論數學思維的培養

尚葦杭

【摘要】數學思維已經成為人們生活與發展的重要基礎思維方式之一.建立數學思維模式，既要提高數學意識，又要建立數學文化.數學文化是認識并適應現代社會的重要文化因素.

【關鍵詞】數學思維；數學文化；數理邏輯；數學意識

數學思維是一種經過系統培養建立起來的邏輯嚴密的推導能力，是人類在感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法.在我們的基本知識學習階段如從小學到高中，數學思維的培養，建立了我們認識客觀世界、適應現代社會各種社會規則、理解現代科學技術與生活關系的基本認識論體系.

一、數學思維與現代社會生活

現代社會生活中，從生活理財到職業規劃，以至于對現代社會的社會管理等方面的理解，都離不開邏輯周密的數學思維.如在城市中駕車穿行，如何才能在最短的時間內到達目的地，雖然我們完全可以通過導航儀來實現，但是導航儀對一些突變情況或人為因素無法及時規避.而如果乘坐多種交通工具銜接轉車，更是需要相對精確的路線設計和時間考量.如就醫、購物、保險購買等生活必不可少的事務的辦理，數學思維的養成更顯得非常重要.對現代醫學的先進性及其局限性與人類身體復雜性之間矛盾的理解，就必須具備嚴密的數學思維能力.如，出行道路的限速問題，不僅僅涉及城市的交通管理，其背后所包含的是道路設計的一系列技術數據，我們所經常習見的快速路、主干路、次干路、支路、匝道等，其通行能力是不一樣的，《CJJ37-2012城市道路設計規范》有明確的技術設計指標規定：

道路等級快速路主干路次干路支路

設計速度（km/h）1008060605040504030403020

了解了這些數據，我們對不同等級道路的限速等問題就有了更為明確的認識，只有知其然并知其所以然，才能在自我認知系統中建立起清晰的邏輯線.一旦碰到類似的社會問題，基本的邏輯概念結構就會啟動我們的自我約束機制，減少不必要的矛盾和社會資源的浪費.

二、如何破解數學思維障礙

在學習數學的過程中，發現很多數學問題，自己看似明白，也覺得答案就在眼前，但就是不能在數學題與答案之間建立起推導步驟來，這就是數學思維的一些障礙性因素在起作用，如果我們建立了良好的數學思維能力，這些問題就會舉一反三、迎刃而解.

對不少數學問題的解答，并不是因為這些問題的解答過程太難，而是我們的思維形式或結果與具體問題的解決存在著差異.教師曾舉過一個解題的例子，要求學生證明：如，|a|≤1，|b|≤1，有相當一部分的學生是通過三角代換來證明的（設a=cosα，b=sinα），理由是|a|≤1，|b|≤1（事后統計這樣的學生占到近20%）.這恰好反映了學生在思維上的障礙，把兩個毫不相干的量（a，b）建立了具體的聯系.

數學思維的障礙，其實也往往就是我們在社會生活中的存在的認知障礙之一.只有通過不斷的學習，才能建立打破障礙的邏輯通道.在應對社會問題的過程中，這種因為數學學習而建立起來的知識結構和邏輯體系，作為一種舊的支點，就有利于我們循著數學思維的路徑，來接納或吸收新知識，來認同和適應新規則.

三、從數學意識到數學文化

建立數學思維模式，涉及兩方面的問題：一是數學意識的提高，二是數學文化的構建.數學意識不是被動的，而是在長期的數學訓練過程中，需要個體主動去選擇的一種思想意識.這不是簡單的技能問題，而是深植于思想深處的邏輯結構.如下面教師層層設計的題：（1）求出下列函數在x∈[0，3]時的最大、最小值：y=（x-1）2+1，y=（x+1）2+1，y=（x-4）2+1.（2）求函數y=x2-2ax+a2+2，x∈[0，3]時的最小值.（3）求函數y=x2-2x+2，x∈[t，t+1]的最小值.

設置這道題的目的就在于激發學生的探索熱情，主動探索永遠要比機械計算和被動應對更為關鍵，這是提高數學意識的主要途徑.具體到社會生活中，對于前沿知識和精確數據的掌握更是現代生活必不可少的技能.如城市路網的設計就需要考慮到多方面的數據，在不同的地域、氣候條件、交通環境，有著不同的數理關系.僅僅是“道路服務水平”這一個小項，就涉及交通量、行駛時間、行駛速度、步行自由度、交通中斷應對能力、路面透水能力等復雜數據.如果沒有非常敏銳的數學意識，就很容易忽略一些不同因素的數據關系，為道路建設留下后患.當然，僅僅有數學意識是不夠的，我們不能把數學僅僅理解為一種工具，數學的有用性，不僅體現在人們生活和勞動實踐的各個領域，更重要的是，數學是人們認識世界、改造世界的重要而不可或缺的工具.數學具有強大的育人功能，它是培養人的思維能力的最佳訓練手段.人的抽象能力、邏輯能力、形象思維能力（幾何）、直覺能力的培養，都需要數學思維作為基礎和手段，所以數學又被稱作是“思維的體操”.從這個意義上講，數學也是一種文化，是人類文化的一部分，是我們認識并適應現代社會的重要文化因素.因此，培養和建立成熟的數學思維，就顯得尤其重要.

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