基于數學核心素養的高中數學教學實踐探討

【摘 要】本文通過在生源較為薄弱的高中學校進行課堂教學實踐，總結出切實可行的教學方法，并以常見的教學案例為例詳細闡述，以更好地培養學生數學核心素養。

【關鍵詞】高中數學 核心素養 教學案例 教學片段

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2018）02B-0071-04

正在修訂中的高中數學課程標準提出了數學六大核心素養（數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析），要求教師逐步將數學核心素養落實到實際的教學當中。然而一些中考生源層次較低的高中學校，卻仍然在外圍徘徊與觀望。因此，如何才能在高中數學教學實踐中落實核心素養的培養要求是一個值得探討的課題。筆者通過在中考錄取生源層次較低的普通高中學校的課堂教學實踐的教學案例，探討如何更好地在教學實踐中體現六大數學核心素養。

一、對數學核心素養的初步認識與深入理解

《教育部關于全國深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》（簡稱《意見》）頒布后，“核心素養”一詞很快就成了一個熱詞。筆者對數學核心素養如此理解：首先，數學素養是通過對數學知識的習得，學習方法的積累，在實際生產生活中從數學角度出發對問題進行思考，用數學的思想對問題進行分析，用數學的方法對問題進行解決，做到叩問數學之真、感受數學之美、建構數學模型，進而養成良好的行為習慣和高雅的品質。其次，數學核心素養是數學學習者所具備適應終生發展和社會發展的數學品格和關鍵能力，對數學的習得具有特定意義的一種綜合能力，這意味著數學核心素養的培養必須回歸到數學課堂的教學中。

二、在教學實踐中利用案例培養數學核心素養例舉

（一）體現數學抽象，以“角的概念的推廣”的教學片段為例

〖案例 1〗“角的概念的推廣”的教學情境引入

創設問題情境時，在 PPT 上展示如圖 1 水車的圖片，將圖 1 中的水車圖像抽象為數學研究的對象（圖 2），進而提出問題：在圖 2 的水車示意圖中，水車輪邊沿上的定點 P 到水面的距離 y，可以看作是水車輪中心 O 與點 P 的連線和過點 O 的水平線方向的夾角 θ 的函數 y=f（θ），其中自變量 θ 是角度。

由圖 1 的實物圖到圖 2 的示意圖是提升數學思維的一個抽象概括的過程，這樣的“升維”——圖形予以表征，將會讓基礎薄弱的學生難于接受，所以我們還要想方設法實現一次“降維”——化抽象為具體，適時通過動畫（圖 3）的演示，讓學生感知與觸摸到數學符號的表述，即理解了定點 P 到水面的距離 y 與夾角 θ 之間的函數關系，另外，動畫顯示讓學生親眼目睹了夾角 θ 的變化已超出原有角的范圍 0°～360°，因此就順理成章地要求將角進行推廣。

在數學抽象核心素養的形成過程中，積累從具體到抽象的活動經驗。通過上述的較為“本土”的課堂情境的引入，體現了數學課堂上呈現出數學抽象這一核心素養。更為重要的是它讓學生能認識到圖形與圖形、數量與數量之間的關系。

（二）訓練學生邏輯推理，以“合情推理”的教學片段為例

〖案例 2〗“合情推理”的習題講解

〔例〕我國的《洛書》中記載著世界上古老的一個幻方：將 1，2，3，…，9 填入 3×3 個方格內，使三行、三列、兩對角線的三個數之和都等于 15，如圖 4 所示（見下頁）。一般地，將連續的正整數1，2，3，…，n 填入 n×n 個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和相等，這個正方形就叫作 n 階方陣，記 n 階幻方的對角線上數的和為 Nn，如圖 4 所示的幻方記為 N3=15，那么 N12 的值為（ ）

A.869

B.870

C.871

D.875

〖思路分析〗解題關鍵在于對角線上的數字，根據題中的示范可知，幻方的對角線上的數呈現等差數列。再看對角上的兩個數字，如題中已知的 3 階幻方中左上角和右下角的數之和為 4+6=10=32+1，左下角和右上角的數之和為 8+2=10=32+1，由此可知 n 階幻方中對角上的兩個數字之和為 n2+1，從而根據等差數列的求和公式即可得到所求。

〖解析〗由題意可知，幻方的對角線上的數為一個等差數列，根據等差數列的性質可知對角上的兩個數字之和為 n2+1。由等差數列的求和公式可得數列的和為 ，所以 。 B 選項正確。

