平行線“遇見”角平分線及三角形內外角平分線在解題中的初步研究

楊欽娜

摘 要：在初中數學教學中采用七巧板教學法有利于學生綜合素質提高。由于事物可看做是各部分之和，故可各個擊破，逐一求解這種常規解題，但同時也有許多問題，把各部分看做是一個整體，遷移觀點，用整體的思想，方法來求解，能達到化難為易，化繁為簡，出奇制勝的效果。在七巧板教學法實施過程中，教師需提前做好課前準備、精心設計教學內容、改良教學評價體系，提升自身對于數學板塊教學的認識，從而提高初中數學教學的質量。

關鍵詞：七巧板教學法；初中數學教學；有效應用；角平分線與平行線；三角形內外角平分線

前言

“七巧板”中的一塊就是數學中的一個知識點，把各個板塊綜合，即把各個階段所學的知識、知識的各個方面緊密聯系起來，加深對知識的理解，認識和體會數學是一個整體，但更重要的是可以起到以一當十，解一道題懂一類題，提高效率的目的，激發學生的學習興趣、創新意識和探索精神，培養他們的創新能力，學會學習。七巧板教學作為體現新型課程的重要方式，應得到教師的重視與關注，教師應針對這種教學的實施與創新進行深刻的思考。

數學是一門連貫性的學科，在學習每一個章節和知識點的時候都需要重視學習的緊密性，如果某一個章節的知識點沒有鞏固到位，學生積累的問題就會越來越多，學習數學的難度也會越來越大。有些學生并非是不想學好數學，而是在學習的過程中找不到適合的學習方法，不能夠真正的將數學重難點知識理解到位，積累的問題也在學習中越來越多，這樣導致學習數學難度更大。

學生在學習數學中常見的兩種現象：

一、學生課上聽得明白，課后練習作業會有一些的錯誤，老師指出錯誤后，大部分也能自已改正.但數周后，發現這部分知識的掌握又退步了.

二、通過努力，基礎知識部分掌握的還可以，但一遇到有綜合性的、略有難度的問題，便不知如何下手，看答案也基本上能懂. 但自己很難獨立完整的解決一道綜合題，在考試中，靠后面的綜合題的得分總是不理想.

導致這兩種情形的出現，既不是教師沒講明白，也不是學生用功不夠，而是因為這些學生在過去的數學學習中未形成自己的、較嚴謹的數學思維，僅停留在簡單機械模仿，要靠幾次甚至十幾次的重復才能掌握某個（些）知識，也就是說思考能力只是在能夠解決熟悉的一種特定的問題的水平上，缺少結合已經掌握一個問題、多個問題，去對相關性的綜合性問題的聯想、嘗試、思考、引深的探索能力.但要怎樣做，怎么訓練來提高這種能力呢？也就是一些會學習的學生經常問的問題：“我怎么才能夠想到這種辦法，就把題做出來了”.我的回答是，“不是這種辦法有多神奇？有多么高深莫測？而是這個問題可能與哪個知識點有關？你想了沒有？探索這個問題可能解決的途徑，你去想了沒有？哪你想到了幾種可能？哪一種可能性更大？你是否結合已掌握的基礎知識動手去嘗試了.如果這幾點你都做了，那么90%的題你都可以迎刃而解.”

說起來容易，言語上的說教并不會將這種能力由師傅到徒弟腦子中的轉移，數學思維能力的提升更是需要必不可少的思維訓練，內化為附體于心的“漁”術才是真正的財富.在我們此刻這個信息高度透明，快速傳播時代，從不缺少好的學習方法，而是缺少如何具體實際可行的操作.就像我們從小學時就天天面對黑板上方的八個大字“好好學習，天天向上”，而具體怎樣才算是“好好”，如何才能“向上”呢？很多人沒有想過. 缺乏實際可行的具體操作，而這種操作對于已經成績不理想的學生來說，一定是個性化，而非一概而論的.

將數學知識點“分板塊”輔導，各個擊破，“循序漸進”式練習，正是解決上述的好方式，不管是何種程度的學生都會使成績有較大幅度的提升.將知識合理的、零而不亂的、細分，有序的練習訓練，易使學生得到成就感，溶數學思想于這個漸進的過程中，提高成績將不再是難事.將數學思想板塊集中化，以漸進式的習題，使學生來體會每一種數學思想的本質，內化為一種思維能力.。“重要知識點細化+循序漸進引深+針對性習題=基礎知識過關”；“綜合性知識問題式細化+循序漸進引深+針對性習題=提升綜合解題能力”；“數學思想系列問題式細化+循序漸進引深+針對性習題=數學思想內化”。

下面我來詳細介紹“七巧板教學”的具體操作：

一，重點知識細化.

