如何求解高中數學函數最值問題

高靜源+高麗萍

【摘要】函數是高考中重點考查的知識點之一，也是我們高中學生主要學習的內容，要想獲得高分數就需要掌握函數解題方法.一直以來，函數最值問題是高考重點考查內容，所以如何求解函數最值就成為我們最關注的問題.基于此，文章將從高中數學函數最值求解方法入手，指出高中數學函數最值求解中需要注意的內容.

【關鍵詞】高中數學；函數；最值

通過對函數最值的研究可以發現，此類題目帶有較強的概念性與綜合性，要想學好該部分知識需要我們有良好的邏輯思維能力與分析能力.一般來講函數最值不會單獨存在，而是融合在三角函數、二次函數等題目中，但由于題型較多，每種題型在解題中需要采用不同的解題方法，且需要注意很多問題，如果我們不了解這些內容，很容易在解題中出現錯誤，影響最終的考試成績.所以，在解答此類題目的過程中就需要掌握好數學知識點，并運用合適的求解方法，只有這樣才能快速解題.

一、高中數學函數最值求解方法

在高中數學函數最值求解中，常用的方法有以下幾種：

（一）代數法

代數法是高中數學函數解題中比較常用的方法，其中主要包含了配方法、不等式解題法等.

首先，對于配方法來說，這是一種常見的解題方法，應用這種方法解題可以根據其形式確定，多為y=ax2+bx+c的模式.在下題中便可應用這種方法：

函數y=x2-4x+1，求x∈[1，4]的最大值.

在求解這樣的題目時，需要先轉變函數式，即y=（x-2）2-3，根據進一步分析得知，在x=4時，y=1；當x=2時，y=-3.

此類題目相對簡單，在遇到二次函數求最值時可以采用這樣的解題方式，不僅可以快速解題，還能保證解題正確.

其次，對于不等式法來說，這種方法需要被靈活應用到求最值的題目中，如在解答以下題目時可以應用：

x，y∈R，且滿足x2-2xy+y2-2x-2y+6=0，那么x+y最小值為多少？

通過觀察可以發現，該題目屬于求最小值的一種，所以在解題中可以運用不等式法，根據題目獲得如下內容：

設t=x+y，那么y=t-x，將其帶入到已知等式中可以得到4x2-4tx+t2-2t+6=0.

由于x∈R，進而得到Δ≥0，即Δ=16t2-16（t2-2t+6）=16（2t-6）≥0，經過計算得知t≥32，所以x+y的最小值也為32.

在解答此類題目的過程中應了解題目最終所求為何，并保證等號兩端的變化一致，切忌出現一端變化，另一端不變化的情況，否則很容易影響到最終的解題結果.

（二）向量法

向量法也是高中數學函數最值求解中一種十分常見的解題方法，要應用向量法解題就需要觀察函數結構，掌握函數結構模型，將函數最值問題轉變為向量問題，這樣就可以起到簡化的作用，也可以快速將問題解決[1].如在遇到下面的題目時則可以采用向量法解題：

若m，n分別代表兩個向量，且（m·n）2≤|m|2·|n|2，當（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2為最小值時，實數x，y的值分別為多少？

通過觀察可以發現，這樣的題目相對簡單，只要在解題中找到正確的解題方法即可，而最好且最快的解題方式為向量法，可以獲得以下內容：

令m=（y-1，x+y-3，2x+y-6），n=（1，-2，1），那么|m|2≥（-1+6-6）26=16，僅在y-1=x+y-3-2=2x+y-6時得出y=56，x=52，此時以上方程取得最小值.

這樣一來便可以將問題解決，值得注意的是，在解答此類題目的過程中應保證題目中給出的m值與n值均為定值，然后再巧妙的構造向量，這樣就可以將問題解決，且可以實現快速解題.同時，在解題的過程中還要熟悉向量與函數相關知識點，只有這樣才能解題正確.

（三）均值換元法

對于均值換元法來說，又可以被稱為輔助元素法，這種解題方法比較適用于帶有復雜性的因式分解題目中，隨著這種方法的運用可以將復雜的問題簡單化，這樣不僅可以降低解題難度，還可以提高解題速度.如在類似下面的題目中可以運用這種解題方法：

如，方程組為（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0，求其最大值與最小值.

通過觀察可以發現，該題目屬于一元四次方程，如果直接解題需要花費很長時間，運算量也很大，還容易出現求解錯誤，這時就需要應用到均值換元法.