在教學中發現，學生對本題感到無從下手，其主要原因首先在于沒有將題中所給表格數據進行分析。其次是沒有很好地用上由特殊推廣到一般的歸納推理來指導解題。經過教師引導，學生便能快速地發現了問題的根源所在，將本題解決。在邏輯推理核心素養的形成過程中，學生能夠發現問題和提出命題；能掌握推理的基本形式，表述論證的過程；能理解數學知識之間的聯系，建構知識框架，從而形成有論據、有條理、合乎邏輯的思維品質，增強數學交流能力。

（三）培養學生數學建模能力，以“用函數模型解決實際問題”的教學片段為例

一般地，數學建模的基本思路如下：

在現實生活中，函數模型是應用最為廣泛的一種數學模型。對許多實際問題來說，一旦認定是函數的關系，就可以通過研究函數的性質對問題進行梳理和把握，從而使問題得到很好的解決。

〖案例 3〗“用函數模型解決實際問題”的習題講解

〔例〕電聲器材廠在生產揚聲器的過程中，有一道重要的工序，使用“AB 膠”黏合揚聲器中的磁鋼與夾板。長期以來，由于對“AB 膠”的用量沒有一個確定的標準，經常出現用膠過多，膠水外溢現象；或用膠過少，產生脫膠現象，影響了產品質量。經過實驗，已經有一些恰當用膠量的具體數據（見表 1）。

現在需要提出一個既科學又簡便的方法來確定磁鋼面積與用膠量的數學關系，請你試找出這個數學關系。

在自然科學和社會科學中，很多的規律、定律都是先通過實驗，得到數據，再通過數據分析得到的。在教學過程中，首先，教師和學生共同進行思路分析，由實際情景抽象出問題：（1）該問題的兩個數量之間是否呈現函數關系？（2）若呈現函數關系，如何體現出來？（3）既然是函數關系，屬于已學的哪種函數？其次，根據提出的問題作導向，逐一進行解決：初步認定用膠量與磁鋼面積呈現函數關系。既然表 1 中提供相當的數據，那么我們就可以將磁鋼面積視為自變量 x，用膠量為因變量 y，在平面直角坐標系中描點作圖。作圖發現，這些點基本分布在一條直線附件，畫出這條直線，使圖上的點比較均勻分布在直線兩側，因此，我們有理由用一次函數 y=kx+b 表示用膠量與磁鋼面積的關系。最后，代入點求解相關的系數，確定模型，再做必要的檢驗。如果基本符合實際，那么就可以確定這個函數基本反映事物的規律。

（四）彰顯直觀想象，以“由三視圖還原成實物圖”的教學設計（片段）為例

〖案例 4〗“由三視圖還原成實物圖”的教學設計片段

北師大版數學 2 的 3.2 節內容教學，重點是教會學生根據三視圖還原出對應的實物圖（幾何體）。難點是由三視圖想象到的幾何體的組合或者切割情況。在課堂教學中，我們可以引導學生利用實物與幾何圖進行直觀形象的聯系，通過類比、歸納、總結，進而有效地突破這一難點。

實際教學中，授人以魚不如授人以漁。筆者重在數學方法的形成上，由簡單圖形的還原方法總結（如圖 5）遞進到一些組合體或切割體。這一過程主要通過“學生動手操作—提出困惑—交流學習—師生歸納—學生體悟”五個環節進行。

圖5

比如，將三視圖還原成實物圖，我們可以從以下幾個方面進行考慮：

1.通過視圖分析幾何體是簡單幾何體還是經過組合或者切割而成的幾何體；

2.明確視圖上各圖線的意義，圖線是輪廓線還是輪廓線的投影；

3.聯系三視圖分析該幾何體的各基本部分的形狀；

4.注意圖中所畫出的虛線和實線；

5.將還原出的實物圖和三視圖對照檢查。

學生不一定能全部歸納出以上要點，也不易理解這些要點，在講解時，要結合課本實例進行分析。

課本例 1 是三視圖和實物圖配對練習，淺顯易懂。要引導學生注意比較物體及其三視圖之間的聯系，為例 2 做鋪墊，循序漸進地開展學習。在例 2 的兩個例子中，教師要啟發、指導學生根據還原的要點想象實物圖，并繪制實物圖，以提高學生的作圖能力。在例題中通過動畫展示幾何體原型，直觀形象，激發學生的學習熱情。兩個例題層層遞進，加深了對三視圖的整體理解，培養學生對三視圖和幾何體的轉化能力。講解例題主要以教師就畫法規則和還原要點來引導、提問，使學生積極思考、相互討論、完成任務。

（五）突出數學運算，以“遞推數列通項公式求解”的教學片段為例

〖案例 5〗“遞推數列通項公式求解”的習題講解

〔例〕（2012，大綱版全國卷，6）已知數列{an}的前 n 項和為Sn，a1=1，Sn=2an+1，則 Sn=（ ）

A.2n-1 B. C. D.