1、將初中數學涉及知識點細分，尤其是要對重點知識點進行科學的細分.做到既獨立成點，且又不過于離散，同時對學生理解這個“點”應具備哪些基礎知識有準確的認識.避免要學一個知識，學了一半才發現，需要補充另外幾個知識，使教學效率降低.教師在進行板塊教學內容的選擇時要設計好單元模塊與單元下模塊的主題，做好課程整體安排，避免硬性將教學內容分割，保證板塊教學內容的完整性。單元下板塊是七巧板教學中的一部分，應突出單元板塊的主題，再對其主題進行分解教學。而單元下主題的教學，主旨在于引導學生剖析、解決問題，以學生自主學習為主。教師需根據不同的模塊，精心選擇適合的教學內容。

2、不同層次的學生，由教師根據能根據其實際的學習情況、接受能力，來制定相應的需學習的知識點.那些基礎的知識點，對較高層次的學生來說，則沒必要逐一重復過關，而由教師根據學生在學校的作業完成情況即可加以判斷.

如在八年級上《一次函數》一章中，較難理解的一次函數與一元一次方程關系，輔導習如下：

通過將較抽象的問題，以簡單問題的形式出現，最后再加以總結，中差等學生即可理解一次函數與一元一次方程之間的聯系，按此順序做下來，可以說是學生自己做簡單習題并引申為思考，再由教師加以適時總結，完成學習任務.從而繞開了教師一味的說教，甚至是直接將總結好的灌輸給學生，對學生來說，兩種體驗是完全不同的.

二、綜合題提問式

對綜合性練習，將系列知識點內容集中能過，設置間接式問題，以問題形式引申.也就是說將綜合性問題細化為一個個知識點問題.達到培養綜合能力的目的.設置的問題與問題之間層層遞進、相互支撐.

通過由淺入深的遞進訓練，建立對解決綜合題的自信，找準關鍵點，提升對綜合題解題能力.如對《網格中的數學問題》專題復習中，將有一定綜合性的問題，可以鋪墊設置為涉及相關知識的基礎性問題.如下：

學生由勾股定理的練習中，體會了表示線段長度（無理數）的方法，以及對網格中三角形面積的計算，再繼續做相關的中考試題就會變得非常簡單.再由教師適當引導，即可總結網格中問題的思考方法.

三、對數學思想的培養.

通過講練詳實具體而又獨成一系的試題，內化對“數形結合、方程思想、函數思想、分類討論、歸納化一”等數學思想方法的理解，掌握解決壓軸題必備的內功.如對“方程思想”的內化訓練.

四、制定最切學生實際的、詳實可行的輔導計劃

通過兩至三次課時，對學生基礎知識、綜合解題能力做基本判斷，制定10課時的學習計劃.計劃以期間內應掌握知識點、掌握程度為主，可根據學生實際情況適當增減知識點多少及掌握要求.

每個板塊的學習都要以掌握必要的知識點為目的，而課后的習題練習也是針對這個知識點而設的，且由易到難，再到綜合，既達到了對具體知識點的學習，也潛移默化中訓練了綜合思維能力。下面我將具體舉一些例子來說明“七巧板”教學法在數學教學中的應用。

（一）角平分線與平行線：

1、角平分線的常用使用環境：

（1）當角平分線構成的等量關系和“平行”結合的時候，可以形成等腰三角形，從而得到等邊的關系。

（2）當角平分線構成的等量關系和與180°有關的角相結合的時候，可以轉化得垂直關系。

例1、如圖1， 已知△ABC中，∠BAC的外角∠EAC的平分線交BC延長線于D.

求證：.

設計思想：融合平行、相似、角平分線.

分析：從問題來看，本題需要證明的是一個比例式，顯然要與三角形“相似”掛鉤，構造相似的方法可以過點C作AD的平行線，這樣既可以有相似，又可以使“平行”、“角平分線”結合起來，構成等量關系.

證明思路：

過點C作CF∥AD交AB于F，

可證明AF=AC.

由△BFC∽△BAD

得.

經等量代換得.

即.

點撥：這道題輔助線的添加是個關鍵，需要聯系著相似和平分線兩個角度來構造等腰三角形.

例2 （09煙臺中考）如圖1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，，且CD=2AD ， tan∠ABC=2，過點D作DE∥AB，交∠BCD的平分線于點E，連接BE.

（1）求證：；

（2）將△BCE繞點C，順時針旋轉得到△DCG，連接EG..