設y=x2-2x，然后將y帶到原方程中得到如下內容：

y2-3y-4=0，通過計算可以得到兩種結果，即y=4或-1，將y再帶入到方程中，可以得到如下結果：

當y=4時，x2-2x=4，那么x值分別為1+5與1-5，

當y=-1時，x2-2x=-1，那么x值為1，所以，最終求解得出原方程根有三個，分別為1、1+5與1-5，由于該題目中求解的為最值，那么最終可以確定x的最小值為1-5，最大值為1+5，這樣便完成了題目解答.

在利用均值換元法解題的過程中應保證方程一端為可以分解的因式，另一端為0，只有這樣的題目才能用均值換元法，否則容易出現解題錯誤.同時在解答此類題目的過程中還需要重視注意多值的情況，并不是所有的函數解題中只有一個或兩個答案，像以上題目有三個答案，但值得注意的是如果在求最值的問題中不可能出現第三個答案.

（四）判別式法

在高中數學最值求解中，直覺也是一種很有效的解題能力，在解題過程中可以根據自己的直覺了解解題方法.在觀察題目的過程中，往往會根據自己的感覺判定解題方法，這就是所謂的判別式解題法.如在解答以下題目的過程中則可以利用這種解題方法：

函數y=（x2-3x+4）（x2+3x+4），其最值為多少？endprint

通過觀察可以發現，這是一道求最大值和最小值的題目，要解答這道題目應先按照以下思路進行：

首先，分母不能小于等于零，否則題目便沒有意義，那么x2+3x+4>0，此時可以確定函數定義域為x∈R，經過進一步求解得出（y-1）x2+（3y+3）x+4=0，而后得到當y=1時，x=0，當y≠1時，17≤y≤7，所以得知，y的最小值為17，最大值為7.

在解答此類題目的過程中一定要觀察好題目要求，看所求為最大值還是最小值，一般求最值的題目需要將最大值與最小值一同求出，切忌只求一個值，只有這樣才能解題正確.同時，還需要觀察分母的性質，分母不能為小于等于0，只有考慮到各種因素才能最終求得正確答案，進而完成題目求解[2].

二、高中數學函數最值求解需關注的要點

（一）把握定義域問題

在數學函數最值求解中，為保證解題正確，還需要注意定義域范圍，如果沒有注意到這一點，很容易出現求解錯誤.所以，在閱讀題目的過程中應先了解題意，明確定義域范圍，并在該范圍內取值，超出該范圍內的數值均不要.如在求解下面這道題目時就需要注意這一點：

函數y=1-xx-2的最值為多少？

在解答這一題目的過程中，如果沒有注意到定義域，那么就會出現解題錯誤.一般來講，在解答此類題目的過程中需要通過兩邊平方與去分母相結合的方式，進而得到以下內容：

y2x2-（4y2-1）x+4y2-1=0.

由于x∈R，所以，經過進一步分析得到Δ=（4y2-1）2-4y2（4y2-1）≥0，在將改方程簡化以后得到4y2≤1，求得-12≤y≤12，此時就需要注意原函數中給出的定義域，如果沒有注意到這一點將得出y最小值為-12，最大值為12.但在這一過程中忽視了原方程中定義域x≤1，這樣就影響了最終的求解結果，如果能夠注意到這一點將獲得不一樣的結果.由于x≤1，所以，1-x≥0，x-2<0，進而得出y≤0，那么該方程的最小值為-12，最大值為0.

通過這道題目可以看出，是否把握好定義域對函數最終求解結果有很大影響，如果此類題目以解答題形式出現，即便最后所得結果錯誤，閱卷教師也會根據前面的解題結果給一些分數.但若出現在填空題或選擇題中，閱卷教師只會根據最后的結果定分，這樣的題目往往需要將結果填在一個空格內，只要空格內一個結果錯誤，那么將丟失全部分數[3].在數學解題中不要輕易丟掉任何一分，尤其是在考試數學答題中，丟掉一分可能落后幾十名，所以在數學函數最值求解中一定要考慮到方方面面，盡可能避免分數丟失.

（二）注意值域問題

在高中數學函數求解中還需要注意值域問題，如果在解題中輕視了值域問題的考慮，也容易造成分數丟失，進而影響到考試成績.如在解答以下題目的過程中應注意值域問題：

求y=x2-2x2+1的最大值與最小值.

