還會不經(jīng)意地有一些新的發(fā)現(xiàn)——題目沒讓求，但可以得到一系列的子結(jié)論。此時，學生常常也會問：你是怎么想得到的呢？這就意味著學生也是渴求這樣的解題策略的。筆者經(jīng)過實踐摸索，總結(jié)出了可以讓新手變成專家的兩種有效策略。

1.幫助學生建立和完善思維導圖

思維導圖最大的價值在于可以引導學生在尋找數(shù)學知識聯(lián)系的過程中擁有清晰的思路，需要注意的是，當前網(wǎng)絡上現(xiàn)成的思維導圖非常多，但筆者不建議直接給學生，因為思維導圖是思維的產(chǎn)物，如果不經(jīng)學生的獨立思考和知識梳理而直接呈現(xiàn)結(jié)果，這只能引導學生去機械記憶，這就失去了思維導圖運用的本意了。簡單一點說，就是要讓學生經(jīng)歷“導”的過程，所導之圖可以是粗糙的，但只要日進一步，學生就一定會更好地理解數(shù)學知識之間的聯(lián)系。

2.培養(yǎng)學生良好的問題表征能力

心理學家普遍認為，問題表征決定著解題的質(zhì)量[2]。筆者認為培養(yǎng)高中數(shù)學問題表征能力應注重以下兩點：一是讓學生養(yǎng)成良好的由條件到目標的推理習慣。這里有一個重要細節(jié)，就是讓學生在日常的習題訓練中，不要急于獲得最終的答案，而是要思考由已知條件能夠推理出哪些可能的結(jié)果，然后判斷題目所提的問題在不在自己的推理范圍之內(nèi)，而筆者的策略之一，常常是只提供題干而不問問題；二是讓學生“大聲”說出推理思路，“說出來”要優(yōu)于“想得到”，因為這是將思維轉(zhuǎn)換成語言的過程，“大聲”要優(yōu)于“輕聲”，因為其可以提高學生的注意力，可以“逼著”學生運用更嚴密的邏輯、更清晰的語言來讓自己的思路顯現(xiàn)出來。

總之，在基于學生核心素養(yǎng)的教育改革大背景下，死記硬背和題海戰(zhàn)術等教學手段早就變得不合時宜，教師需要以科學的方法論和心理觀為指導，在教學的方法和策略上作出調(diào)整，來適應學生的認知水平，以實現(xiàn)學生的自身發(fā)展和全面發(fā)展。

【參考文獻】

[1] 范建瑋. 數(shù)學解題的心理學研究綜述[J]. 數(shù)學教學研究， 2010， 29（11）：2-4.

[2] 范建瑋. 關于數(shù)學解題的心理學研究[D]. 重慶師范大學， 2003.

（作者單位：江蘇省啟東市呂四中學）endprint