高中數學典型考題和解題思路分析

劉永榮

【摘要】本文簡述了高中數學的特點，淺析了當下高中生對典型數學考題的掌握情況，并探析了數學典型考題和解題思路，尤其是函數和導數方向的典型考題和解題思路，以期為高中數學教學提供借鑒.

【關鍵詞】高中數學；典型考題；解題思路

高中數學是高中教學課程的重要學科，其涉及了諸多領域，涵蓋了豐富的知識，極具抽象性和復雜性.為提高高中數學教學水平，有必要對高中數學典型考題和解題思路進行分析.

一、高中數學的特點

高中數學具有以下特點：（1）高中數學知識抽象性較強.高中數學知識中，抽象的數學知識內容較多，且具有復雜的邏輯性[1].不同于初中數學知識的具體性，高中數學知識的抽象性增加了學生的理解難度.（2）高中數學具有較大的知識密度.高中數學知識涉及諸多知識領域，具有廣闊的知識覆蓋面和眾多的知識點，知識密度極大.（3）高中數學知識具有較強的獨立性.高中數學教材各章節的知識內容，大多具有較強的獨立性，各章彼此獨立，對學生的多樣化思維要求較高.

二、當下高中生對典型考題的掌握情況

高中數學典型考題，涉及較為廣泛的知識領域，主要包括函數知識、三角函數知識以及導數知識等[2].考察最近幾年的高考數學試卷，對其典型試題進行分析研究并整理匯總，編制成一套包含各種典型數學問題的試卷，重點對函數知識包括函數單調性、周期性規律、三角函數知識包括圖像轉換和恒等變化規律、數列知識、導數知識，包括其幾何意義等進行測試.將該套試卷發給某校500名高三學生，測試結果顯示成績優秀的學生僅占20%，及格學生占50%，不及格學生占30%.分析高三學生對典型考題掌握的具體情況，發現對于函數知識，諸如函數定義域的應用，以及三角函數等知識，學生掌握情況較好.對于導數知識等領域，學生的掌握情況存在欠缺.

三、數學典型考題和解題思路分析

（一）函數方向典型考題和解題思路

通過對學生進行典型考題測試，并分析其統計數據，發現多數高中生對函數知識的掌握情況不甚良好，主要體現在函數的單調性問題以及函數圖像問題等方面.對于函數知識中，考查函數的奇偶性及應用的典型問題，要牢固掌握函數奇偶性的規律，并熟練運用方程思想進行求解，在求解過程中，要小心謹慎，避免計算失誤.

例1 已知某函數g（x）是偶函數，函數f（x）是奇函數.f（1）+g（-1）=4；f（-1）+g（1）=2，求g（1）.

解題思路 該考題，對函數的奇偶性及其應用進行了考查，對該考題的解答要充分利用函數的奇偶性知識，并靈活運用方程思想，對上述習題中的兩個方程進行消除，最終得到答案g（1）=3.

例2 某函數表達式為f（x）=e2+4x-3，求該函數零點所在的區間.

解題思路 對于求解函數零點所在區間的典型習題，通常要考慮以下三種解題思路，分別是函數零點的存在性定理、數形結合思想、方程思想[3].高中生對于此類典型的數學考題，不應局限自己的思維方式，當采用某種解題思路受到阻礙，采用某種解題方法沒有效果時，要對數學思維進行靈活的轉換.當然，解答此類函數典型考題，基礎是牢固掌握函數相關知識，尤其是函數零點存在性定理的相關知識，并在此基礎上掌握并靈活運用函數零點解題技巧.巧妙結合數形結合思想和方程思想，形成清晰的解題思路，完美解決此類問題.

（二）導數方向典型考題和解題思路

導數知識是高中數學知識的重要組成部分，也是高中數學知識的一個難點.對高中生進行典型考題測試的統計結果顯示，多數高中生缺乏對導數知識的良好掌握，在解答導數方向的典型考題時，往往茫然失措，毫無頭緒，無法形成清晰的解題思路.究其原因，在于多數高中生沒有良好掌握導數的基本知識，無法在解題中有效應用導數知識.因此，有必要對導數方向的典型考題進行分析，并探究其解題思路.

靈活運用導數知識，能方便快捷地解決導數數學問題.通過導數知識實現對函數單調性的有效判斷，牢固掌握導數基礎知識，熟練應用導數相關概念，對于強化高中生的數學思維能力，形成清晰的解題思路具有重要的意義.

例3 某函數f（x）=x3+ax2+x+1，a∈R.（1）求該函數的單調區間.（2）假定該函數在區間-23，-13之內是減函數，求解a的取值范圍.

解題思路 對于該典型習題，要靈活運用導函數的數形結合思想，明確f′（x）≤0對于任意的x∈-23，-13 恒成立的區間單調性變化.對該習題第一問的求解，要明確該函數導函數的開口情況，該導函數開口向上，且是二次函數，進而導出Δ=4（a2-3），分別從三種情況來考慮該函數問題，即Δ>0的情況，Δ<0的情況，以及Δ=0的情況.對函數的求解公式進行進一步的轉化，取得“x1=-a-a2-33”“x2=-a+a2-33”“-33或者a<-3時，f（x）在（-∞，x1），（x2+∞）上是增函數，在（x1，x2）上是減函數.依據此思路，實現對該類型導數問題的解答.

四、總 結

綜上所述，高中數學知識具有較強的抽象性和獨立性，其知識點密度較大.對高中學生進行典型考題測試，其統計結果顯示，多數高中生對函數和導數知識領域的掌握情況還有待提高.因此，高中數學教師要在教學實踐中，鞏固學生的函數和導數知識基礎，向學生分析函數和導數方向的典型試題和解題思路，實現教學水平的提高.

【參考文獻】

[1]曾國元.高中數學典型考題與解題思路研究[J].教育，2016（12）：205.

[2]胡玉靜.數形結合思想在高中數學教學中的應用與分析[D].信陽：信陽師范學院，2015.

[3]蘇文婷.高中生對典型數學問題解法的掌握研究[D].烏魯木齊：新疆師范大學，2016.