淺談數形結合思想在高中數學解題中的應用

張飛飛

【摘要】偉大的數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休”，可見數形結合的重要性.本文從以數化形、以形變數和形數互變三個方面探討了數形結合在數學解題中的應用.通過對數形結合中三大類型的具體例題分析，將復雜問題簡單化，抽象問題具體化，可體會到使用數形結合方法解題更加簡單快捷.

【關鍵詞】高中數學；數量關系；數形結合

數學是研究現實生活數與形的數學，在我們的生活中充當著不可或缺的角色.而“數”與“形”是研究數學的基本，“數”與“形”的結合不僅僅是一種重要的解題方法，更是數學中的一種思想方法.一方面，可以借助圖形的特點、性質將很多抽象的數學概念及數量關系形象化、簡易化，給人直覺的啟發；另一方面，要獲得精確的結論，可以將圖形問題轉化為代數問題，這種“數”和“形”的相互轉化，不僅可以使一些題目的解法簡潔明了，因此，在解題中應當完整地理解.與數形結合有關聯的內容，善于應用數形結合來處理教材和例題.接下來我將闡述數形結合的三種方法以及這三種方法在解題中的應用技巧.

一、數形結合的方法

（一）以數化形

數題形解，借助形的生動性和直觀性來闡述數之間的關系，把數轉化為形，即以形作為手段，數作為目的的解決數學問題的數學思想.

（二）以形變數

形題數解，借助數的精確性和規范性及嚴密性來闡明形的某些屬性，把形轉化為數，即以數作為手段，形作為目的的解決數學問題的數學思想.

（三）形數互變

數形結合，不僅要想到“形”的直觀變為“數”的嚴密，還要想到由“數”的嚴密性聯系到“形”的直觀.

二、數形結合的應用

（一）以數化形的應用

1.圖形法

例1 某校高一5班有學生45人，每人在暑假里都參加了體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，三項都參加有多少人？

圖1

解 設A，B，C分別表示參加足球、排球、和游泳的人數，card（）表示集合元素的個數，則：

card（A）+card（B）+card（C）-card（A∩B）-card（A∩C）-card（B∩C）+card（A∩B∩C）=45，

代入得，25+22+24-12-9-8+card（A∩B∩C）=45.

解得card（A∩B∩C）=3，即三項都參加的有3人.

容斥問題在數學中較為常見，一般很難發現條件之間存在的聯系，但只要學會畫圖，利用數形結合把抽象的數字轉化為直觀的圖像，那么這類問題并非難以掌握.

2.圖像法

例2 （2016·高考山東卷）已知函數f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m， 其中m>0.若存在實數b，使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，則m的取值范圍是多少？

解 當m>0時，函數f（x）=|x|，x≤m，x2-2mx+4m，x>m 的圖像如圖2，當x>m時，f（x）=x2-2mx+4m=（x-m）2+4m-m2>4m-m2，

所以要使得關于x的方程f（x）=b有三個不同的根，必須滿足4m-m20），即m2>3m（m>0），解m>3，故m的取值范圍是（3，+∞）.

圖2

借助于圖像研究函數的性質是一種常用的方法，函數圖像的幾何特殊與數量特征緊密結合，體會了數形結合的特征與方法.討論方程的解的個數是高考考點之一，利用數形結合可以簡化思考過程，解決這類問題應注意兩點：

（1）討論方程的解，一般可構造兩個函數，使兩問題轉化為討論雙曲線的交點問題，但用此方法討論方程的解一定要注意圖像的準確性和全面性.

（2）正確做出兩個函數的圖像是解決此類問題的關鍵，數形結合應以快和準為原則，不要刻意去用數形結合.

（二）以形變數的應用

1.代數法

例3 在四面體S-ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=90°，SA=a，SB=b，SC=c，高SO=h.證明：1a2+1b2+1c2=1h2.

分析 因為SA，SB，SC已知，所以AB，AC，BC的長度，△ABC的面積S、體積V都可以通過a，b，c來表示，那么就可以驗證結論是否成立，剩下的就是計算的解題技巧.

圖3

證明 設△ABC邊上的高為AD，BD=x，則

CD=BC-x=b2+c2-x，

AD2=AC2-CD2=a2+c2-（-x）2，

AD2=AB2-BD2=a2+b2-x2.

即得x=b2b2+c2.

∴AD2=a2+b2-x2=a2+b2-b4b2+c2=a2b2+a2c2+b2c2b2+c2.

∴S△ABC=12a2b2+b2c2+c2a2，

V=h6a2b2+b2c2+c2a2.

另一方面，V=16abc.從而h=abca2b2+b2c2+c2a2.

如果解答一個幾何問題，用幾何方法的話較難解決，但是它的條件和結論都很容易用代數中的式子來表現出來，那么就可以把解決這個問題的過程轉為代數中的演算來完成.

2.三角法

圖4

例4 （2016·高考四川卷）已知正三角形ABC的邊長為23，平面ABC內的動點P，M滿足|AP|=1，PM=MC，則|BM|2的最大值是多少？

解 我們以A為原點建立直角坐標系，B，C兩點的坐標為B（3，-3），C（3，3）.由|AP|=1，可設P點的坐標為（cosθ，sinθ），其中θ∈[0，2π）.而PM=MC，即M是PC的中點，可得M點的坐標為

M3+cosθ2，3+sinθ2.則

|BM|2=3-cosθ22+33+sinθ22=37+12sinθ-π64≤37+124=494.即當θ=23π時，|BM|2取得最大值494.

在幾何解題中，有些不能簡單地用代數中的式子表現出來，對于此類型的題目，若能借助三角函數把這些幾何關系依據圖形的性質寫出式子，這樣就容易把圖形轉為對式子的運算以及討論.

（三）形數互變的應用

例5 （2017·合肥市一模）過雙曲線x2a2-y2b2=1（b>a>0）的左焦點F（-c，0）（c>0）作圓x2+y2=a2的切線，切點為E，延長FE交拋物線y2=4cx于點P，Q為坐標原點.若OE=12（OF+OP），則雙曲線的離心率為.

圖5

解 如圖5所示，設雙曲線的右焦點為F′（c，0），因為拋物線的方程為y2=4cx，則F′為拋物線的焦點.由于OE=12（OF+OP），所以E為PF的中點，|PF|=2b.又因為O為FF′的中點，則OE是△FF′P的中位線.因PF⊥OE且|OE|=a，則PF′⊥FP且|PF′|=2a.設P（x，y），由拋物線定義有|PF′|=x+c=2a，

則|PF|2=|FF′|2-|PF′|2=4c2-4a2.另一方面，|PF|=（x+c，y），則

|PF|2=（x+c）2+y2=4a2+4c（2a-c），所以4c2-4a2=4a2+4c（2a-c），整理得c2-ac-a2=0，即e2-e-1=0，解得e=5+12或e=1-52（舍）.

解決這類問題往往需要從已知和結論同時出發，認真分析找出內在的“形”“數”互變.一般方法是看“形”思“數”、見“數”想“形”，實質就是以“數”化“形”、以“形”變“數”.

數形結合作為一種重要的思想方法，它不僅是數學的基礎知識，還是知識的精髓，更是將知識轉化為能力的橋梁.因此，我們要注重方法的領悟、概括和總結，要重視數學思想在解解題中的應用.

【參考文獻】

[2]徐國央.數形結合思想在數學解題中的應用[J].寧波教育學院學報，2009（1）：115-116.

[6]柯愛超.“數形結合”創高效[J].內蒙古教育，2013（8）：34.endprint