〖教學實錄〗

師：首先，請同學們讀題，然后回答以下幾個問題：

（1）該題考查什么知識和要準備什么“工具”？

（2）已知條件是什么？

（3）怎樣考？

生：考查數列知識，需要準備數列通項公式和前 n 項和公式；已知首項和遞推式子求數列的和。

師：同學們回答得很好，能抓住題中關鍵信息，在這，老師有個疑問，就是所求的 Sn，同學們都把它看成是求和，能否可以看作數列{Sn}的通項？既然題中所求為 Sn，我們不妨將遞推式子轉化為只有 Sn 的式子。

師：如何將 an 和 Sn 互化呢？請同學們自己動手運算，并將自己的發現和心得與同學分享。

生：利用 an=Sn-Sn-1（n2）。

截取一個學生的解題過程進行展示如下：

〖學生解題感言〗不能思維定式地把 Sn 看著數列的前 n 項和，在運算過程中，必要時將遞推式子中的 an 和 Sn 進行轉換，理清運算的對象。如是求 Sn 的話，那么就用 Sn 來表示 an ，利用化歸思想把 Sn 看成數列{Sn}的通項來求解，得到結果。

當學生展示完畢后，再給出一題變式訓練，加強鞏固所學的數學運算方法。

〖變式訓練〗（2015，全國卷 16）設 Sn 是數列{an}的前 n 項和，且 a1=1，an+1=SnSn-1，則 Sn= 。

（六）落實數據分析，以“數據的數字特征”的教學片段為例

〖案例 6〗“數據的數字特征”的習題講解

〔例〕甲、乙兩臺機床同時生產直徑是 30 mm 的零件。為了檢驗產品質量，從兩臺機床生產的產品中各抽取 10 件進行測量，結果如表 2 所示。

表2 甲、乙兩臺機床抽樣質檢表

甲機床生產的零件直徑/mm 30.0 29.8 30.1 30.2 29.9 30.0 30.2 29.8 30.2 29.8

乙機床生產的零件直徑/mm 30.0 30.0 29.9 30.0 29.9 30.1 30.1 30.1 30.0 29.9

分別計算從甲、乙兩臺機床抽取的 10 件產品的直徑的標準差。

〖教學思路〗第一步，從學生最近發展區著手，復習已學過的平均數、中位數、眾數、極差、方差等一些統計量，明確這些統計量是反映數據的集中趨勢或離散程度。第二步，進一步對案例中提供的數據進行具體分析。第三步，得出相關的結論。

在本案例中，通過計算得到，甲、乙兩臺機床生產的各 10 件產品的直徑的平均數為：（mm）

標準差：

S甲=

=0.161（mm）

S乙=

=0.077（mm）

通過計算得到的結論：甲、乙兩臺機床生產的這 10 件產品的直徑的平均數相同；甲的標準差 0.161，乙的標準差 0.077，即 S甲>S乙，說明乙機床生產的零件要更好些，也就是說乙機床的生產過程更加穩定一些。

如今的大數據時代，很多情形下需要我們學會對數據進行收集、整理，從中提取相關信息，然后進行相應分析得出結論。因此，在中學數學課堂中進行數據分析教學是非常必要的。

三、在教學實踐中培養學生數學核心素養的一些感悟

在生源基礎較低層次的學校，一節課的高效與否，往往取決于課堂的設計與教學前期的思考。要使數學核心素養的培養在教學實踐中得到一一落實，教師有時還得采用非常手段，才能使這些基礎較為薄弱的學生更好地理解基礎知識、掌握基本技能、親身感觸到數學的靈魂。這樣的教學給課堂帶來活力，更為重要的是讓學生學習到了終身享用的本領。在以培養數學核心素養為核心的思想指導下，教學設計應該更注重學生的思維能力及動手能力的培養。

【參考文獻】

[1]王 蕾.PISA對學生數學素養的評價[J].數學通報，2009（7）

[2]嚴士健，王尚志.普通高中課程標準實驗教科書數學 1 （必修）[M].北京：北京師范大學出版社，2014

[3]馬云鵬.關于數學核心素養的幾個問題[J].課程·教材·教法，2015（9）

[4]蘇興震.從數學思考出發有效提升數學核心素養[J].江蘇教育研究，2016（11B）

[5]顏 勇.數學核心素養的培養——從自主探究的維度思考[J].中國農村教育，2016（12）

【作者簡介】林自強（1985— ），男，南寧人，中學一級教師，來賓市第三批學科帶頭人，研究方向：中學數學教學。

（責編 盧建龍）