指導高中生學會數學建模的四種策略

羅玉成

【摘 要】本文論述指導高中生學會數學建模的策略，提出設計問題引發學生興趣、引導學生動手操作、鏈接生活、借助電腦優化教學四種方法。

【關鍵詞】高中數學 高中生 數學建模

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07B-0144-02

數學建模，通俗地說就是通過建立數學模型來解決數學問題，它是一個利用數學語言描述現實中的數量關系與空間形式的過程。在數學教學中，教師指導學生學會建模，有助于提高學生解題效率，深化數學思維。但是，根據筆者多年的教學經驗發現，不少高中生的數學建模能力相對薄弱，甚至還有很多學生沒有形成建模的意識，這導致學生解決數學問題效率低下，在數學學習的道路上感到困難重重。如果教師能夠有效引導學生通過建立數學模型解決數學問題，不僅能夠顯著提高學生的解題效率，還有助于提高學生自身的創造性，全面提升數學素養。下面，筆者將結合自己的實際教學經驗，探討指導學生學會數學建模的教學策略。

一、問題引導，興趣驅動

興趣是學習最好的導師，想讓學生學會數學建模，就必須使學生對數學建模產生興趣，用興趣驅動學習。那么教師如何才能做到興趣驅動？最簡單的辦法就是用問題引導，層層深入，引學生入“洞”。

比如筆者在對人教版高中數學必修1《函數模型及其應用》這一節內容進行教學時，為了指導學生學會建立具體某類問題的函數模型，筆者選擇了下面的例子：

例 1：已知 A、B 兩地相距 150 千米，某人開汽車以 60 千米/小時的速度從 A 地到達 B 地，在 B 地停留 1 小時后再以 50 千米/小時的速度返回 A 地，把汽車離開 A 地的距離 x（千米）用時間 t（小時）表示。

面對這道題，有學生困惑地表示：從題目已給的信息來看，汽車離開 A 地的距離不可能只用一個函數表達式表達出來，一定是題目設計有問題。學生對題目產生了質疑，這說明學生對這道題產生了興趣，筆者開始一步步引導學生思考：隨著時間 t 的不同，距離 x 與t 的函數表達式也不同，這道題需要分情況來討論：汽車到達 A 地所需的時間為150÷60=2.5 小時，所以當 0≤x≤2.5時，x=60t；汽車到達 B 地后停留了一個小時，這段時間距離不變，所以當 2.5

筆者和學生一起把各種可能的情況剖析完之后，才正式向學生介紹，前面所采用的分段討論法實際上就是分段函數模型的應用。通過拋出讓學生感興趣的問題，利用學生的困惑成功激發了學生學習的興趣與求知欲，為接下來的數學建模教學開了一個好頭，最終取得了良好的教學效果。

二、動手操作，加深理解

俗話說，眼過千遍不如手過一遍。這說明親自動手獲得的知識更深刻，筆者在指導學生學習建立數學模型的教學中，很多時候需要通過引導學生動手操作來加深對數學模型的理解。

比如筆者在對人教版必修3《古典概型》這一節的內容進行教學時，考慮到概率問題抽象難懂，因此筆者通過引導學生開展實驗，促進他們在動手操作過程中理解古典概型這一概率模型，強化其認知與記憶。

例 2：從含有兩件正品 a、b 和一件次品 c 的三件產品中每次任取一件，連續取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率。

（1）每次取出不放回；

（2）每次取出放回。

對于這一概率問題，筆者引導學生任意選擇手邊的三件物品分別代表題目中的兩件正品與一件次品。學生通過親自動手實驗找出所有可能發生的基本事件：當每次取出不放回時，可能的結果有（a，b）（a，c）（b，a）（b，c）（c，a）（c，b）共 6 個基本事件，其中有一次是次品的基本事件有 4 個，分別為（a，c）（b，c）（c，a）（c，b），所以概率為 P=4/6=2/3。當每次取出放回時，可能的結果有（a，a）（a，b）（a，c）（b，b）（b，a）（b，c）（c，a）（c，b）（c，c）共 9 個基本事件，恰有一次次品的事件有（a，c）（b，c）（c，a）（c，b）共4 件，所以取出的兩件產品中恰有一件次品的概率為 P=4/9。

這個問題是學生通過親自動手實驗解決的，通過這個實驗，筆者成功引入了古典概率模型，讓學生對古典概率模型有了初步的認識，使問題變得直觀易懂，即便之后學習了古典概率模型，通過這個實驗也能加深對該知識點的理解。動手操作加深理解的做法不僅營造了良好的課堂氛圍，還能有效促進學生積極參與教學活動，教學效果頗佳。