通過觀察可以發現，在解答此類題目的過程中需要先將該方程變形，變形后得到如下內容：

（y-1）x2+（y+2）=0，由于x∈R，所以容易得到Δ=-4（y-1）（y+2）≥0，如果輕視了值域問題，經過計算可以求得-2≤y≤1，那么y的最小值為-2，最大值為1.為求證最終求得的結果是否正確，將y=1帶入到原方程中得到x2-2x2+1=1，通過分析可以發現，這個方程是無解的，所以可以斷定y的最大值為1是不存在于函數值域中，那么y∈[-2，1），由此可以了解到在該函數中，y的最小值為-2，但并沒有最大值.如果在解答該題目的過程中只運用判別式法求解，很可能出現y最值被擴大的情況.

通過對以上函數的分析可以發現，在函數最值解題中應重視值域的分析，如果輕視了值域，很容易出現求解錯誤，所以，在實際求解中一定要做好值域分析，只有這樣才能求解正確.同時，此類題目也是數學函數考試中比較常見的類型，且需要注意的問題有很多，輕視了任何一種因素都可能出現計算錯誤，影響最終的考試成績，所以，在數學函數解題中一定要細致觀察，考慮多種可能性，這也是取得最好結果的方式.

（三）對參變數的約束條件予以把握

在函數最值求解中還需要注意對參變數約束條件的把握，此類題目中多存在參變數，在實際計算中，需要將問題變為參數的二次函數，如果輕視了對這一問題的分析，很容易出現求函數最值解題錯誤的情況.如在解答以下題目的過程中應注意對參變數約束條件的把握：

若x≥1，y≥12，x+2y=4，那么x2+y2的最值為多少？

如果在解答該題目的過程中，根據x+2y=4可以設1≤x≤3，12≤y≤32，那么將兩者平方后分別得到1≤x2≤9，14≤y2≤94，那么根據這一結果可以得到114≤x2+y2≤1114，經過分析得到（x2+y2）最小值為114，最大值為1114，通過進一步分析可以發現，為滿足x≥1，y≥12的條件，那么在x2+y2=114時，x只能等于1，y只能等于12，但這一結果無法滿足x+2y=4這一條件，所以可以判定114并非為x2+y2的最小值，同樣，根據這樣的計算也可以發現1114也非x2+y2最大值.

通過仔細分析可以發現，之所以會出現這種錯誤，問題主要出在了不等式變形上，而輕視了同解變形.所以，在求解此類題目的過程中應盡可能少在不等式中運用四則運算，同時還需要認識到等號成立條件.這也對參變數約束條件掌握不到位的體現，因此，在實際解題中應加大對以上問題的分析與重視，只有這樣才能保證解題正確.

（四）注重判別式的使用

在利用判別式法求函數最值的過程中需要考慮多種因素，否則很容易在求解中出現差錯.如在解答以下題目的過程中就需要注意到這一點：

已知函數y=1-sinx2-2sinx+sin2x，求其最大值與最小值.

在解答此類題目的過程中，很多學生會采用以下的方式解題：

先將函數轉變為ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0，由于sinx∈R，那么Δ=[-（2y-1）]2-4y（2y-1）≥0，并求得（2y+1）（2y-1）=0，最終得出y的最小值為-12，最大值為12.

通過研究該題目可以發現，該題目錯誤發生在Δ≥0后只看到了ysin2x-（2y-1）sinx+2y-1=0中存在實根，而沒有看到實根應為[-1，1]范圍內，將所得結果帶入到原函數中可以獲得如下結果：

當y取最小值-12時，函數方程為sin2x-4sinx+4=0，經過求解得知sinx=2，這并不屬于[-1，1]，所以不能認定該函數的最小值為-12，最大值為12，而是要做好y值的檢驗，只有這樣才能了解所求是否正確.

總的來說，在函數最值求解的過程中需要注意很多問題，輕視了任何問題都會影響最后的求解結果.

三、結束語

通過以上研究得知，在高中函數最值解題中可以采用的解題方法有很多，需要我們注意觀察題目要求，采用正確的解題方法，同時還需要關注定義域、值域等約束條件，這些都對最終求解是否正確有一定影響，如果輕視了這些內容很容易出現解題錯誤，因此，文章聯系實際情況提出了一些行之有效的解題措施與注意事項，希望我們高中學生在解題中牢記以上內容，只有這樣才能降低丟分概率，并在高考中取得好成績.

【參考文獻】

[1]韋玉球，劉立明.中學數學求解最值問題的方法探尋[J].教育教學論壇，2014（49）：203-205.

[2]馮愛銀.利用導數求解函數零點的變式教學探討[J].課程教學研究，2013（4）：51-55.

[3]楊梅.三角函數最值問題的解題策略[J].科技資訊，2015（33）：134-136.endprint