分類討論以尋找數學解題突破口

羅錦

【摘 要】本文從“妙用參數，簡化函數問題；捋順事件，破解古典概率型問題；結合等比，認清數列公比；同化象限，巧解三角函數”四個方面論述分類討論思想在數學中的應用，以培養學生嚴謹的習慣，使學生能更準確地求解數學問題。

【關鍵詞】高中數學 分類討論 明晰化 條理化

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2017）07B-0157-02

分類討論的思想是數學中非常重要而且實用的思想，體現了數學嚴密性的特點。高中數學具有很強的目標性，對學生的要求為能夠解決大綱內的數學問題，因此，培養學生分類討論思想非常必要。分類討論是指在某些解題條件不確定時，通過逐條分析可能的情況，從而條分縷析地解決問題的過程。有時通過分類討論還能獲得一個統一的解。面對一些困難的問題，學生可能一時之間找不到巧妙的辦法，但是通過分類討論之后，就會撥云見日。

一、妙用參數，簡化函數問題

參數是代數式中待確定的未知量，對解決問題起著關鍵性的作用。參數既然是有待確定或者不能確定的，那么就不能當作已知條件來用，而是需要分析其在不同條件下對題目的影響，即進行分類討論。靈活處理函數問題中的參數，可以極大地簡化函數問題的解決過程。

函數有很多種類，但不管是哪一種種類，一般來說，當其中的參數發生變化時會影響函數的性質，甚至會使原函數產生本質上的變化。下面以一道題目為例。

至此參數式對函數的影響關系已經全部明確了，所有的可能情況加在一起得到嚴謹的結果，這是分類討論思想的具體應用。

在很多情況下，求解問題是沒有捷徑的，運用分類討論的思想將困難問題分解為幾個簡單的問題，從而實現由難到易的過程。分類討論雖然需要一個完整的過程，但是并不是將問題復雜化，而是把問題明晰化、條理化，更好地解決問題。

二、捋順事件，破解古典概率型問題

分類討論思想在概率問題中也得到非常廣泛的應用。概率類的題目中經常會出現各種各樣的事件，有些事件不能用同一種方法進行統計和分析，有的事件如選取的對象和方法不同結果也不同，因此需要進行分類討論。

以 2008 年的山東高考題目為例。

在一次奧運火炬的傳遞儀式中，有從 1 到 18 編號的 18 名火炬手。如果需要從這 18 名火炬手中選出 3 人，問能夠組成以3 為公差的等差數列的概率為多少。

此題屬于古典概率型題目，解題的思路也比較明晰。首先要計算出總的事件個數，即符合“從這 18 名火炬手中選出 3人”事件的總個數，然后從這個總個數中求出符合“組成以 3 為公差的等差數列”條件的事件個數，后者與前者的比值即為目標事件發生的概率。構成 3 為公差的等差數列這一描述很清楚，但是以 3 為公差的數列首項沒有確定，所以從 1 到 18 能產生的等差數列中元素的個數也就不能確定，因此本題目需要進行分類討論。首先明確基本事件的總個數，是從 18 個數字中選取 3 個，為 ，因為最終結果要求比值，所以這里不必將乘積計算出來。下面我們針對數列的首項進行分類討論。

古典概率型問題很簡單，僅僅是一個比值，但是古典概率型問題下的事件可能有難有易，需要因題而異。一些比較復雜的事件往往有很多種特殊情況，或者存在容易被忽略的情況，這時候就需要學生在解題時運用分類討論的方法，將題目的各種情況討論全面。

三、結合等比，認清數列公比

分類討論思想在等比數列中也有著很顯著的作用，基于等比數列豐富的變化情況，有時候需要進行分類討論。在等比數列中，有一種情況經常需要被單獨拿出來討論，那就是公比為 1時的情況。結合等比數列的題目，運用分類討論思想，可以認清數列公比。仍然以一道題目為例進行探究。

數列公比為 1 時將具有很多特殊的性質，因此這種情況一定要單獨討論。在很多時候學生會忽略討論，從而出現錯誤?？梢哉f，認清數列公比是考驗分類討論思想熟練度的一個指標。

四、同化象限，巧解三角函數

三角函數也是運用分類討論思想相對較多的一種函數類型，尤其是已知因變量求解自變量的過程。但是在很多情況下，三角函數的解題也可以避開分類討論，從而減少一些麻煩。所以說分類討論是一種很有用的數學思想，但是也不能盲目照搬。首先要考慮是否需要用到分類討論，然后才能應用。如果可以避免分類，那么就要用其他方法來求解，這也是運用分類討論思想的一種高級境界。

三角函數之所以需要進行分類討論，是由其周期函數的性質決定。三角函數描述了角度與三角函數值的關系，而角度在不同象限中對值的影響是不同的。不同的角度如果在同一象限滿足一定的數量關系，那么它的三角函數值也可能是相同的。因此，在一些有關三角函數的題目中，因為角度所在的象限不確定，所以經常需要進行分類討論，以確定三角函數值的正負、大小等。分類討論固然可以有條不紊地解出題目來，但是在實際的解題中也不能盲目地應用。如果能夠確定角所在象限，那么就可能不需要進行繁瑣的討論。例如下面這一道題目。

已知 a 在第一象限，，求的值。

如果以傳統的解法來解這道題目，勢必要將轉化為 和，或者說要通過 tana 來求解，但是無論如何，都要涉及在哪個象限的討論，而這個過程是比較復雜的，會浪費很多時間。為此，在求解時，我們可以避免的出現，將角度控制到第一象限的范圍中。題目中既然出現了二分之一，那么就需要考慮二倍角相關的公式。在本題中需要逆用一下，，通過這樣的演化，將待解函數統一到了一個象限中，避免了繁瑣的討論過程。所以有時候繞過分類討論，也是分類討論思想解題的一種策略。

高中數學中的問題各式各樣，有一些問題是非常側重技巧性的。技巧不是憑空而來的，需要在解題中慢慢沉淀，諸如分類討論等很多的數學思想，都不可盲目地套用，而是需要用實踐去深刻領會，逐漸地形成一種技巧。

綜合來說，分類討論是一種很穩健的解題策略，不論是在正常的情況下還是在思路不清的情況下，分類討論都可以將解題進行下去，不至于束手無策。在分類討論的過程中，思路逐漸明晰，一些巧妙、便捷的思路也可能會在討論中逐漸生成。

【參考文獻】

[1]樸希蘭，樸勇杰.分類討論思想在高中數學解題中的應用[J].教育教學論壇，2015（7）

[2]張方東.高中數學分類討論思想的應用[J].亞太教育，2015（8）

[3]劉祝蕓.關于分類討論思想在高中數學解題中的應用思考[J].經貿實踐，2016（19）

（責編 盧建龍）