三、鏈接生活，激活體驗

說起數學建模，不少學生尚未了解就產生了畏難情緒，事實上，數學建模本質上是對實際事物或實際問題的抽象，學生只要聯系生活，逐一分析，就能建立起數學模型。因此，為了更好發展學生數學建模的創造性與靈活性，教師應當充分激發學生的認知體驗，通過鏈接生活，創設具體的生活情境，從而充分調動學生的思維。比如筆者在對人教版高中數學必修 5《數列》這一章節內容進行教學時，為了引導學生學會對實際問題進行分析并建立遞推數列的數學模型，筆者創設了與學生的實際生活有關的問題情境。

例 3：某女生打排球受傷，醫生囑服某種藥物。每粒藥丸含 220 毫克藥物，每8 小時服兩粒，連續服用 10 天。已知女生的身體每 8 小時吸收藥物的 60%，試問 10 天后，該女生身體中藥物的含量為多少？

首先，筆者和學生一起根據生活經驗分析這道題：設 8 小時為一個時間段，該女生第一次服用后體內藥物含量為 440 毫克，第二次服用后，體內所含的藥物分為兩個部分：第一次服用藥物后所吸收的 60% 以及新服用藥物 440 毫克。和學生一起分析之后，筆者指導學生嘗試建立遞推模型：設an 表示第 n 個時間段的藥物含量，則在an-1 應當為第 n-1 個時間段內藥物含量的60% 以及新服藥物 440 毫克的和，即an=60%×an-1+440。當把這個式子列出來之后，筆者即告知學生，這個式子就是一個數學模型，接下來利用迭代的方法求解出問題的答案即可。

一般來說，數列模型所涉及的數據都比較多，學生看到太多的數據很容易產生畏難情緒，教師只要在教學過程中將數學建模與實際生活相聯系，實現教學生活化，既能提高學生利用數學模型解決實際問題的能力，還與新課標的教育理念不謀而合。

四、借助電腦優化教學

隨著信息技術的不斷發展，計算機在教學中被廣泛應用，因此在數學課堂上合理地使用多媒體課件來創建數學模型，可以使教師傳達的信息豐富、翔實、具象化，從而調動學生的學習熱情，將學生迅速引入建模氛圍，提高課堂的教學效率。比如筆者在對《簡單的線性規劃問題》這一節的內容進行教學時，適當地借助電腦輔助教學。筆者在課上引導學生進行了習題練習，教學重點目標是引導學生學會通過分析問題情境，建立出線性規劃模型。

例 4：某工廠生產一種產品，其成本為 27 元/千克，售價為 50 元/千克。在生產中，每千克產品產生 0.3 立方米的污水，污水有兩種排放方式……

首先，學生可以通過分析題意找出其中的約束條件：設該廠生產的產量為x 千克/時，直接排入河流的污水為 y 立方米/時，①0≤0.3x-y≤0.9 ②y≤0.025 ③x≥0，y≥0，求如何生產與排污工廠效益最大，也就是求目標函數 z=106.55x-1436.3y 的最大值，據此學生通過分析建立了線性規劃模型。緊接著筆者讓學生對這一模型進行求解，在大部分學生計算出答案后，筆者利用電腦中的 EXCEL 軟件快速對這一線性規劃問題求解，得到結果為 x=3.75，y=0.09，從而快速檢驗學生的答案。

在上述教學活動中，筆者圍繞教學目標，著重關注學生的模型建立過程，對于模型求解則是通過借助電腦進行快速的檢驗，讓求解錯誤的學生課下重新求解，從而高效率地實現了教學目標。

綜上所述，教師在指導學生建立數學模型時，通過采用問題驅動、開展實驗、鏈接生活、借助電腦等策略，能夠有效發展學生的數學能力，培養自身創造性，提高其數學思維。總之，數學建模是數學中一種重要的思想方法，是運用數學的語言和方法去解決實際問題的強有力的數學手段，當代數學教師應當重視建模思想的滲透，通過采取各種高效的教學模式與方法，指導學生在建模中提升數學核心素養。

【參考文獻】

[1]封平華，李明振.高中數學建模教學策略研究[J].教學與管理，2013（24）

[2]周占杰.淺談數學建模及其在高中數學中的應用[J].遼寧師專學報，2007（4）

[3]劉海蓉.建模思想在高中數學教學中的滲透[J].基礎教育研究，2016（20）

（責編 韋 力）