求證：CD垂直平分EG.

（3）延長BE交CD于點P，求證：P是CD的中點.

設計思想：融合平行線、角平分線、全等.

分析：題目中，是很好的證明CD與BC相等的間接條件.延長交于，那么正切關系就可以給CD用，再用正切得到的2倍關系，和條件CD與AD的2倍關系結合用，就可得第（1）問結論.第（2）問顯然要證明兩組線段的等量關系，根據全等和旋轉即可得到.第（3）問中的中點，即關系，顯然與第（1）問有關，CD=2AD，因此只要證明DP=AD就可以了，因此可以連結BD構造全等三角形.

證明：（1）延長交于.

，，

.

在中，

，

，即.

，

.

，

即.

（2）平分，

.

由（1）知，BC=CD，CE=CE，

.

.

由圖形旋轉的性質知：CE=CG ， BE=DG.

∴DE=DG .

都在的垂直平分線上，

垂直平分.

（3）連接.由（2）知，

.

.

.

.

，

.

由（1）知.

，

.

又，

，

.

，

.

是的中點.

點撥：這道題還是大量運用了平行和角平分線的關系，這種等量變換在做題中會經常遇到.

例3（09赤峰中考）如圖，在四邊形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分線，AF∥DC，連接AC、CF，求證：CA是∠DCF的平分線.

證明：∵BF是∠ABC的平分線，

∴∠1=∠2.

又∵AB=BC，BF=BF，

∴△ABF ≌△CBF.

∵FA=FC.

∴∠3=∠4.

又∵AF∥DC，

∴∠5=∠3.

∴∠4=∠5.

∴CA是∠DCF的平分線.

在學習過程中，還會遇到許多這樣的題型，例如：

1.（09重慶中考）如圖，直線分別與直線、相交于點、，已知，平分交直線于點.則=（ ）B

A.60° B.65° C.70° D.130°

2.如圖，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分線相交于梯形中位線EF上的一點P，若EF=3，則梯形ABCD的周長為（ ）C

（A）9 （B）10.5 （C）12 （D）15

3.（09廣州中考）如圖，在ABCD中，AB = 6，AD = 9，∠BAD的平分線交BC于點E，交DC的延長線于點F，BG⊥AE，垂足為G，BG=，則ΔCEF的周長為（ ）A

（A）8 （B）9.5 （C）10 （D）11.5

4.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，DE∥AC，DE交AB于點E ，F為BE的中點，連結DF.若DF=3，DE=2，則AC長為 .

在有關角平分線的題目中， 平行線會經常涉獵到，因此可以將這類題型作為七巧板中的一塊，從而解決更所類似的題。與融合平行線和角平分線的題目圖形關系比較基礎，因此也會比較好找，因此可以引導學生通過在圖形上標注條件，找到角之間的等量關系。

（二） 三角形內外角平分線有關命題的證明及應用

在中考或平時的練習中目中，常有與 三角形內外角平分線有關的題目，如何舉一反三事半功倍與 平時 的 積累訓練有很大的關系， 一分耕耘一分收獲。

命題1 如圖1，點D是△ABC兩個內角平分線的交點，則∠D=90°+∠A.

證明：如圖1：

∵∠1=∠，∠2=∠，

∴2∠1+2∠2+∠A=180°①

∠1+∠2+∠D=180°②

①-②得：

∠1+∠2+∠A=∠D③

由②得：

∠1+∠2=180°-∠D④

把③代入④得：

∴180°-∠D+∠A=∠D

∠D=90°+∠A.

點評 利用角平分線的定義和三角形的內角和等于180°，不難證明.

命題2 如圖2，點D是△ABC兩個內角平分線的交點，則∠D=90°-∠A.

證明：如圖2：

∵DB和DC是△ABC的兩條外角平分線，

∴∠D=180°-∠1-∠2

=180°-（∠DBE+∠DCF）

=180°-（∠A+∠4+∠A+∠3）

=180°- （∠A+180°）

=180°- ∠A-90°

=90°-∠A；

點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和以及三角形的內角和等于180°，可以證明.

命題3 如圖3，點E是△ABC一個內角平分線與一個外角平分線的交點，則∠E=∠A.

證明：如圖3：

∵∠1=∠2，∠3=∠4，

∠A+2∠1=2∠4①

∠1+∠E=∠4②

①×代入②得：

∠E=∠A.

點評 利用角平分線的定義和三角形的一個外角等于與它不相鄰兩外角的和，很容易證明.

