淺談高中數學分類討論思想的應用

袁禾英

摘要：高中數學中一種非常重要的思想方法就是分類討論思想，其貫穿于整個高中數學的學習進程中，并且是考試大綱中指明一定要考查的數學思想方法之一，也是高考數學考試中的難點與熱點，因為學生大多不知道應當在哪種情況下運用何種方法，如何運用這種方法，最后又如何綜合這些分類討論結果。在高中數學課程教學中，教師需要注重采用全新的課堂教學思想，分類討論思想是一種運用比較普遍、行之有效的解題方法，其能夠幫助學生解決考試中的難點問題，分類討論的解題方法要求把問題劃分為不同部分，通過綜合研究各個部分，然后在解決各個部分的問題基礎上，解決整個數學問題。本文針對分類討論思想在高中數學教學中的應用展開了深入研究，并提出了相關策略。

關鍵詞：分類討論思想;高中數學;教學;解題數學

中圖分類號：G633.6? ?文獻標識碼：A? ?文章編號：1992-7711（2018）12-0015

在新實行的新課標下，《高中數學課程標準》中明確指出高中生要能在觀察、比較、綜合、概括、分析和抽象的基礎上，清楚地知道自己的思想和觀點，從而有效提高學生的高中數學素養。分類討論思想在高中數學中占據著比較重要的位置，且具有較為明顯的邏輯性、探索性和綜合性，其注重學生思維的縝密、嚴謹和條理，旨在解決數學問題的時候能夠化繁就簡、分類處理，這能有效提高學生分析數學問題和解決問題的能力。

一、 分類討論思想的簡介

分類討論思想是指依據高中數學本質的相同性和差異性，把數學的研究對象化分為各種不同種類的一種數學思想。分類討論思想以比較為基礎，比較是分類的前提，而分類是比較的結果，不同的分類需要采用不同的標準，而不同的標準處理會獲得不同的結果。學生在解題過程中要加強縝密性訓練，做到分類不遺漏和不重復。正確分類后，分別對每個類別內容進行研究，使得不同情況下的問題得到正確解答。而討論就是要在各種不同情況下討論出不同的解答方式和結果。學生要有比較好的能力才能正確運用分類討論思想，教師應當在課堂上有意識地幫助學生深化這一方法，并要求學生在平時的做題中要有意識地運用這一解題方法解題，逐漸讓學生掌握這一方法的具體應用，并有效幫助學生克服盲目性和隨意性，從而提高學生的綜合學習能力。

二、在高中數學基礎內容教學中不斷滲透分類討論思想

在傳統高中數學課堂教學模式中，主要以教師為中心來開展“填鴨式”“灌輸式”的課程教學活動，教師在講解書本教材內容時需要占用大量時間，這也就導致其他教學方式的應用無法獲得充足的時間。在高中數學教學中滲透分類討論思想，必須保持循序漸進的過程，逐漸引入分類討論思想，逐漸給學生灌輸分類討論思想，才能對學生的行為產生影響，使學生逐漸掌握分類討論思想，并學會運用分類討論的方式解決數學問題。如在探索“直線和圓的位置關系”的問題時，教師可以提出問題：“哪位學生能夠說出圓和直線的幾種位置關系呢？”在問題提出之后，部分學生會回答道：“圓和直線有相交、相切和相離等等三種不同的關系?！痹谶M入這一步之后，教師繼續提出問題：“如何判別圓和直線的三種關系呢？”學生將會回答道：“通過應用直線方程ax+bx+c=0以及圓型方程x2+y2+dx+f=0來進行聯合求解。”在求解的過程中，根據所得的結果能夠準確得出結論，如果出現兩個不一樣的實數解，兩者屬于相交的關系，如果得出一樣的實數解，兩者屬于相切的關系，如果無法得出實數解，則屬于相離的關系。除此之外，學生在回答這一問題時，也可以通過直線距離d和圓的半徑r兩者間的關系進行準確判斷，發現d大于r，那么屬于相交的關系，如果d小于r，那么屬于相離的關系，如果d等于r，那么屬于相切的關系。因此，教師需要對兩種方法進行分類總結，分別引導學生針對不同的類別來進行討論，才能得出更加準確的結果，也能給學生建立分類討論思想意識。

三、科學分類，選擇合適的分類標準

在高中數學教學中運用分類討論思想，科學分類至關重要。例如：在集合A劃分為多個非空真子集之后，Ai（i=1、2、3...n）（n≥2，n∈N+），那么在集合A里面的各個元素都應該屬于同一個子集，也就是處于這樣兩種關系：第一，A1∪A2∪A3∪...∪An=A;第二，Ai∩Aj=φ（i，j∈N+，且i≠j）;那么從中我們可以發現，其把集合A分別進行了分類，在科學分類的過程中，必須保證不能出現遺漏的問題，而且在分類時不能出現重復的問題，也就是達到不重不漏的目的。在采用分類討論思想時，需要深入理解題目含義，結合題目給出的條件，合理分類。在高中數學教學中如果確定完成分類討論的內容，那么需要選擇合適的分類標準，才能達到良好的分類討論效果。

四、重視分類討論思想的集中類型教學

在高中數學教學中，針對許多特定題型，需要集中運用分類討論思想，才能達到良好的解題效果。教師在分類討論思想教學之前，必須學會總結與劃分題目類型，根據知識類型給學生講解分類討論思想的運用方式，才能讓學生熟練掌握解題方法。通過研究發現，在高中數學教學中運用分類討論思想主要集中在這樣幾大題型：第一，函數計算類題目;第二，概率、數列類題目;第三，三角形邊、線以及圓的位置相關的題目，在解答這些數學題目時，需要充分運用分類討論思想，才能準確解答數學問題，在解題過程中，需要注意避免產生“漏解”的問題。

總而言之，在高中數學教學中需要逐漸滲透分類討論思想，科學分類、選擇合適的分類標準，重視集中類型教學，建立完善的分類答題體系，這樣才能提高解題正確率，教師也要進行合理引導，逐步讓學生掌握分類解題方法，有效培養學生的邏輯思維能力和解題能力，提高高中數學考試成績。

（作者單位：江西省宜春市宜春中學 336000）