轉化思想在高中數學中的運用

歐陽昱燾

摘要：如今，高中數學知識的涵蓋范圍在增大，考查程度在加深，題型也更加多變，題海戰術已經不適合現階段的學生學習。轉化思想就是把問題從某一種形式轉化為另一種形式，在諸多數學解題思想中，它是一種重要的思想方法，有助于學生運用已知的題目解決未知的問題，從而減輕學習負擔，加深對數學知識的認識。

關鍵詞：高中數學 ? 轉化思想 ? 運用

由于初中數學知識較少，考點比較單一，題型固化，學生用統一的思維模式去學習即可應對考試。但是，高中數學不僅知識量增多了，獨立性增強了，而且比初中課程的學習難了許多，如果學生一味地做題，而不用數學方法去解決新的問題，將嚴重影響學習效率。轉化思想正適用于高中數學的解題，它可以將抽象問題轉化為具體問題，將復雜問題轉化為簡單問題，將沒有做過的題目轉化成會做的題目，以幫助學生減輕負擔，提高數學學習成績。

一、轉化思想在圓錐曲線中的運用

圓錐曲線是近年來高考數學的核心內容，所占分值較多，且解題難度較大，是很多學生最頭疼的部分，而其解題難點在于如何將圖形問題轉化為數學問題。

例題1：在平面直角坐標系中，

橢圓的方程為，以原點

為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為

，求橢圓上的點到

直線距離的范圍。

解答：將化為參數方

程，（θ為參數），直線

的普通方程為，橢圓上點P（，）到直線

的距離為

，最大值為，

最小值為，所以橢圓上的點到直線距離的范圍為[ ， ]。

在這一道例題中，學生需要先將橢圓的直角坐標方程轉化為參數方程，再將橢圓的參數方程帶入直線方程。接下來是很多學生容易出錯的地方——求帶參數的距離公式的最值。實際上，這就是求三角函數最值的問題。

二、轉化思想在不等式中的運用

不等式的問題一般是高考最后一題的最后一問，它的重要性不必多言，這道題目是拉開學優生與普通學生的關鍵。下面，筆者以2018年河北省高考數學題為例，對這一問題進行分析。

例題2：已知函數f（x）=-

x+aInx，且知若f（x）在

單調遞減，在

單調遞增。若

f（x） 存在兩個極值點x1，x2，證明：

。

解答：由題目可知，當且僅當 a>2時，f（x）存在兩個極值點。

由于f（x）的兩個極值點x1，x2滿

足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，設x1<

x2，則x2>1。而

，所以等

價于-x2+21nx2<0。

設函數g（x）=-x+2Inx，由題

目可知，g（x）在（0，+∞）單調遞減，

又因為g（1）=0，從而當x∈（1，+∞）時，g（x）<0。

所以，即

。

剛看到這道題目時，很多學生會感到毫無頭緒，因為他們對高考數學最后一題具有天然的畏難情緒，導致他們對題目不敢下手。其實，解題的關鍵在于將不等式的問題轉化為利用導數求最值的問題。若等式左邊的最大值比右邊小，則

成立。

三、轉化思想在三角函數中的運用

三角函數在高中數學中運用廣泛，因其公式較多，解題方法多變，很多學生將其視為洪水猛獸。運用轉化思想，實現正余弦函數的相互轉化是解題的關鍵。以2018年北京市高考數學題的其中一問為例，解析轉化思想在三角函數中的運用。

例題3：在△ABC中，a=7，

b=8，cosB=- 。（Ⅰ）求∠A;

解答：在△ABC中，

∵cosB=- ，

∴B∈（，π），

∴sinB=。

由正弦定理得

=，

∴sinA=。

∵B∈（，π），

∴A∈（0，），

∴∠A=。

在解這道題時，學生應先將正弦函數轉化成余弦函數，再運用正弦定理求得∠A的正弦值。因為正弦函數在第一、第二象限的值都為正數，所以需要先判斷∠A是鈍角還是銳角，再得出結論。此題中已知∠B為鈍角，所以∠A為銳角，進而求得∠A= 。

四、轉化思想在概率計算中的運用

近年來，概率計算問題一直是高考數學必考的大題，該題型更側重于考察學生的邏輯思維能力和分類能力。但是，一些題目要求分類繁多且不能有遺漏，難度過大，這時可以運用轉化思想，將困難的、種類繁多的問題轉化為簡單、容易計算的問題。下面，筆者列舉其中一種題型進行說明。

例題4：甲、乙、丙三人進行射擊且只射擊一次，已知每個人擊中目標的概率都是0.7，試計算至少有一人擊中的概率。

解答：設事件A為甲擊中目標，事件B為乙擊中目標，事件C為丙擊中目標。則至少有一人擊中的概率為：

這道題如果按照題目要求直接分類計算，需要分別算出有一人、兩人、三人射中目標的概率，且如果三人射中目標的概率不相等，則計算有一人射中目標時又需進一步分類甲、乙、丙射中目標的情況;計算兩人射中目標時，需要分甲乙、乙丙、甲丙射中目標的情況。如果學生直接計算，極有可能分類不全，這時就算思考全面，在計算時也容易出錯。轉化思想在這一問題上的優勢就尤為突出，如果將“至少有一人擊中”轉化為“1-對立事件”，則只需計算“一個人都沒有射中”的概率，就可得出答案。

五、結語

文中列舉了轉化思想在高中數學中不同方面的運用，主要包括圓錐曲線、不等式、三角函數、概率計算這四個方面的運用，旨在體現轉化思想在解題過程中化繁為簡、化抽象為具體的重要作用。在諸多數學解題思想中，轉化思想的重要地位不言而喻。在平時的考試和復習總結中，高中生應該注重分析和糾錯，擅于發掘題干中不同條件之間的相互關聯，反復訓練轉化思想在解題中的作用，以提高解題效率和解題準確度，達到提高學習成績的目的。

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（作者系長沙市長郡濱江中學1606班學生）