命題4 如圖4，點E是△ABC一個內角平分線BE與一個外角平分線CE的交點，證明：AE是△ABC的外角平分線.

證明：如圖3：

∵BE是∠ABC的平分線，可得：EH=EF

CE是∠ACD的平分線， 可得：EG=EF

∴過點E分別向AB、AC、BC所在的直線引垂線，所得的垂線段相等.

即EF=EG=EH

∵EG=EH

∴AE是△ABC的外角平分線.

點評 利用角平分線的性質和判定能夠證明.

應用上面的結論能輕松地解答一些相關的比較復雜的問題，下面來一起看.

例1如圖5，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線.

①已知∠A=60°，請直接寫出∠P的度數.

②三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形按角分類屬于什么三角形？

解析：①由命題2的結論直接得：∠P=90°- ∠A=90°- ×60°=60°

②根據命題2的結論∠P=90°- ∠A，知三角形的三條外角平分線所在的直線形成的三角形的三個角都是銳角，則該三角形是銳角三角形.

點評 此題直接運用命題2的結論很簡單.同時要知道三角形按角分為銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.

例2 如圖6，在△ABC中，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的角平分線相較于點，∠BC與∠CD的平分線交與點，以此類推，…，若∠A=96°，則∠= 度.

解析：由命題③的結論不難發現規律∠∠A.

可以直接得：∠=×96°=3°.

點評 此題是要找出規律的但對要有命題③的結論作為基礎知識.

例3（2011湖北鄂州市中考第一大題填空題第八小題，此題3分）如圖7，△ABC的外角∠ACD的平分線CP的內角∠ABC平分線BP交于點P，若∠BPC=40°，則∠CAP=_______________.

解析：此題直接運用命題4的結論可以知道AP是△ABC的一個外角平分線，結合命題3的結論知道∠BAC=2∠BPC， CAP= （180°-∠BAC ）= （180°-2∠BPC ）=50°.

點評 對命題3、4研究過的學生此題不難，否則將是一道在考試的時候花時間也不一定做的出來的題目.

例4 （2003年山東省“KLT快樂靈通杯”初中數學競賽試題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分線與∠ABC的外角平分線交與E點，連接AE，則∠AEB= 度.

解析：由題目和命題4的結論可以知道AE是△ABC的一個外角平分線， 結合命題2的結論知道∠AEB=∠ACB-∠ACB=90°-×90°=45°

點評 從上面的做題過程來看題目中給出的“∠A=30°”這個條件是可以不用的.

拓展練習：

1 如圖所示，D、E、F分別是∠△ABC，△ABD，△BDF的內心，如果∠BFE的度數為整數，請同學們計算一下，∠BFE的度數最小是多少？

2如圖，在△ABC中，∠A=96 。，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的平分線相交于A1點，∠A1BC與∠A1CD 的平分線相交于A2點，依次類推，∠A4BC與∠A4CD的平分線相交于A5，求∠A5的度數。

同樣的，三角形內外角平分線有關命題問題也可以作為七巧板中的一塊對學生進行專項教學，這樣以來，學生再遇見一些反復出現卻又反復不會的題型時就會迎刃而解，教師的教學也會輕松許多。

總而言之，諸如此類板塊的數學題型還有很多，讓學生把數學“多巧板”的每一塊學扎實，把數學中的每一塊小知識點學好，多練習，那么實踐經驗也積累多了，發散思維就打開了，碰到一些沒有見過的題目，組合、拆分涉及的知識點，就會自然而然的找到解題思路。每個模塊的學習都是以掌握必要的技能為目的，以勝任本崗位工作為目標。按需施教，學用一致，干什么學什么，多余的內容可以不學，培訓時間短，效果好。理論課和實踐課融為一體。以技能淵練為核心，必要的理論知識也是為技能服務。教材圖文并茂，配以音像教學，學員易學易懂易接受。另一方面，如果研究成功，做出成績，對于教師個人的專業成長是很有幫助的，，不僅體現在評優表模、晉級晉升中，還可以反映教師的業務水平和專業能力，可以向專家、學者更深層次地發展。

參考文獻

[1]齊鳳華.開展中學數學小組合作，努力提高課堂效率[J].新課程學習（中）.2014（12）

[2]龍合林.合作學習模式在小學數學教學中的應用[J].新課程（小學）.2014（11）

[3]鄭艷.合作學習模式在初中語文教學中的應用方法及可行性研究[J].課外語文.2014（22）

《有效教學的深化研究— 由“七巧板”引發的初中教學策略研究》，平頂山市市級科研課題

（作者單位：平頂山市第四十二中學）